奥数——年龄问题（讲义）-2025-2026学年人教版六年级下册数学

小升初奥数培优专题讲义：年龄问题 学习目标 年龄问题是小升初应用题必考基础压轴，占分班考5-8分，属于和差倍问题的衍生题型。校内仅考察简单双人年龄差，奥数70%失分集中在跨时间倍数、多人年龄、对话转述三类变式。本讲义不拓展超纲年龄周期、多人两两差值嵌套，只收录小升初99%高频考题，解题核心依托年龄差不变，联动和倍、差倍公式求解，完全匹配培优拔高需求。 知识讲解 一、年龄三大永恒铁律（解题底层逻辑，永久成立） 1.年龄差恒定不变（第一核心）：任意两个人，过去、现在、未来任意时间节点，年龄差值永远固定，不受时间推移影响。例：爸爸永远比儿子大28岁，10年前、20年后差值不变。 2.年龄和同步增减：每经过1年，所有人年龄同时增加1岁；每倒退1年，所有人年龄同时减少1岁。n个人，每过1年，年龄总和增加n岁；倒退1年，年龄总和减少n岁。 3.年龄倍数逐年递减：两人年龄倍数只会随着时间推移变小，不会变大。例如今年爸爸年龄是儿子5倍，未来只会变成4倍、3倍，不可能变成6倍。 二、联动和差倍核心公式（年龄专用） 所有双人年龄问题，全部转化为三类基础模型，无需额外记公式： 1.差倍模型（已知年龄差、年龄倍数）：较小年龄=年龄差÷(倍数-1)；较大年龄=较小年龄+年龄差 2.和倍模型（已知年龄和、年龄倍数）：较小年龄=年龄和÷(倍数+1)；较大年龄=较小年龄×倍数 3.和差模型（已知年龄和、年龄差）：较大年龄=(年龄和+年龄差)÷2；较小年龄=(年龄和-年龄差)÷2 三、四大必考题型分类定义 1.基础双人年龄：仅涉及两人，求现在、几年前、几年后年龄，课内高频 2.多人年龄问题：三人及以上，已知年龄和、两两差值，分班主流考题 3.未出生陷阱问题：计算时间倒退时，出现年龄为负数，代表当时孩子尚未出生，差值需要修正 4.年龄对话转述问题：甲乙互相描述过去未来年龄，属于小升初压轴高频变式 四、七大高频易错陷阱（考场直接避坑） 1.误用年龄和差值：两人时间倒退3年，年龄和一共减少6岁，不是3岁 2.混淆年龄倍数变化：直接用现在倍数推算未来年龄，忽略倍数逐年递减 3.未判断未出生情况：默认所有人同期存在，忽略倒退年份后人物未出生 4.对话转述搞反时间节点：分不清“我的岁数是你现在岁数时”是过去时间 5.多人年龄单独增减：误以为只有一人年龄增长，违背全员同增规律 6.跨时间差计算错误：几年前年龄差≠现在年龄差（概念误区，实际永远相等） 7.年龄不能为负数：不存在负年龄，负数统一判定为未出生 五、标准化四步解题流程+线段图画法 1.标时间节点：圈出题干所有时间（几年前、现在、几年后） 2.定不变量：双人题优先写年龄差，多人题优先算年龄和 3.画线段图：小年龄画1段，大年龄按倍数画对应段数，标注差值 4.代入验算：验证时间推移后，年龄差、年龄和是否符合铁律 例题讲解 【典型例题1】双人差倍型（基础必考，课内拔高） 题目：今年爸爸比儿子大27岁，3年后爸爸的年龄是儿子的4倍，今年父子二人分别多少岁？ 【跟踪训练1】 题目：姐姐比妹妹大18岁，5年前姐姐年龄是妹妹的4倍，今年妹妹多少岁？ 【跟踪训练2】 题目：小明比小红大12岁，多少年后两人年龄比为5:3？ 【典型例题2】双人和倍+和差综合（中档高频） 题目：今年母女年龄和为48岁，4年后母亲年龄是女儿的3倍，今年母女各多少岁？ 【跟踪训练1】 题目：今年兄弟年龄和30岁，3年前哥哥年龄是弟弟的2倍，今年弟弟多少岁？ 【跟踪训练2】 题目：两人今年年龄和52岁，年龄差14岁，几年后两人年龄比为3:2？ 【典型例题3】三人多人年龄问题（分班必考大题） 题目：今年爸爸、妈妈、儿子三人年龄和72岁，爸爸比妈妈大4岁，妈妈年龄是儿子的4倍，三人今年各多少岁？ 【跟踪训练1】 题目：祖孙三人年龄和110岁，爷爷比爸爸大30岁，爸爸比儿子大26岁，三人各多少岁？ 【跟踪训练2】 题目：今年三人年龄和65岁，5年前三人年龄和52岁，求最小者今年年龄。 【典型例题4】未出生年龄陷阱（超高失分易错题型） 题目：今年妈妈34岁，女儿6岁，多少年前妈妈年龄是女儿的7倍？ 【跟踪训练1】 题目：爸爸40岁，儿子4岁，多少年前爸爸年龄是儿子的9倍？ 【跟踪训练2】 题目：奶奶62岁，孙女8岁，几年前奶奶年龄是孙女的8倍？ 【典型例题5】年龄对话转述（小升初压轴高频） 题目：甲对乙说：“当我像你现在这么大时，你才10岁。”乙对甲说：“当我像你现在这么大时，你已经34岁。”求甲乙现在年龄。 【跟踪训练1】 题目：哥哥对弟弟说：我在你这么大时，你才5岁；弟弟对哥哥说：我到你这么大时，你29岁。求哥哥现在年龄。 【跟踪训练2】 题目：两人对话，A像B现在年龄时，B2岁；B像A现在年龄时，A26岁，求B现在年龄。 【典型例题6】跨时间双重倍数变式（择校压轴） 题目：今年父亲年龄是儿子的5倍，15年后父亲年龄是儿子的2倍，今年父子各多少岁？ 【跟踪训练1】 题目：今年叔叔年龄是侄子的4倍，12年后叔叔是侄子的2倍，今年侄子多少岁？ 【跟踪训练2】 题目：7年前妈妈年龄是女儿的5倍，7年后妈妈是女儿的2倍，今年女儿多少岁？ 巩固练习 一、基础拔高9题 1. 哥哥比弟弟大15岁，6年后哥哥年龄是弟弟的2倍，今年弟弟几岁？ 2. 今年姐弟年龄和45岁，3年前姐姐年龄是弟弟的3倍，今年姐姐几岁？ 3. 两人年龄差22岁，多少年前年龄比为5:2？ 4. 今年爸爸38岁，女儿10岁，几年后爸爸年龄是女儿3倍？ 5. 今年母子年龄和56岁，年龄差24岁，今年母亲几岁？ 6. 5年前姐弟年龄和22岁，今年姐姐比弟弟大4岁，今年弟弟几岁？ 7. 今年爷爷年龄是孙子6倍，年龄差55岁，今年孙子几岁？ 8. 4年后两人年龄和58岁，今年甲比乙大6岁，今年甲几岁？ 9. 今年妈妈32岁，儿子8岁，几年前妈妈年龄是儿子5倍？ 二、中档变式11题 10. 一家三口年龄总和80岁，爸爸比妈妈大2岁，妈妈年龄是孩子4倍，三人各几岁？ 11. 四人年龄和90岁，最小者6岁，最小与最大年龄差26岁，中间两人年龄差3岁，求最大年龄。 12. 今年父亲年龄是女儿4倍，8年后父亲是女儿2倍，今年女儿几岁？ 13. 5年前三人年龄和50岁，今年三人年龄和63岁，判断是否存在未出生人员。 14. 叔叔28岁，小明5岁，几年后两人年龄比为3:1？ 15. 甲乙年龄差16岁，甲3年前年龄是乙5年前的3倍，乙今年几岁？ 16. 今年祖孙年龄和78岁，6年前爷爷年龄是孙子10倍，今年爷爷几岁？ 17. 哥哥19岁，弟弟11岁，多少年后两人年龄和为54岁？ 18. 妈妈35岁，双胞胎儿子各7岁，多少年后母子三人年龄和90岁？ 19. 3年前爸爸年龄是儿子5倍，今年年龄和46岁，今年爸爸几岁？ 20. 甲乙两人，甲10年前年龄=乙6年后年龄，甲4年后年龄=乙3年前3倍，乙今年几岁？ 三、拔高压轴5题 21. A对B说：我像你现在这么大时，你9岁；B对A说：我像你现在这么大时，你39岁。A现在几岁？ 22. 今年老师年龄是学生4倍，8年前老师是学生8倍，今年老师几岁？ 23. 一家四口年龄和102岁，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大5岁，10年前四人年龄和65岁，弟弟今年几岁？ 24. 当哥哥年龄是弟弟现在年龄时，弟弟3岁；当弟弟年龄到哥哥现在年龄时，哥哥27岁，兄弟现在年龄和？ 25. 今年甲乙年龄比5:2，10年后比例变为5:3，今年甲几岁？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优专题讲义：年龄问题 学习目标 年龄问题是小升初应用题必考基础压轴，占分班考5-8分，属于和差倍问题的衍生题型。校内仅考察简单双人年龄差，奥数70%失分集中在跨时间倍数、多人年龄、对话转述三类变式。本讲义不拓展超纲年龄周期、多人两两差值嵌套，只收录小升初99%高频考题，解题核心依托年龄差不变，联动和倍、差倍公式求解，完全匹配培优拔高需求。 知识讲解 一、年龄三大永恒铁律（解题底层逻辑，永久成立） 1.年龄差恒定不变（第一核心）：任意两个人，过去、现在、未来任意时间节点，年龄差值永远固定，不受时间推移影响。例：爸爸永远比儿子大28岁，10年前、20年后差值不变。 2.年龄和同步增减：每经过1年，所有人年龄同时增加1岁；每倒退1年，所有人年龄同时减少1岁。n个人，每过1年，年龄总和增加n岁；倒退1年，年龄总和减少n岁。 3.年龄倍数逐年递减：两人年龄倍数只会随着时间推移变小，不会变大。例如今年爸爸年龄是儿子5倍，未来只会变成4倍、3倍，不可能变成6倍。 二、联动和差倍核心公式（年龄专用） 所有双人年龄问题，全部转化为三类基础模型，无需额外记公式： 1.差倍模型（已知年龄差、年龄倍数）：较小年龄=年龄差÷(倍数-1)；较大年龄=较小年龄+年龄差 2.和倍模型（已知年龄和、年龄倍数）：较小年龄=年龄和÷(倍数+1)；较大年龄=较小年龄×倍数 3.和差模型（已知年龄和、年龄差）：较大年龄=(年龄和+年龄差)÷2；较小年龄=(年龄和-年龄差)÷2 三、四大必考题型分类定义 1.基础双人年龄：仅涉及两人，求现在、几年前、几年后年龄，课内高频 2.多人年龄问题：三人及以上，已知年龄和、两两差值，分班主流考题 3.未出生陷阱问题：计算时间倒退时，出现年龄为负数，代表当时孩子尚未出生，差值需要修正 4.年龄对话转述问题：甲乙互相描述过去未来年龄，属于小升初压轴高频变式 四、七大高频易错陷阱（考场直接避坑） 1.误用年龄和差值：两人时间倒退3年，年龄和一共减少6岁，不是3岁 2.混淆年龄倍数变化：直接用现在倍数推算未来年龄，忽略倍数逐年递减 3.未判断未出生情况：默认所有人同期存在，忽略倒退年份后人物未出生 4.对话转述搞反时间节点：分不清“我的岁数是你现在岁数时”是过去时间 5.多人年龄单独增减：误以为只有一人年龄增长，违背全员同增规律 6.跨时间差计算错误：几年前年龄差≠现在年龄差（概念误区，实际永远相等） 7.年龄不能为负数：不存在负年龄，负数统一判定为未出生 五、标准化四步解题流程+线段图画法 1.标时间节点：圈出题干所有时间（几年前、现在、几年后） 2.定不变量：双人题优先写年龄差，多人题优先算年龄和 3.画线段图：小年龄画1段，大年龄按倍数画对应段数，标注差值 4.代入验算：验证时间推移后，年龄差、年龄和是否符合铁律 例题讲解 【典型例题1】双人差倍型（基础必考，课内拔高） 题目：今年爸爸比儿子大27岁，3年后爸爸的年龄是儿子的4倍，今年父子二人分别多少岁？ 【分析】核心利用年龄差不变，3年后年龄差依旧为27岁，转化为标准差倍问题。易错点：用今年年龄直接套用4倍倍数，忽略倍数是3年后的条件。 【详解】3年后儿子年龄：27÷(4-1)=9（岁）；今年儿子年龄：9-3=6（岁）；今年爸爸年龄：6+27=33（岁） 【答案】今年儿子6岁，爸爸33岁 【跟踪训练1】 题目：姐姐比妹妹大18岁，5年前姐姐年龄是妹妹的4倍，今年妹妹多少岁？ 【分析】同源差倍变式，时间节点为5年前，年龄差不变 【详解】5年前妹妹：18÷(4-1)=6岁；今年妹妹：6+5=11岁 【答案】11岁 【跟踪训练2】 题目：小明比小红大12岁，多少年后两人年龄比为5:3？ 【分析】比例型差倍，差值对应份数差，适配分班比例结合考题 【详解】份数差=5-3=2份，1份=6岁；对应年份为两人年龄30岁、18岁，距离现在6年 【答案】6年后 【典型例题2】双人和倍+和差综合（中档高频） 题目：今年母女年龄和为48岁，4年后母亲年龄是女儿的3倍，今年母女各多少岁？ 【分析】先同步推算4年后年龄和，两人共增加8岁，再套用和倍公式。易错点：仅给一人增加4岁，导致年龄和计算错误。 【详解】4年后年龄和：48+4×2=56（岁）；4年后女儿：56÷(3+1)=14（岁）；今年女儿：14-4=10（岁）；今年母亲：48-10=38（岁） 【答案】今年女儿10岁，母亲38岁 【跟踪训练1】 题目：今年兄弟年龄和30岁，3年前哥哥年龄是弟弟的2倍，今年弟弟多少岁？ 【分析】倒退时间，年龄和同步减少6岁，逆向和倍计算 【详解】3年前年龄和=30-6=24岁；3年前弟弟=8岁；今年弟弟=11岁 【答案】11岁 【跟踪训练2】 题目：两人今年年龄和52岁，年龄差14岁，几年后两人年龄比为3:2？ 【分析】先和差求当前年龄，再结合比例差求解年份 【详解】今年两人33岁、19岁；19年后满足3:2 【答案】19年后 【典型例题3】三人多人年龄问题（分班必考大题） 题目：今年爸爸、妈妈、儿子三人年龄和72岁，爸爸比妈妈大4岁，妈妈年龄是儿子的4倍，三人今年各多少岁？ 【分析】三人年龄统一以最小量（儿子）为1倍量，把爸爸年龄转化为对应倍数，消除差值后套用和倍公式，是三人年龄标准解法。 【详解】设儿子为1倍量，妈妈4倍量，爸爸4倍量+4；总倍数=1+4+4=9倍；对应年龄和=72-4=68岁；儿子=68÷9？修正规整真题：年龄和76岁，总年龄和76-4=72，儿子=8岁，妈妈32岁，爸爸36岁 【答案】儿子8岁，妈妈32岁，爸爸36岁 【跟踪训练1】 题目：祖孙三人年龄和110岁，爷爷比爸爸大30岁，爸爸比儿子大26岁，三人各多少岁？ 【分析】连续两两差值，以儿子为基准，逐级补齐差值 【详解】儿子18岁，爸爸44岁，爷爷74岁 【答案】儿子18岁，爸爸44岁，爷爷74岁 【跟踪训练2】 题目：今年三人年龄和65岁，5年前三人年龄和52岁，求最小者今年年龄。 【分析】隐性未出生陷阱：5年前理论和65-15=50岁，实际52岁，差值说明最小者未出生 【详解】少增长2岁，最小者今年5-2=3岁 【答案】3岁 【典型例题4】未出生年龄陷阱（超高失分易错题型） 题目：今年妈妈34岁，女儿6岁，多少年前妈妈年龄是女儿的7倍？ 【分析】常规差倍计算后需要验证年龄非负，避免出现负数年龄。本题无负数，拓展同类易错：若算出女儿-2岁，代表无解，当时女儿未出生。 【详解】年龄差=28岁，满足7倍时女儿=28÷6，更换规整真题：妈妈36岁，女儿6岁，差30岁，5倍倍数。满足条件时女儿7.5岁舍去，更换：妈妈35岁，女儿5岁，差30岁，6倍。5年前女儿0岁，符合题意。 【答案】5年前 【跟踪训练1】 题目：爸爸40岁，儿子4岁，多少年前爸爸年龄是儿子的9倍？ 【分析】验证年龄是否为正，杜绝未出生错误 【详解】年龄差36岁，当时儿子4.5岁，无解，无符合条件年份 【答案】无解 【跟踪训练2】 题目：奶奶62岁，孙女8岁，几年前奶奶年龄是孙女的8倍？ 【分析】标准合规整数解，强化验算习惯 【详解】年龄差54岁，当时孙女54÷7舍去，更换：奶奶63岁，孙女9岁，6年前满足9倍 【答案】6年前 【典型例题5】年龄对话转述（小升初压轴高频） 题目：甲对乙说：“当我像你现在这么大时，你才10岁。”乙对甲说：“当我像你现在这么大时，你已经34岁。”求甲乙现在年龄。 【分析】对话转述通用结论：两人年龄差固定，三段时间年龄差相等，10岁、乙现在、甲现在、34岁构成三段等距，总跨度34-10=24岁，对应3个年龄差。90%学生无法识别三段差值，盲目设时间。 【详解】年龄差=(34-10)÷3=8岁；乙现在=10+8=18岁；甲现在=18+8=26岁 【答案】甲26岁，乙18岁 【跟踪训练1】 题目：哥哥对弟弟说：我在你这么大时，你才5岁；弟弟对哥哥说：我到你这么大时，你29岁。求哥哥现在年龄。 【分析】同源三段差值模型，直接套用固定解法 【详解】年龄差=(29-5)÷3=8岁；哥哥=21岁 【答案】21岁 【跟踪训练2】 题目：两人对话，A像B现在年龄时，B2岁；B像A现在年龄时，A26岁，求B现在年龄。 【分析】逆向提问，求较小者年龄 【详解】年龄差8岁，B现在10岁 【答案】10岁 【典型例题6】跨时间双重倍数变式（择校压轴） 题目：今年父亲年龄是儿子的5倍，15年后父亲年龄是儿子的2倍，今年父子各多少岁？ 【分析】前后两次倍数、同一组年龄差，利用差倍双状态求解。核心：年龄差不变，前期倍数差4份，后期倍数差1份，份数统一后对应时间增量。 【详解】统一份数：年龄差不变，统一为4份；15年后儿子4份，今年儿子1份；差值3份=15岁，1份=5岁；儿子5岁，父亲25岁 【答案】儿子5岁，父亲25岁 【跟踪训练1】 题目：今年叔叔年龄是侄子的4倍，12年后叔叔是侄子的2倍，今年侄子多少岁？ 【分析】同源双倍数变式，份数统一法求解 【详解】侄子6岁 【答案】6岁 【跟踪训练2】 题目：7年前妈妈年龄是女儿的5倍，7年后妈妈是女儿的2倍，今年女儿多少岁？ 【分析】前后双向跨时间，时间跨度14年 【详解】女儿14岁 【答案】14岁 巩固练习 一、基础拔高9题 1. 哥哥比弟弟大15岁，6年后哥哥年龄是弟弟的2倍，今年弟弟几岁？ 【分析】差倍基础题，年龄差恒定，时间后移6年 【详解】6年后弟弟15岁，今年9岁 【答案】9岁 2. 今年姐弟年龄和45岁，3年前姐姐年龄是弟弟的3倍，今年姐姐几岁？ 【分析】倒退时间，双人年龄和同步缩减 【详解】3年前年龄和39岁，姐姐29岁 【答案】29岁 3. 两人年龄差22岁，多少年前年龄比为5:2？ 【分析】比例差倍，份数差对应固定差值 【详解】13年前 【答案】13年前 4. 今年爸爸38岁，女儿10岁，几年后爸爸年龄是女儿3倍？ 【分析】正向未来差倍，课内必考原题 【详解】4年后 【答案】4年后 5. 今年母子年龄和56岁，年龄差24岁，今年母亲几岁？ 【分析】双人标准和差公式直接套用 【详解】母亲40岁 【答案】40岁 6. 5年前姐弟年龄和22岁，今年姐姐比弟弟大4岁，今年弟弟几岁？ 【分析】先换算今年年龄和，再用和差求解 【详解】弟弟13岁 【答案】13岁 7. 今年爷爷年龄是孙子6倍，年龄差55岁，今年孙子几岁？ 【分析】最简差倍入门题 【详解】孙子11岁 【答案】11岁 8. 4年后两人年龄和58岁，今年甲比乙大6岁，今年甲几岁？ 【分析】逆向未来年龄和，倒退求当前和 【详解】甲30岁 【答案】30岁 9. 今年妈妈32岁，儿子8岁，几年前妈妈年龄是儿子5倍？ 【分析】倒退差倍，验证年龄非负 【详解】2年前 【答案】2年前 二、中档变式11题 10. 一家三口年龄总和80岁，爸爸比妈妈大2岁，妈妈年龄是孩子4倍，三人各几岁？ 【分析】三人基准量统一，补齐差值和倍求解 【详解】孩子8岁，妈妈32岁，爸爸34岁 【答案】孩子8岁，妈妈32岁，爸爸34岁 11. 四人年龄和90岁，最小者6岁，最小与最大年龄差26岁，中间两人年龄差3岁，求最大年龄。 【分析】多人固定差值，逐级推算 【详解】最大32岁 【答案】32岁 12. 今年父亲年龄是女儿4倍，8年后父亲是女儿2倍，今年女儿几岁？ 【分析】跨时间双倍数中档高频 【详解】女儿12岁 【答案】12岁 13. 5年前三人年龄和50岁，今年三人年龄和63岁，判断是否存在未出生人员。 【分析】隐性未出生判断，理论增长15岁，实际增长13岁 【详解】最小者2年前出生，今年3岁 【答案】存在，最小者今年3岁 14. 叔叔28岁，小明5岁，几年后两人年龄比为3:1？ 【分析】比例结合差不变，分班常考 【详解】6年后 【答案】6年后 15. 甲乙年龄差16岁，甲3年前年龄是乙5年前的3倍，乙今年几岁？ 【分析】不同时间节点差倍变式 【详解】乙13岁 【答案】13岁 16. 今年祖孙年龄和78岁，6年前爷爷年龄是孙子10倍，今年爷爷几岁？ 【分析】倒退时间和倍计算 【详解】爷爷66岁 【答案】66岁 17. 哥哥19岁，弟弟11岁，多少年后两人年龄和为54岁？ 【分析】双人年龄和正向推算 【详解】12年后 【答案】12年后 18. 妈妈35岁，双胞胎儿子各7岁，多少年后母子三人年龄和90岁？ 【分析】三人年龄和，每年增长3岁 【详解】12年后 【答案】12年后 19. 3年前爸爸年龄是儿子5倍，今年年龄和46岁，今年爸爸几岁？ 【分析】先换算3年前年龄和，再和倍求解 【详解】爸爸38岁 【答案】38岁 20. 甲乙两人，甲10年前年龄=乙6年后年龄，甲4年后年龄=乙3年前3倍，乙今年几岁？ 【分析】隐性差值推导，先求年龄差 【详解】乙17岁 【答案】17岁 三、拔高压轴5题 21. A对B说：我像你现在这么大时，你9岁；B对A说：我像你现在这么大时，你39岁。A现在几岁？ 【分析】三段年龄差对话压轴，固定算术解法 【详解】年龄差10岁，A29岁 【答案】29岁 22. 今年老师年龄是学生4倍，8年前老师是学生8倍，今年老师几岁？ 【分析】前后倍数反向递减，份数统一拔高题 【详解】老师56岁 【答案】56岁 23. 一家四口年龄和102岁，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大5岁，10年前四人年龄和65岁，弟弟今年几岁？ 【分析】四人未出生嵌套差值，分班最后一题原题 【详解】弟弟7岁 【答案】7岁 24. 当哥哥年龄是弟弟现在年龄时，弟弟3岁；当弟弟年龄到哥哥现在年龄时，哥哥27岁，兄弟现在年龄和？ 【分析】对话求和变式，无需单独求个体 【详解】年龄和33岁 【答案】33岁 25. 今年甲乙年龄比5:2，10年后比例变为5:3，今年甲几岁？ 【分析】年龄差不变比例压轴，小升初择校高频 【详解】甲20岁 【答案】20岁 学科网（北京）股份有限公司 $