25.1一元二次方程的概念　作业 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程概念，通过基础辨析、综合应用、跨情境拓展三层设计，构建从概念理解到数学思维的巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|一元二次方程定义、一般式|以单选题辨析概念要素，强化抽象能力| |巩固层|方程解的性质、参数计算|结合表格数据分析根的范围，培养推理意识| |提升层|几何构造与代数化简|融入欧几里得尺规作图情境，发展几何直观与模型意识|

25．1一元二次方程的概念 一、单选题 1．下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则a，b，c的值分别是（  ） A．4，1，3 B． C． D． 3．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 4．若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5. 若关于的一元二次方程的常数项为0，则的值为（） A． B．1 C．0 D．1或 二、填空题 6．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为______． 7．若是方程的一个根，则的值为__________． 8．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 9．已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 10. 若关于的一元二次方程有一个根为，则________． 11.已知m是方程的一个根，则的值为___________． 12. 若关于的一元二次方程中不含的一次项，则的值是___________． 13. 将关于的一元二次方程化为一般形式后，其常数项为0，则m的值为_____． 14. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，利用尺规构造的方法求解一元二次方程，深刻影响了数学的发展．对于形如的方程，采用如下构造步骤：如图， ①作线段，取的中点，则； ②过点作，使得； ③以为圆心、的长为半径作圆，交直线于，两点．该方程的正根为图中线段___________． 三、解答题 15. 方程，m为何值时，方程是一元二次方程． 16. 先化简，再求值：，其中x是方程的根． 1．B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含一个未知数，未知数最高次数为，是整式方程． ∵选项A中未规定，当时，方程不是二次方程， ∴A不符合要求； ∵选项C中含有和两个未知数， ∴C不符合要求； ∵选项D中分母含有未知数，属于分式方程，不是整式方程， ∴D不符合要求； 选项B满足一元二次方程的所有条件． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程一般式的概念，解题思路是将原方程展开，移项合并同类项整理为一般形式，即可对应得到，，的值． 【详解】解：把一元二次方程化成一般式：， 对比一般式，可得，，． 3．C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 4．B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 5. A 【分析】本题考查一元二次方程的定义与一般形式，掌握知识点是解题的关键． 根据常数项为0可得，但需确保方程为一元二次方程，即二次项系数，即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的常数项为0， ∴， 解得或 又∵方程为一元二次方程， ∴，即． ∴． 故选：A． 6． 【分析】利用一元二次方程的解的定义得到与的关系式，整理得出的值，再利用整体代入的方法计算代数式的值． 【详解】解：把代入方程得， 整理得， 等式两边同时除以得， 可得， 所以． 7．13 【分析】根据方程的根的定义，将代入原方程可得的值，再将所求代数式变形后，整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的一个根， ， ∴， ∴． 8． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 9．1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 10. 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程二次项系数不为且方程的根满足方程是解题的关键．将已知根代入方程求出的可能值，再根据一元二次方程的定义排除不符合的取值． 【详解】解：将代入方程，得 ， ， ， 解得或． 因为方程是一元二次方程， 所以二次项系数，即． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴ ， 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查了一元二次方程的定义求参数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 将方程展开并整理为标准形式，令一次项系数为零求解即可． 【详解】解：原方程化为：， 移项得：， 由不含的一次项，得一次项系数， 解得 ， 故答案为：． 13．4 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式中，常数项的概念列式计算即可． 【详解】解：， 整理得，， 常数项为0， ， 解得，， 故答案为：4． 14．的长或的长 【分析】根据题意，，在中，利用勾股定理构造方程，整理得，对比题干的方程可知，是方程的正根，结合等量代换可知，也是方程的正根． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， 整理，得， ∴是方程的正根， ∵，， ∴，即， ∴也是方程的正根． 15、 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程未知数的最高次数为2且二次项系数不为零是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列关于m的方程求解即可． 【详解】解：根据一元二次方程的定义可得： ，解得：． 所以当时，该方程是一元二次方程． 16. ， 【分析】本题考查分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵x是方程的根， ∴， ∴原式． 学科网（北京）股份有限公司 $