21.5 课时1 矩形的性质 课件 2025-2026学年冀教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦矩形的定义、性质（四个角都是直角、对角线相等）及对称性，通过生活中长方形实例导入，结合折叠、动态变化等活动，联系平行四边形知识，搭建从一般到特殊的认知支架，引导学生探究矩形特性。 其亮点在于融合动手操作与逻辑推理，通过折叠验证对称性培养几何直观，动态变化探究角和对角线关系发展空间观念，多种方法证明性质提升推理能力，对比表格明晰与平行四边形异同强化模型意识。助力学生提升逻辑推理和几何思维，为教师提供结构化探究活动与对比工具，提高教学效率。

21.5 课时1 矩形的性质 第二十一章 四边形 22100 学 习 目 标 1 2 3 理解矩形的定义，掌握矩形的性质定理（四个角都是直角、对角线相等），能运用性质进行计算与证明 经历矩形性质的探究、猜想与证明过程，体会类比、转化、数形结合的数学思想，提升逻辑推理能力 感受矩形的对称性与数学美，培养严谨的几何思维，体会矩形在生活中的应用价值 22100 情景导入 观察下面图形,长方形在生活中无处不在. 22100 全品初中 我们把有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 思考：结合矩形的定义，矩形和平行四边形有什么关系? 矩形是特殊的平行四边形 追问：矩形是特殊的平行四边形，那么矩形具有平行四边形的所有性质吗? 矩形具有平行四边形的所有性质 矩形还有其他性质吗？ 22100 新知探究 活动一 如图，剪出一个矩形纸片ABCD，O 是对角线AC 与BD 的交点. 请用折叠的方法验证它是轴对称图形. 矩形有几条对称轴？ 它们都经过矩形对角线的交点吗？ 通过折叠我们可以发现矩形是轴对称图形 它有2条对称轴，分别是对边中点的连线，如图所示 两条对称轴都经过矩形对角线的交点 同时，我们也可以看到矩形也是中心对称图形， 对称中心是对角线的交点， 如图，O为矩形ABCD的对称中心 22100 新知探究 矩形的性质 矩形既是中心对称图形,也是轴对称图形. 注意事项： 中心对称：对称中心是两条对角线的交点，绕交点旋转 180° 能与自身完全重合 轴对称：有2 条对称轴，分别是对边中点的连线，不是对角线 22100 获取新知 一起探究 如下图，当平行四边形的一个角为直角时，这时的平行四边形是一个特殊的平行四边形. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 矩形 ┐ 知识点 矩形的定义 1 22100 矩形与四边形、平行四边形的关系 四边形 平行四 边形 两组对边 分别平行 一个角 是直角 矩形 四边形 平行四边形 矩 形 22100 本部分揭示了知识前后间联系，既是包含关系，又是有一般到特殊的关系，而且要明确特殊是一般中继续满足一定条件下的细化 如图，剪一个矩形纸片ABCD，点O为这个矩形的中心. 活动1 探究矩形的对称性 问题1：你能用折叠的方法，验证它是轴对称图形吗？ 问题2：矩形有几条对称轴？它们都经过矩形的中心吗? 问题3：矩形是中心对称图形吗?如果是,矩形的对角线的交点是它的对称中心吗? 矩形是中心对称图形,矩形的对角线的交点是它的对称中心 矩形是轴对称图形 矩形有两条对称轴，都经过矩形的中心 22100 1.矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点. 2.矩形是轴对称图形，一共有2条对称轴，分别是对边中点的连线所在直线，且都经过对角线的交点. 22100 新知探究 活动二 如图，根据四边形的不稳定性，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角 在这个过程中: (1)这个四边形总是平行四边形吗? 为什么? (2)当α=90°时,其余三个内角的度数各是多少? (3)当α=90°时,两条对角线的长有什么关系? (1)这是四边形总是平行四边形，因为一组对边平行且相等 (2)当α=90°时，其余三个角也是90° (3)当α=90°时，通过测量可以发现， 两条对角线的长度相等 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线长度相等 22100 新知探究 证明 求证矩形的四个角都是直角 证明： 四边形 ABCD 是矩形， ∠A=90° 又 四边形 ABCD 是平行四边形， ， ， 即矩形的四个角都是直角 方法二 ABCD 是平行四边形 AB//CD，AD//BC ∠A=90°，AB//CD， （两直线平行，同旁内角互补）； 同理，AD//BC，可得； 再由平行四边形对角相等，得， 四个角均为直角 方法三： 连接对角线 AC， 在△ABC 和△ADC 中，利用平行四边形对边相等， 可证， 结合∠A=90°，推出其他角为直角。 你还有其他方法吗？ 22100 新知探究 证明 求证矩形的两条对角线相等 证明： 在矩形 ABCD 中，AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，BC=CB， △ABC△DCB（SAS） AC=BD，即矩形的两条对角线相等 方法二： 在Rt△ABC中，AC² = AB² + BC²； 在Rt△DCB中，BD² = DC² + BC²； 因为AB = DC，所以AC² = BD²，即AC = BD。 方法三： 矩形是平行四边形，对角线互相平分，即OA = OC，OB = OD； 再结合全等证明，可推出OA = OB = OC = OD， 即对角线的一半都相等，因此AC = BD。 你还有其他方法吗？ 拓展： 矩形的对角线不仅相等，还互相平分，因此矩形的对角线把矩形分成了四个等腰三角形 22100 问题1 ：矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是什么？ O ┐ 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它 的对称中心. 因为矩形是特殊的平行四边形 知识点 矩形的性质 2 22100 问题2 ：矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? ┐ 矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴. 22100 问题3 ：三角形具有稳定性，四边形呢？ α ┐ α α 上图说明，在四边形的四条边长保持不变时，形状是不确定的，故四边形是不稳定的. 22100 α α 如图，根据四边形的不稳定性，使一个平行四边形保持四条边长不变，而将一个内角α由钝角先变成直角，再变成锐角. α 在这个过程中， 问题1：这个四边形总是平行四边形吗？为什么？ 问题2：当α=90°时，其余三个内角各是多少度的角？ 问题3：当α=90°时，两条对角线的长有什么关系？ 是，两组对边分别相等 90° 相等 活动2 探究矩形的性质 猜测：矩形的四个角都是 ，两条对角线 . 直角 相等 22100 验证：矩形的四个内角都是直角 已知：四边形ABCD是矩形，∠C=90°. 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=90°， ∴∠A=∠C=90°，∠B+∠C=180 °， ∴∠B=180°－∠C=90°， ∴∠D=∠B=90°， 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°. A B D C 22100 验证：矩形的两条对角线相等 已知：四边形ABCD是矩形. 求证：AC = BD. 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC = ∠DCB = 90°， ∵AB = DC，BC = CB， ∴△ABC ≌△DCB（SAS）， ∴AC = BD. A B D C 22100 新知探究 矩形的性质 矩形的四个角都是直角. 矩形的两条对角线相等. 注意事项： 矩形邻边互相垂直（可直接用垂直性质解题）； 矩形任意一个角都是直角，无需额外证明； 对角线不仅相等，还互相平分（继承平行四边形的性质）； 对角线将矩形分成4 个等腰三角形，且分成的三角形全等 矩形首先是平行四边形，具备平行四边形的所有性质，解题时可直接使用 22100 在上述图形角度变化过程中： (1)这个四边形总是平行四边形吗？ (2)当α =90°时，其余三个内角各是多少度的角？ (3)当α =90°时，两条对角线的长有什么关系？ 是 都是90° 相等 22100 性质1：矩形的四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∠C=90° ∴∠A=∠C=90° ,∠B+∠C=180 ° ∴∠B=180－∠C=90° ∴∠D=∠B=90° 即∠A=∠B=∠C=∠D=90° 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90° 已知：四边形ABCD是矩形， 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 22100 矩形的四个角都是直角 矩形的两条对角线相等 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 符号语言： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. A B D C A B D C 矩形的性质定理 22100 即学即练 方法技巧 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是什么？ 角的特殊性： 矩形的四个角都是直角； 而一般平行四边形的对角相等、邻角互补， 但角不一定是直角 对角线的特殊性： 矩形的对角线相等； 而一般平行四边形的对角线仅互相平分，长度不一定相等 性质 平行四边形 矩形 角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角 对角线 互相平分 互相平分且相等 对称性 仅中心对称 中心对称 + 轴对称（2 条对称轴） 22100 即学即练 方法技巧 注意：不要遗漏 OA=OB=OC=OD 这组线段相等，这是矩形对角线性质的重要推论 看到矩形对角线，先想到 “对角线的一半都相等”，能快速写出多组相等线段和角 如图，四边形ABCD 为矩形.请指出图中相等的线段和角 1. 相等的线段 对边相等：AB=CD，AD=BC 对角线相等且互相平分： AC=BD，OA=OC=OB=OD 2. 相等的角 四个内角均为直角：∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对顶角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC 等腰三角形底角相等（由 OA=OB=OC=OD 可得）：∠OAB=∠OBA=∠OCD=∠ODC ∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB 22100 矩形的边、内角、对角线的性质和平行四边形比较哪些有变化了，哪些未变？ 元素 平行四边形 矩形 内角 边 对角线 四个角都是直角 对边平行且相等 对边平行且相等 对角线互相平分 对角线互相平分且相等 对角相等 邻角互补 总结 22100 矩形具有平行四边形的所有性质. 性质2：矩形的对角线相等. 已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD A B C D 证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° AB = DC ， BC = CB BC=CB ∴△ABC≌△DCB（SAS） ∴AC = BD 几何语言： ∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD 22100 如图，矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=4 cm，求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AO=OC=BO=OD. ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形. ∴AO=BO=AB=4 cm. ∴AC=AO+OC=AO+OB=8(cm)， 即矩形ABCD的对角线的长度为8 cm. 22100 课堂小结 1.本节课我们学习到了哪些知识？还有哪些困惑？ 2.在学习的过程中，你学到了哪些数学方法？ 探究与转化 演绎推理 22100 课堂小结 矩形的概念及性质 四个内角都是直角 对称性 一般性质 定义：1个直角+平行四边形 中心对称图形：对角线的交点是对称中心 性质 特殊性质 两条对角线相等 轴对称图形：对边中点所在直线是对称轴 22100 $