重庆市南开中学校2025-2026学年高二下学期数学练习十一试题

重庆南开中学高2027级高二（下)数学练习（十一) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.若a,b∈R,则2°>2”是“lna2>nb2"的（) A.充分而不必要条件 B,必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2记集合4=x-3水，B=创，号≥，则4n8=() A.(2,3] B.1,4) C.[2,3] D.1,4 3.已知0<a<1,则，1+2的最小值为（) 2-2aa A月 C.5 D.9 4已知为，x·为，x的平均数为x,方差为2，则：，为，为，x,下的方差为（) A B等 c号 D.s 5.已知Y服从正态分布N(2,22),记函数∫(x)=P(x≤Y≤x+2),8(x)=P(Y2x),则正确的是（注：若 X-N(4,G2),则P(μ-o≤X5μ+o)=0.68,P(4-2a5Xsμ+2a)=0.95() ∫(2)=0.68 B.8(0)=0.5 C.lf(2-x)=f(2+x) D.8的图象关于2号引对称 6。设A,B是随机试验中的两个事件，P心)=写P(助=}P(4+)=之则下列错误的是() 1 P同=PE0B.PBl0= 号c.=片)+=品 7.有8名划船运动员，其中2人只会划左舷，3人只会划右舷，其他3人既会划左舷又会划右舷，现要从 这8名运动员中选出6人平均分在左、右舷参加划船比赛，则不同的选法共有（) A.52种 B.53种 C.54种 D.55种 8.已知点A(:，),B(:,2),定义d=√(：-y2)'+(:2-)为A,B的“镜像距离”.若点A,B 在曲线y=1-e2上，则da的最小值为() A.1 B.√2 C.2 D.25 第1页 二、多进思：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对得6分，部分进对得部分分，有选错得0分. 9.下列说法正确的是() A,利用x进行独立性检验时，X的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B.在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C,样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对 样本数据的线性相关程度越弱 D.用决定系数R来比较两个模型的拟合效果，R越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越 好 10.设a,beR,下列说法正确的是（) A.若a>0,则+的最小值为1 B.6-2生2a-2生当s0恒成文 c.a>0,4a2+l≥4Wa恒成立 D.若a>0,b>0,且ab=a+b+3,则 a ab>9 11.甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等，每次点球若射中， 侧继续：若末射中，则换对方点球。已知甲、乙每次点球射中的概率分别为子；，且每次点球是否射中相互 独立，则（) A.第2个球是甲射门的概率为乙 B,在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门的概率为 C.前4个球中甲、乙各射2个的概率为马 D.在第3个球是甲射门的条件下，第1个球是乙射门的概率为20 43 三、填空题：本题共3小题，年小题5分，共15分. 12.若1+)+1+}+t1+x)°=a,+ax+a×2++%3,则a2=一· 15.已知正数4,6满足a+6-1,则。8中的最大值为一· 14.参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线 第2页 使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确 定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题 的，而且通过学可，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他 在家里做了个探究实验：图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位 长度，在球的右上方有一个灯泡P（当成质点)，灯泡与桌面的距离为4个单位长 度，灯泡垂直照射在平面的点为A,影子椭圆的右项点到A点的距离为3个单位长度，则这个彩子椭圆的 离心率e= 四、解答题：本趣共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15、一座城市的夜间经济不仅有助于拉动本地居民内需，还能延长外地游客、商务办公者等的留存时间，带 动当地经济发展，是衡量一座城巾生活质量、消费水平、投资环境及文化发展活力的重要指标.数据显示， 近年来中国各地政府对夜间经济的扶持力度加大，夜间经济的市场发展规模保持稳定增长，下表为2017一 2022年中国夜间经济的市场发展规模（单位：万亿元），其中2017一2022年对应的年份代码依次为1一6. 年份代码x 2 3 4 5 6 中国夜间经 20.5 22.9 26.4 30.9 36.4 42.4 济的市场发 展规模y/ 万亿元 (1)已知可用函数模型y=a·b拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程(a,b的值枯确到0.01)： (2)某传媒公司预测2023年中国夜间经济的市场规模将达到48.1万亿元，现用（1)中求得的回归方程预 测2023年中国夜间经济的市场规模，若两个预测规模误差不超过1万亿元，则认为(1)中求得的回归方程 是理想的， 否则是不理想的，判断(1)中求得的回归方程是否理想，参考数据： e2.84g .48 1.16 3.366 73.282 17.25 1.16 2.83 其中y=y·参考公式：对于一组数据(4，y),(42,2),，(u,v,),其回归直线=在+Bu的斜率 u,-0%-可 和截距的最小二乘估计分别为户=可 a=v-加. 第3页 16.记数列{a,}的前n项和为S,己知a=2，Sn1=3S,+2n-1. (1)证明：{S,+n为等比数列： (2)设么，=异，求数列他，)的前n项和了 17.已知函数f(x)=xe-ax(a>0). (1)若函数∫(x)在x=-1处的切线与直线y=x垂直，求函数∫(x)的单调区间： (2)若x>0,都有f(x)≥a(x+)恒成立，求实数a的取值范围. 18.新年伊始，某车间开始生产活动，已知该车间每天被安排生产甲产品或乙产品的概率均为}，且要求A, B两位员工中，每天至少有一人值班.为了公平起见，当某天被安排生产甲产品时，若之前A的值班总天数 多于B,则两者当天均值班，若之前A的值班总天数不多于B,则A值班：同样的，当某天被安排生产乙 产品时，若之前B的值班总天数多于A,则两者当天均值班，若之前B的值班总天数不多于A,则B值班.设 刚开始时两人值班总天数均为0. (1)分析开工第二天后，两人值班天数的所有情况： (2)求n天后，两位员工值班总天数相同的概串P.: (3)求n天后，A值班总天数的期望E,· 参考公式：随机变量X,Y的期望满足公式E(X+)=E()+E(Y 19.已知抛物线C:y2=2px经过点A(1,2),B(x。,y)是抛物线C上异于点A的动点，且x*1· (1)求直线AB的斜率kB(用。表示)： (2)设不经过点A的直线I与C交于M,N两点，且直线AM,AN的斜率之和为1. ①求证：直线1恒过定点： ②若向量亚=A2N,且Ae-4,-,求△AMW的面积S的取值范围. 年4页重庆南开中学高2027级高二（下)数学练习（十一） 题号1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B D D D BD BCD Ac 题号 12 13 14 答案 84 3+2W5 3 9 8解：因为y=1-e2-x,所以e2=1-y,所以2-x=lm1-y),所以x=2-m1-y), 所以y=1-e2-r的反函数为y=2-lm1-x).因为B(x,y2)在曲线y=1-e2-上， 所以C02,x)在曲线y=2-m1-x). d。=V:-y22+(:-)}相当于y=1-e2-上的点4(%，)与y=2-1-x)上的点C02,为)的距离。 利用反函数的性质可得y=1-e2-与y=2-bm1-x)的图象关于y=x对称， 所以AC与y=x垂直时，d4B取得最小，等于点B到直线y=x距离的2倍. 因为y=2-1-,所以y=已文令已1，解得x=0,所以y=2, 1-x 所以与直线y=x平行，且与y=2-l1-x)相切的切点坐标为(0,2)， 切点到直线y=x的距离为行=石，所以4如的最小值为25。 11.解：记4=“抽签抽到甲”，B=“甲点球射中”，4，=“抽签抽到乙”，B2=“乙点球射中”， 则P)=P)-P)-子Pa),可得P网-号P间)=克 对于选项A:第2个球是甲射门的可能情况为：甲甲，乙甲， 所以所求事件的餐率为月-分号+分石。故4正确 对于选项B:在第1个球和第2个球均是甲射门的条件下，第3个球是乙射门，可知第2球甲未射中， 所以所求事件的摄率为B=P回)=片故B错误， 对于选项C:若前4个球中甲、乙各射2个，则可能情况祝有：甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙， 乙甲乙甲，乙乙甲甲， 1x2xx是+xx是x是+x1x1x1xlx1xlx+x5xx2,故C正确： 所求的概率为B=2×号×3×乞+2×行×2×行+2*2*2*2*3*2*写*222336 对于选项D:第3个球是甲射门的可能情况为：甲甲甲，乙甲甲，甲乙甲，乙乙甲， 12211211111143 对应的概率为2*有×行+2*方×有+2*乞十立×乞×22 第1个球是乙射门且3个球是甲射门的可能情况为：乙甲甲，乙乙甲， 对应的概率为{xx2+xx=2 2421 吃*行*号+与×行*分2，所以所求事件的概率月=爷 -X 43 ,故D错误， 72 14.解：以A为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意可知，|N2a+c,|QR仁a-c 由题意可得P0,-30,则PR:4-3y+2=-0,n-号 设Ma,,Qm,0,则M到PR的距离d=4n-3+12=l,解得n=-1（会 √42+32 y 去).A=-子，则1QR子-34-6，又设w:版-y44-0,由 -1+到 M· +尺l,得45-84+32=0.am-号则kw=音 d=- 32 8 N ,2a=5-=9, 得ws15, 2 :椭圆的离心率e= c7 l5.解：(1)将y=ab的等号左右两边同时取自然对数得lmy=m(ab)=lna+xmb, 所以v=a+hb,x=1+2+3+4+5+6=3.5,而2=12+2+32+4+3+62=91， 6 24--可 所以6= 是x-6 4 73.282-6×35×3.366_2.596=0.148, 2-6 91-6×3.52 17.5 1ma≈3.366-0.148×3.5=2.848，所以=2.848+0.148x,即1m=2.848+0.148x, 所以=e248+014:=17.25×1.16: (2)2023年对应的年份代码为7，当x=7时，=17.25×1.16=17.25×2.83≈48.82,48.82-48.1=0.72<1， 所以(1)中求得的回归方程=17.25×1.16是理想的. 16.证明：(1)记数列{a}的前n项和为Sn, 已知4=2，S1=3S+2n-1,将Sn=3S,+2n-1两边同时加(n+1), 得S+n+1=3Sn+3n=3(Sn+m),因为S+1=a+1=3,所以{S,+川是以3为首项，3为公比的等比数列： (2)由(1)知Sn+n=3”,即Sn=3-n, 当心2时，a=Sn-Sn1=2×3"-1, 当n=1时，4=S=3-1=2不符合上式， [2 2,n=1 故a,= 2x3-1n22'所以6= 21 (33m,n22 当e2时，又=4+低+6+…+6)=号+m-0-宁+京++ 1 -2n_1+1 6、11-3-2n-二1-2)=362,2 =391 136 3 由于当n=1时也满足该式，因此数列化，}的前n项和T=- 1 362.3" 17.解：(1)f(x)的定义域为(-o,+∞)，f"(x)=(x+1)e-a, 由题意得f"(-1)=-a=-1,解得a=1,∴.f'(x)=(x+1)e-1, 当x≤-1时，f"()<0恒成立，即f()在(-0，-]上单调递减 当x>-1时，易知f'()=(x+)e-1在(-1，+oo)上单调递增，又f'(0)=0, 所以x∈(-l,0)时，f"(x)<0,x∈(0，+o)时，f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)单调递增： 综上：函数f(x)的单调递减区间为(-o,0),单调递增区间为(0，+∞)： (2)由题意知：xe-a(x+lx+1)≥0对任意x>0恒成立， 可化为xe>a[ln(xe)+1]对任意x>0恒成立，令xe=tt>0),则有a(t+)对任意t>0恒成立， 由a>0,>0,可得如中对任意>0恒成立，令g0-中e>0,则g0-=” t 令g(t)=0,可得t=1, 当t∈(0,1)时，g)>0,g0单调递增；当t∈1，+∞)时，g)<0,g单调递减； 所以gm=g(1)=1,即上≥1，解得0<a<1,故a的取值范围为(0,1】 18.解：(1)第一天只有一人值班，第二天两人都值班或第一天未值班的人单独值班， 开工第二天后，两人的值班天数的情况有三种，为A一天，B两天；A两天，B一天：A,B各一天： (2)由题意可知，两人值班总天数之差至多为1， 且值班总天数较少者下一天单独值班的概率为 2 由对称性，A的值班总天数多于B,与B的值班总天数多于A的概率相等，为-卫， =1+1-A=-B,+ 所以P-22+22, 1111,1、 所以-+后20. 又a，即(，所以=(号(+ 1_1 (3)设A第i天值班的天数为随机变量x,x为0或1， 易知P6=)=上+B,+1上L= 2 P1十224+， 1.2 2 2 所以B)=0~P6=0)+1PGD=(←+3 因为En=E(%+x+…+x)=E()+E(3)+.+E(x), 3 212ag 3”9 19.解：(1)将点4,2)代入抛物线方程，所以4=2p,解得p=2, 则瑞物线C的方程为y广=4，此时8学)，因为气1，所以%产2，则。么2.4 空-1%+2 4 (2)①证明：设直线MN的方程为x=my+t,M(:,片)，N(3,)y,≠2)， 因为M,N两点均在抛物线上，所以=4x,片=4x2, 联立=m“,消去x并整理得y-4my-4=0,此时△=(4m-44的=16m2+16>0, y2=4x 4+4=1, 由韦达定理得y+男=4m,以=4，所以kw+w+2为+2 即40y2+2)+4y+2)=0y+20+2),所以20y+2)-y%2+12=0,此时2m+1+3=0, 所以直线MN的方程为x=y-2m-3,即x+3=m0y-2),则直线MN过定点，该点坐标为(-3,2)： ②由A0,2),0(-3,2),可得4211x轴，且1AQ4, 联粒2-3，令k=y-2,解得-+16-0 则+名=m-44=16,此时△=0-m>4,因为M观=0。 所以(-3-x,2-)=23+3,为-2》，得元=2=4=-上<0， -2k 因为1-套管-治所以片=兰且片=(9=16， 则△4w的面积SS.e-Sae上2引4QIHX-y2X-yl =2104-2刃-0-2214-5上2R+片-24=2161--2=88-2， 分会年发幽.g262 kka 16 又0-m>4,解得元+<-2，又1<0，所以2+21+1>0，即a+>0, 所以元≠-1，且元<0，此时[-4，-且元≠-l, 因为函数y=以-在红4，)单调运减，在-宁单调递端 E_165<12, 所以当45=层=2，当=-青5=8得-16 当1=-1，S=0.则面积S的取值范围为(0,12].