精品解析：上海市梅陇中学2025-2026学年七年级第二学期6月数学小练习2

七年级第二学期小练习2 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=4，AC=10 B. ∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C. ∠A=80°，AB=6，BC=7 D. ∠C=90°，AB=9 4. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ） A. 没有一个内角为钝角 B. 三个内角都是锐角 C. 至少有一个内角为钝 D. 至少有两个内角为钝角 5. 对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 6. 在中，为的中点，，，则长度可以是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共36分） 7. x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是：______． 8. 如图，四边形中，已知，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_________． 9. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 10. 如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段_______的长． 11. 若三角形三个外角的比为，则它是一个_____三角形． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 14. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 15. 如图，已知，，，则_____． 16. 如图，在中，，，CD平分，于E，若，则的周长为___________． 17. 定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 三、解答题（第题每题6分，第题每题8分） 19. 解不等式组：． （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 20. 如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因． 21. 如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． （1）求证：； （2）求证：． 22. 已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 23. 小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 24. 在中，，点在边上，（如图）． （1）若在的边上，且，求的度数； （2）若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级第二学期小练习2 （时间90分钟，满分100分） 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 下列说法不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质进行判断即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则，故本选项不符合题意； D、若，只有当时，，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列条件中，不能判定是等腰三角形的是（ ） A. ，， B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理应用．由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是等腰三角形；故选项A不符合题意； B、∵， ∵， ∴， ∴是等腰三角形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C不符合题意； D、∵ ∴， ∴不是等腰三角形，故选项D符合题意． 故选：D． 3. 根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ） A. AB=5，BC=4，AC=10 B. ∠A=45°，∠C=60°，BC=8 C. ∠A=80°，AB=6，BC=7 D. ∠C=90°，AB=9 【答案】B 【解析】 【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得． 【详解】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形； B、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形； C、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一． 4. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中（ ） A. 没有一个内角为钝角 B. 三个内角都是锐角 C. 至少有一个内角为钝 D. 至少有两个内角为钝角 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法的第一步，根据题意得出命题结论的反例是解决问题的关键．根据反证法就是从结论的反面出发进行假设，直接假设出一个三角形中至少有两个钝角即可． 【详解】解：根据反证法就是从结论的反面出发进行假设， ∴证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个内角为钝角． 故选：D． 5. 对于以下两个命题，判断正确的是（ ） ①在中，如果，那么；②在中，如果，且，那么是锐角三角形 A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①是真命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了三角形的分类和边角的大小关系，熟练掌握三角形的相关知识是解题的关键．根据三角形中大边对大角进行解答即可． 【详解】命题①正确，因为边长顺序决定对应角的大小顺序． 命题②正确，因为最大角为锐角且其他角必然更小，三角形为锐角三角形． 故选：C 6. 在中，为的中点，，，则长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，延长至，使得，即得，可证，得到，再根据三角形三边关系求出的取值范围即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至，使得， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴长度可以是， 故选：． 二、填空题（每题3分，共36分） 7. x的3倍减去y的平方的差不小于5，用不等式表示是：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据题意列出不等式，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式，掌握不小于即为大于或等于． 8. 如图，四边形中，已知，要使，只需添加一个条件，这个条件可以是_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法可以由证明． 【详解】解：添加． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握，，证明两个三角形全等是解题的关键，此题难度不大． 9. 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x + y =________． 【答案】11 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质求出x和y即可. 【详解】解：∵这两个三角形全等 ∴x=6，y=5 ∴x + y =11 故答案为11. 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 10. 如图，在中，，，垂足为点，那么点到直线的距离是线段_______的长． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据点到直线的距离，即可解答． 【详解】解：∵，垂足为点， ∴ ∴点到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 11. 若三角形三个外角的比为，则它是一个_____三角形． 【答案】钝角 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角和、邻补角关系、钝角三角形判定，先利用三角形外角和为，设未知数，求出外角具体度数；再依据邻补角互补，算出内角；最后根据钝角三角形定义（有一个角大于） 判断三角形类型，是多性质综合运用的题目． 【详解】解：设三个外角分别为、、， 三角形的外角和为， 解得：， 三个外角分别为：， 每个外角与其对应的内角互补， 对应外角的内角为 对应外角的内角， 对应外角的内角， 三个内角为、、，和为， 三角形为钝角三角形． 故答案为：钝角． 12. 一个等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为________． 【答案】29 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 【详解】解：①当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长． 故答案为29． 13. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角度数为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，注意等腰三角形的分类讨论．等腰三角形可能是锐角三角形或钝角三角形，需要分类讨论．当三角形为锐角三角形时，顶角为；当三角形为钝角三角形时，顶角为． 【详解】解：在等腰中，，为腰上的高，， 当在内部时，如图1， 为高， ， ， 当在外部时，如图2， 为高， ， ， ∴， 综上所述，这个等腰三角形顶角的度数为或． 故答案为：或． 14. 关于的不等式组有解且每一个的值均不在的范围中，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集为，再结合题意得出或，求解即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 每一个的值均不在的范围中， 或， 解得：， 故答案为：． 15. 如图，已知，，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，结合，进一步的利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵，，， ， ，， . 故答案为： 16. 如图，在中，，，CD平分，于E，若，则的周长为___________． 【答案】15cm 【解析】 【分析】先根据AAS判定△ACD≌△ECD得出AC＝EC，AD＝ED，再将其代入△DEB的周长中，通过边长之间的转换得到：周长＝BD+DE+EB＝BD+AD+EB＝AB+BE＝AC+EB＝CE+EB＝BC，所以为15cm． 【详解】解：∵CD平分∠ACB ∴∠ACD＝∠ECD ∵DE⊥BC于E ∴∠DEC＝∠A＝90° ∵CD＝CD ∴△ACD≌△ECD ∴AC＝EC，AD＝ED ∵AB＝AC ∴△DEB的周长为：DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝15cm． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 17. 定义：如果一个三角形一边长为m，另一条边长为，那么我们把这个三角形叫做“特征三角形”，其中长为m的边叫作“特征边”．已知在特征三角形中，，边是特征边，那么边的长为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了新定义，掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据“特征边”的定义分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴， 若，则（舍）； 若，则， ∴边的长为3， 故答案为：3． 18. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2位置的过程中，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图3：当°时，．则其余符合条件的度数为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，；熟练掌握平行的性质是解题的关键； 分，，三种情况，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图3，当时，； 如图4，当（或）时，， ∴， ∴； 如图5，当时，， ∴． 综上所述，其他可能符合条件的度数为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（第题每题6分，第题每题8分） 19. 解不等式组：． （1）当时，求出此时不等式组的解集并表示在数轴上； （2）要使此不等式组无解，则的取值范围是_____． 【答案】（1）， 在数轴上表示两个不等式的解集如下： （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，不等式组无解问题； （1）当时，可得，再解不等式组即可； （2）由得：，由得：，结合不等式组无解可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：当时， ， 解得：， ∴不等式组的解集； 【小问2详解】 解得：， 解得：， 要使此不等式组无解， ∴， ∴； ∴的取值范围是. 20. 如图，是由边长为1个单位的正方形组成的小方格平面，线段的两个端点在小方格的格点上（小正方形的顶点），请你在该方格平面内仅用直尺画出一条线段，使且，垂足为点，并证明作图合理的原因． 【答案】 如图，取格点C，连接，则线段BC即为所求． 取格点M和N， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺画图，全等三角形的判定与性质，取格点C，连接，则线段BC即为所求．取格点M和N，证明即可证明作图合理． 【详解】略 21. 如图，在中，，点，分别在边和上，连接，，交点为，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据结合、得到，通过证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）由得到，再说明，结合得到，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 已知：如图，、、、四点在同一直线上，，，，和相交于点．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据平行线的性质和全等三角形的判定方法证明和，再根据全等三角形的性质定理即可得到结论． 【详解】略 23. 小明在学习“等腰三角形两底角相等”时，他猜想“等腰三角形底角的平分线相等”．请补全已知、求证，并进行证明，验证小明的猜想． 已知：如图，在中，__________ 求证：__________ 证明： 【答案】 已知：如图，在中，，，平分和交，于点F，E， 求证： 证明：∵， ∴， 又∵，平分和， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，由等腰三角形的性质可得，进而由角平分线的定义可得，再根据可证，据此即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 24. 在中，，点在边上，（如图）． （1）若在的边上，且，求的度数； （2）若，在的边上，是等腰三角形，求的度数；（简写主要解答过程即可） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据三角形外角的性质和角的和差关系得到． （2）首先根据已知条件得到，，再根据当，，时，分三种情况讨论，得出的度数． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 分三种情况讨论： 如图，当时， ， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 如图，当时， ， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $