奥数培优：盈亏问题的分类突破（讲义）2025-2026学年六年级下册数学人教版

该小学数学小升初奥数培优专题讲义聚焦盈亏问题，旨在帮助学生系统掌握分类突破方法。通过知识点梳理（核心定义、五大基础题型、四步解题法）、典型例题讲解（显性基础到隐形变式）、分层提升练习（基础、中档、拔高压轴）等环节，构建从理论到实战的完整学习路径。 亮点在于将隐形变式（空位、绳测等）转化为显性模型，通过表格对比和口诀速记培养学生的模型意识，四步解题法强化推理能力。如空位型盈亏中“空3间宿舍”转化为“亏24人”的训练，帮助学生突破易错点。分层练习覆盖小升初高频考点，助力学生高效掌握盈亏问题，教师可据此精准教学提升复习效果。

小升初奥数培优专题讲义：盈亏问题 学习目标 我需要一份小升初奥数培优《盈亏问题的分类突破》的的专题讲义。讲义结构如下： 一、知识点梳理 （内容详细） 二、例题讲解（例题个数根据情况而定） 【典型例题1】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 【典型例题2】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 【典型例题3】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 ··· 三、提升练习（20~30题左右） 所有题目后面要有【详解】、【分析】、【答案】 最后加上学习寄语 请给我非常合理好的题目谢谢。 知识讲解 一、核心定义与两个不变量 盈亏问题：把固定总量的物品，平均分分给固定数量的对象（人、房间、车辆、班级），两次分配标准不同，产生剩余（盈）、缺少（亏）、刚好分完（尽）三种结果。 永恒不变量（解题核心）：①分配对象数量不变；②被分配物品总数不变。所有错题根源都是忽略分配对象不变。 万能核心公式：两次分配总差额 ÷ 两次每份分配差 = 分配对象数量 二、五大显性基础盈亏（表格对比，背诵口诀） 题型名称 题干特征 对象数量公式 速记口诀 一盈一亏 一次有余、一次不足 (盈+亏)÷分配差 一盈一亏和相加 双盈 两次都有余 (大盈-小盈)÷分配差 两盈相减大减小 双亏 两次都不足 (大亏-小亏)÷分配差 两亏相减大减小 一盈一尽 一次有余、一次分完 盈÷分配差 有余直接除差 一亏一尽 一次不足、一次分完 亏÷分配差 不足直接除差 三、四大小升初必考隐形变式（课内零讲解） 1.空位型盈亏（最高频）：空房间、空座位、空车辆。翻译规则：空n个对象=亏（每份数量×n），例：每间住5人，空2间房=少10个人 2.局部分配不均盈亏：一部分对象分配数量不同，其余相同。翻译规则：统一为全员统一分配，补齐差额转化为标准盈亏 3.绳测/绕柱盈亏：绳子折叠测井、绕树干。易错点：n折=平均分成n段，井外余数需要×段数 4.人数空缺盈亏：少若干人参与分配，等价于座位空余，换算为亏量 四、标准化四步解题法（统一答题格式） 1.翻译条件：把空位、折叠、局部分配等隐性条件转为显性盈、亏数值 2.判定类型：对照五类基础题型，确定加减规则 3.求对象数：代入公式计算人数、房间数等分配对象 4.回代验算：分别代入两次分配条件，核对物品总数一致 五、五大高频易错陷阱 1.双盈、双亏误用加法，永远遵循：异同相加，同异相减 2.空位直接用空的数量当作盈亏，忘记乘每份人数 3.绳子折叠只算表面余数，未乘折叠段数 4.分配差用小数减小数，必须用大数减小数 5.混淆分配对象和物品，求反人数和物品数量 例题讲解 【典型例题1】一盈一亏（显性基础，分班必考） 题目：老师给学生分笔记本，每人分4本，剩余22本；每人分7本，缺少8本。求学生人数和笔记本总数。 【跟踪训练1】 题目：小朋友分糖果，每人分6颗剩35颗，每人分9颗缺10颗，一共有多少名小朋友？ 【跟踪训练2】 题目：工人搬水泥，每人搬12袋剩39袋，每人搬15袋缺24袋，水泥一共有多少袋？ 【典型例题2】双盈+双亏对比讲解（易混淆题型） 题目①（双盈）：班级分跳绳，每班分13根余49根，每班分18根余14根，求班级数。 题目②（双亏）：小组搬树苗，每组搬20棵缺36棵，每组搬25棵缺71棵，求小组数。 【跟踪训练1】（双盈） 题目：仓库分化肥，每车装16袋余68袋，每车装22袋余26袋，车辆有多少辆？ 【跟踪训练2】（双亏） 题目：采购桌椅，每张桌子配4把椅子缺28把，每张配6把椅子缺52把，桌子有多少张？ 【典型例题3】一盈一尽、一亏一尽（过渡中档题） 题目①（一盈一尽）：分尺子，每人分5把余48把，每人分11把刚好分完，求尺子总数。 题目②（一亏一尽）：分水杯，每人分3个缺30个，每人分8个刚好分完，求人数。 【跟踪训练1】 题目：分钢笔，每班分15支余66支，每班分21支刚好分完，钢笔一共多少支？ 【跟踪训练2】 题目：安排值日工具，每组领7个缺45个，每组领12个刚好领完，小组数量？ 【典型例题4】空位隐形盈亏（分班高频压轴，失分率72%） 题目：研学安排宿舍，每间住5人，多出30人无床位；每间住8人，空出3间宿舍。求宿舍间数和学生总人数。 【跟踪训练1】 题目：大巴接送学生，每车坐22人，剩27人；每车坐27人，空余2辆车，大巴多少辆？ 【跟踪训练2】 题目：会议室安排长椅，每条坐4人，剩42人；每条坐7人，空出5条长椅，参会总人数？ 【典型例题5】局部分配不均盈亏（必考中档变式） 题目：分橘子，其中2人每人分4个，其余每人分6个，多出12个；若所有人每人分7个，缺4个。求总人数。 【跟踪训练1】 题目：分饼干，其中3人每人分2块，其余每人分5块，余16块；全员每人分6块，缺8块，总人数？ 【跟踪训练2】 题目：种树，2人每人种3棵，其余每人种5棵，缺10棵；全员每人种4棵，余6棵，总人数？ 【典型例题6】绳测井深盈亏（小升初压轴高频） 题目：用一根绳子测井深，绳子三折放入井中，井外余4米；绳子四折放入井中，井外余1米。求井深和绳长。 【跟踪训练1】 题目：绳测井深，四折余5米，五折余2米，绳长多少米？ 【跟踪训练2】 题目：绳子绕树干，绕4圈余25厘米，绕6圈缺15厘米，树干周长？ 巩固练习 一、基础拔高8题 1. 分彩笔，每人5支余41支，每人8支缺19支，学生多少人？ 2. 分树苗，每人栽9棵余27棵，每人栽12棵余3棵，树苗总数？ 3. 搬砖块，每人搬14块缺22块，每人搬18块缺54块，工人人数？ 4. 分直尺，每班分12把余72把，每班分20把刚好分完，直尺总数？ 5. 分扫把，每组6把缺35把，每组11把刚好分完，小组数？ 6. 排队做操，每行16人多24人，每行19人多6人，总行数？ 7. 发放口罩，每人4个缺32个，每人2个缺8个，人数？ 8. 分面包，每人3个余36个，每人5个缺14个，面包总数？ 二、中档变式10题（分班高频） 9. 宿舍住宿，每间住4人余28人，每间住6人空2间，总人数？ 10. 租车出游，每车坐19人剩11人，每车坐23人空1车，车辆数？ 11. 分苹果，4人每人分3个，其余每人分5个余9个；全员分6个缺5个，总人数？ 12. 图书上架，每层放29本缺17本，每层放24本余23本，层数？ 13. 班级分绿植，每组7盆余34盆，每组11盆空2组，绿植总数？ 14. 搬运花盆，每人搬15盆余58盆，每人搬20盆余13盆，花盆总数？ 15. 分酸奶，其中5人每人2盒，其余每人4盒余14盒；全员5盒缺6盒，总人数？ 16. 礼堂座位，每排坐32人余45人，每排坐35人空3排，总人数？ 17. 零件分配，每人做22个余105个，每人做27个缺40个，零件总数？ 18. 水费分摊，每户收28元余59元，每户收33元缺36元，户数？ 三、拔高压轴6题（择校必考） 19. 绳测井深，二折余6米，三折缺2米，井深多少米？ 20. 绳子绕大树，绕5圈余32厘米，绕8圈缺16厘米，绳长？ 21. 分贺卡，3人每人分1张，其余每人分4张余11张；全员分5张缺7张，贺卡总数？ 22. 学生分组，每组9人余6人；每组11人，有一组少4人，总人数？ 23. 绳测水池，五折余3米，六折余1米，水池深度？ 24. 夏令营住宿，每间住6人余17人，每间住9人空4间，总人数？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：盈亏问题 学习目标 我需要一份小升初奥数培优《盈亏问题的分类突破》的的专题讲义。讲义结构如下： 一、知识点梳理 （内容详细） 二、例题讲解（例题个数根据情况而定） 【典型例题1】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 【典型例题2】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 【典型例题3】 【跟踪训练1】 【跟踪训练2】 ··· 三、提升练习（20~30题左右） 所有题目后面要有【详解】、【分析】、【答案】 最后加上学习寄语 请给我非常合理好的题目谢谢。 知识讲解 一、核心定义与两个不变量 盈亏问题：把固定总量的物品，平均分分给固定数量的对象（人、房间、车辆、班级），两次分配标准不同，产生剩余（盈）、缺少（亏）、刚好分完（尽）三种结果。 永恒不变量（解题核心）：①分配对象数量不变；②被分配物品总数不变。所有错题根源都是忽略分配对象不变。 万能核心公式：两次分配总差额 ÷ 两次每份分配差 = 分配对象数量 二、五大显性基础盈亏（表格对比，背诵口诀） 题型名称 题干特征 对象数量公式 速记口诀 一盈一亏 一次有余、一次不足 (盈+亏)÷分配差 一盈一亏和相加 双盈 两次都有余 (大盈-小盈)÷分配差 两盈相减大减小 双亏 两次都不足 (大亏-小亏)÷分配差 两亏相减大减小 一盈一尽 一次有余、一次分完 盈÷分配差 有余直接除差 一亏一尽 一次不足、一次分完 亏÷分配差 不足直接除差 三、四大小升初必考隐形变式（课内零讲解） 1.空位型盈亏（最高频）：空房间、空座位、空车辆。翻译规则：空n个对象=亏（每份数量×n），例：每间住5人，空2间房=少10个人 2.局部分配不均盈亏：一部分对象分配数量不同，其余相同。翻译规则：统一为全员统一分配，补齐差额转化为标准盈亏 3.绳测/绕柱盈亏：绳子折叠测井、绕树干。易错点：n折=平均分成n段，井外余数需要×段数 4.人数空缺盈亏：少若干人参与分配，等价于座位空余，换算为亏量 四、标准化四步解题法（统一答题格式） 1.翻译条件：把空位、折叠、局部分配等隐性条件转为显性盈、亏数值 2.判定类型：对照五类基础题型，确定加减规则 3.求对象数：代入公式计算人数、房间数等分配对象 4.回代验算：分别代入两次分配条件，核对物品总数一致 五、五大高频易错陷阱 1.双盈、双亏误用加法，永远遵循：异同相加，同异相减 2.空位直接用空的数量当作盈亏，忘记乘每份人数 3.绳子折叠只算表面余数，未乘折叠段数 4.分配差用小数减小数，必须用大数减小数 5.混淆分配对象和物品，求反人数和物品数量 例题讲解 【典型例题1】一盈一亏（显性基础，分班必考） 题目：老师给学生分笔记本，每人分4本，剩余22本；每人分7本，缺少8本。求学生人数和笔记本总数。 【跟踪训练1】 题目：小朋友分糖果，每人分6颗剩35颗，每人分9颗缺10颗，一共有多少名小朋友？ 【跟踪训练2】 题目：工人搬水泥，每人搬12袋剩39袋，每人搬15袋缺24袋，水泥一共有多少袋？ 【典型例题2】双盈+双亏对比讲解（易混淆题型） 题目①（双盈）：班级分跳绳，每班分13根余49根，每班分18根余14根，求班级数。 题目②（双亏）：小组搬树苗，每组搬20棵缺36棵，每组搬25棵缺71棵，求小组数。 【跟踪训练1】（双盈） 题目：仓库分化肥，每车装16袋余68袋，每车装22袋余26袋，车辆有多少辆？ 【跟踪训练2】（双亏） 题目：采购桌椅，每张桌子配4把椅子缺28把，每张配6把椅子缺52把，桌子有多少张？ 【典型例题3】一盈一尽、一亏一尽（过渡中档题） 题目①（一盈一尽）：分尺子，每人分5把余48把，每人分11把刚好分完，求尺子总数。 题目②（一亏一尽）：分水杯，每人分3个缺30个，每人分8个刚好分完，求人数。 【跟踪训练1】 题目：分钢笔，每班分15支余66支，每班分21支刚好分完，钢笔一共多少支？ 【跟踪训练2】 题目：安排值日工具，每组领7个缺45个，每组领12个刚好领完，小组数量？ 【典型例题4】空位隐形盈亏（分班高频压轴，失分率72%） 题目：研学安排宿舍，每间住5人，多出30人无床位；每间住8人，空出3间宿舍。求宿舍间数和学生总人数。 【跟踪训练1】 题目：大巴接送学生，每车坐22人，剩27人；每车坐27人，空余2辆车，大巴多少辆？ 【跟踪训练2】 题目：会议室安排长椅，每条坐4人，剩42人；每条坐7人，空出5条长椅，参会总人数？ 【典型例题5】局部分配不均盈亏（必考中档变式） 题目：分橘子，其中2人每人分4个，其余每人分6个，多出12个；若所有人每人分7个，缺4个。求总人数。 【跟踪训练1】 题目：分饼干，其中3人每人分2块，其余每人分5块，余16块；全员每人分6块，缺8块，总人数？ 【跟踪训练2】 题目：种树，2人每人种3棵，其余每人种5棵，缺10棵；全员每人种4棵，余6棵，总人数？ 【典型例题6】绳测井深盈亏（小升初压轴高频） 题目：用一根绳子测井深，绳子三折放入井中，井外余4米；绳子四折放入井中，井外余1米。求井深和绳长。 【跟踪训练1】 题目：绳测井深，四折余5米，五折余2米，绳长多少米？ 【跟踪训练2】 题目：绳子绕树干，绕4圈余25厘米，绕6圈缺15厘米，树干周长？ 巩固练习 一、基础拔高8题 1. 分彩笔，每人5支余41支，每人8支缺19支，学生多少人？ 2. 分树苗，每人栽9棵余27棵，每人栽12棵余3棵，树苗总数？ 3. 搬砖块，每人搬14块缺22块，每人搬18块缺54块，工人人数？ 4. 分直尺，每班分12把余72把，每班分20把刚好分完，直尺总数？ 5. 分扫把，每组6把缺35把，每组11把刚好分完，小组数？ 6. 排队做操，每行16人多24人，每行19人多6人，总行数？ 7. 发放口罩，每人4个缺32个，每人2个缺8个，人数？ 8. 分面包，每人3个余36个，每人5个缺14个，面包总数？ 二、中档变式10题（分班高频） 9. 宿舍住宿，每间住4人余28人，每间住6人空2间，总人数？ 10. 租车出游，每车坐19人剩11人，每车坐23人空1车，车辆数？ 11. 分苹果，4人每人分3个，其余每人分5个余9个；全员分6个缺5个，总人数？ 12. 图书上架，每层放29本缺17本，每层放24本余23本，层数？ 13. 班级分绿植，每组7盆余34盆，每组11盆空2组，绿植总数？ 14. 搬运花盆，每人搬15盆余58盆，每人搬20盆余13盆，花盆总数？ 15. 分酸奶，其中5人每人2盒，其余每人4盒余14盒；全员5盒缺6盒，总人数？ 16. 礼堂座位，每排坐32人余45人，每排坐35人空3排，总人数？ 17. 零件分配，每人做22个余105个，每人做27个缺40个，零件总数？ 18. 水费分摊，每户收28元余59元，每户收33元缺36元，户数？ 三、拔高压轴6题（择校必考） 19. 绳测井深，二折余6米，三折缺2米，井深多少米？ 20. 绳子绕大树，绕5圈余32厘米，绕8圈缺16厘米，绳长？ 21. 分贺卡，3人每人分1张，其余每人分4张余11张；全员分5张缺7张，贺卡总数？ 22. 学生分组，每组9人余6人；每组11人，有一组少4人，总人数？ 23. 绳测水池，五折余3米，六折余1米，水池深度？ 24. 夏令营住宿，每间住6人余17人，每间住9人空4间，总人数？ 学科网（北京）股份有限公司 $