期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）

**基本信息** 人教版八年级下册期末能力提升卷，涵盖二次根式、统计、四边形、函数等核心知识，通过基础题巩固概念，综合题（如勾股定理探究、函数与几何结合）培养抽象能力与推理意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|二次根式、统计量、平行四边形判定|结合生活情境（如电子秤变量），基础概念辨析| |填空题|6题|方差、一次函数、几何最值|设置折叠问题（如正方形翻折），考查空间观念| |解答题|8题|二次根式计算、勾股定理证明、函数图像翻折|创新定义“友好二次根式”，材料题探究勾股定理证明，培养模型意识与创新思维|

期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024） 一、单选题 1．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．某校为了解学生的睡眠情况，随机抽取10名学生的睡眠时间 （单位：小时）：7，8，7，6，9，7，8，7，10，8．下列说法正确的是（    ） A．平均数为7.5 B．中位数为7 C．众数为7 D．方差为1.2 3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（    ） A．B．C． D． 4．在投掷实心球的比赛中，甲、乙两人各投掷了次，球的落地位置如图所示．已知两人次投掷所得的平均成绩相同，对于甲、乙两人这次成绩的方差的描述正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 5．小花去买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（   ） A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和数量 6．三角形的三边长为，且满足，则这个三角形是（    ） A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 8．如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知正方形的边长为5，点E，F分别在，上，，与相交于点G，点H为的中点，连接，则的长为（    ） A．3 B． C． D． 10．如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次根式的值是 _________． 12．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均为环，方差分别为，，，，则四人中成绩最稳定的是______． 13．若一次函数的图象与直线平行，且与轴交于，则该一次函数的解析式为___________． 14．如图，在等腰直角中，，平分，E是线段上一点，F是线段上一点，连接、，若，，则的最小值是_____． 15．如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 16．如图，将正方形置于平面直角坐标系中，其中，，边在x轴上，直线：与正方形的边有两个交点O、E，当时，k的取值范围是____． 三、解答题 17．计算： 18．计算：已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．在箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的第三四分位数（75%分位数）和第一四分位数（25%分位数）；整个箱体的高度为四分位距；位于最下面和最上面的实横线分别表示最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些点，它们是数据中的异常值）．图2为某地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）箱线图．AQI值越小，空气质量越好；AQI值超过200，说明污染严重． (1)该地区今年5月有没有严重污染天气？ (2)该地区哪个月的AQI值比较集中？ 20．如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，交于点，交于点． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 21．如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，作平行四边形． (2)在图1中，点E是边与网格线的交点，在边上找一点F，使． (3)在图2中，点M是边与网格线的交点，在上画点N，使． (4)在图3中，点P是格点，在上画点Q，使最小． 22．定义：若两个含二次根式的代数式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若a与是关于6的友好二次根式，则a的值为________； (2)若与是关于8的友好二次根式，求x． (3)已知，，若m与n是关于1的“友好二次根式”，且a，b为整数，请求出a，b的值． 23．已知一次函数的图象经过和两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)将该一次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个“V”字形的新图象．求新图象与直线的交点坐标； (3)设点为轴上一动点，过点作垂直于轴的直线，直线与（2）中新图象交于点，，与直线交于点，如果，请结合图象直接写出的取值范围． 24．【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图1所示的方式摆放，点与点重合，点，，在一条直线上，连接， 的三边长分别为，，，利用四边形的面积的不同求法，列等量关系，可证得勾股定理． (1)①根据梯形面积公式得到：；根据面积求和得到：________（用含a，b，c的式子表示）； ②利用面积的等量关系，整理得出：________； (2)【探究】童童将从图1的位置开始沿向左移动，直到点与点重合时停止，如图2所示，与交于点．童童在图2中也尝试利用四边形的面积对勾股定理进行证明．请你帮助她完成证明过程； (3)【应用】在图2的基础上，若四边形的面积为112.5，的长为9，求的长． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《期末能力提升卷-2025-2026学年数学八年级下册人教版（2024）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C D C B C C C 1．A 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件逐个判断即可. 【详解】解：最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母（或分母中不含根号）. 对于A选项， ∵的被开方数满足上述两个条件， ∴是最简二次根式. 对于B选项， ∵， ∴不是最简二次根式. 对于C选项， ∵， ∴不是最简二次根式. 对于D选项， ∵，被开方数含分母， ∴不是最简二次根式. 综上，故答案选：A. 2．C 【分析】根据对应定义分别计算各选项的结果，即可判断对错． 【详解】解：首先将题目给出的10个数据从小到大排序，得：． 计算平均数： A选项错误． 计算中位数： 10个数据的中位数为排序后第5个和第6个数据的平均数，第5个是7，第6个是8，得中位数为 B选项错误． 计算众数： 7一共出现4次，出现次数最多，众数为7， ∴C选项正确． 计算方差： ， D选项错误． 3．C 【分析】根据菱形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A、由图可知，对角线与两邻边的夹角均为，即邻边相等，则根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，可判定选项A一定是菱形； B、由三角形内角和定理可知对角线夹角为，即对角线垂直，则根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可判定选项B一定是菱形； C、根据图中数据，只能说明同旁内角互补，不能说明一定是菱形； D、由图可知对角线平分内角，即所分成的两个角均为，由平行线性质可推出三角形为等边三角形，故邻边相等，则选项D一定是菱形； 则只有选项C不一定是菱形． 4．C 【分析】根据方差来衡量数据波动大小、离散程度，进行判断即可． 【详解】解：∵一组数据中，方差越小，数据越稳定、波动越小，方差越大，数据越分散、波动越大， ∴观察图片可知，甲的成绩比乙的成绩更加分散， ∴． 5．D 【分析】根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价是常量，金额与数量是变量． 6．C 【分析】先利用完全平方公式化简原等式得到，利用勾股定理的逆定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵是三角形的三边长， ∴这个三角形是直角三角形． 7．B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 8．C 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 9．C 【分析】由正方形的性质可得，，证明得出，求出，由勾股定理可得，最后再由直角三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点H为的中点， ∴． 10．C 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ，解得， ∴， 观察图象知：关于的不等式的解集为． 11． 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 12．丁 【分析】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，成绩越稳定，比较各方差大小即可得出答案． 【详解】解：∵，，，，且平均数均为环， ∴， ∴四人中成绩最稳定的是丁． 13． 【分析】根据两直线平行得到，与轴交于得到． 【详解】解：一次函数的图象与直线平行，且与轴交于， ，， 该一次函数的解析式为． 14．5 【分析】在上取一点F'，使，连接，交于E，此时的值最小，为的长． 【详解】解：在上取一点，使，连接，交于E， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴，当C、E、共线时取等号， ∴的最小值为的长， 在等腰直角中，，， ∴， ∴， 由勾股定理，得． ∴的最小值是5． 故答案为：5． 15． 【分析】本题考查翻折的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 连接，则，过点F作于点H，易证，进而得到、，设，则，根据四边形的面积为6，列方程得到关于的表达式，在中，利用勾股定理求出的值，最后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 设，则， 四边形的面积为6， ， 即， 解得， ， ， 由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得， 的面积为：． 16．或 【分析】分和两种情况讨论，找到临界点即可解答． 【详解】解：当时， 当时， ， ， 根据勾股定理，得， 将点E坐标代入， 得， ，， ， ∴正方形的边长为4， ， 当E与B重合时，， 当时，k的取值范围是， 当时， ， ， 当时，k的取值范围是， 综上，k的取值范围是：或． 17． 【详解】解：原式 ． 18．(1)10 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，完全平方公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，，再将所求式子变形为，整体代入计算即可得解； （2）由题意可得，，整体代入计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 19．(1)该地区今年5月有严重污染天气 (2)该地区5月的AQI值比较集中 【详解】（1）解： 该地区今年5月空气质量指数（）箱线图外部有点， 即有一个异常值超过200， 该地区今年5月有严重污染天气； （2）解：该地区今年5月和6月的空气质量指数（AQI）最小值相同，第一四分位数相同，中位数相同，但5月最大值和第三四分位数小于6月的最大值和第三四分位数， 该地区5月的AQI值比较集中． 20．(1)证明见解析 (2)4 【分析】（1）根据菱形的性质，得到，进而得到是的中位线，推出，证四边形是平行四边形，再根据，即可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质，得到，，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，由矩形的性质可知，，然后利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形为菱形， 点为的中点， 点为中点， 为的中位线， ， ，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形． （2）四边形为菱形， ，， ， 又点为的中点， ， 四边形为矩形，， ，， ， ， 在中，． ． 21．(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）因为平行四边形对边平行且相等，所以可通过平移线段或，找到点D的位置，使得平行且等于平行且等于． （2）因为平行四边形中平行且等于，所以可利用网格的等距性，根据的长度，在边上找到对应长度的线段，使． （3）因为平行四边形对边平行，所以可通过构造以为边的网格平行四边形，结合点M的位置，在上找到满足的点N． （4）因为两点之间线段最短，所以可作点P关于的对称点，连接该对称点与点B，与的交点即为点Q，使得最小． 【详解】（1）画法：根据平行四边形“一组对边平行且相等”的判定， 长度为4个网格边长， 将点向右平移4个网格单位得到格点， 连接、， 四边形即为所求． （2）画法：平行四边形的对角线交于中心点， 连接并延长，交于点， 即为所求． 依据：∵在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∴． （3）画法：同（1）作，延长交于格线E，连接，交于点N，则． 依据：由作图可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （4）画法：利用将军饮马最短路径模型，作点关于直线的对称点， 连接，交于点，即为所求． 依据：∵， ∴， ∴； ∴与的交角为，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴平分， ∴垂直平分， ∴， 因此， 根据“两点之间线段最短”，此时取得最小值． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据定义列方程求解即可； （2）根据定义列方程求解即可； （3）根据定义得到，整理可得，由于结果是有理数， 为整数，是无理数，因此无理项系数为0，据此得到二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得； （2）解：由题意得， 展开左边得， 整理得， 分母有理化求解得； （3）解：由题意得， 展开左边得， 整理得， 因为结果是有理数， 为整数，是无理数， 因此无理项系数为0，可得方程组， 由第一个方程得， 代入第二个方程得， 解得， 将代入得， 即． 23．(1) (2)和 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）首先求出翻折后点右边的图象的表达式为，然后分两种情况，分别和直线联立求解； （3）根据题意画出图象，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵ ∴当时， 解得 ∴与x轴的交点坐标为 点关于x轴对称的点的坐标为 设翻折后点右边的图象的表达式为 将，代入得， 解得 ∴ 如图， ∴当时，联立和得， 解得； 当时，联立和得， 解得； ∴新图象与的交点坐标为和； （3）解：如图，由（2）可得新图象与的交点坐标为和， ∵，， ∴由图象可得，当直线l和线段有交点时， ∴． 24．(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）①利用三角形面积公式求解即可； ②利用等面积法得到，化简即可； （2）利用梯形的面积公式得到，再由得到，即可得到，整理式子即可． （3）由求出的值，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②： ； （2）证明：连接，， ， 如图1所示：，则由平移的性质可得在图2中， ∴ ， ∴， 整理可得：； （3）解：∵， ∴ ∴， 解得：或（舍去）， ∴在中，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $