考点09 统计与概率能力提升练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦统计与概率核心知识，通过多题型整合现实情境问题，强化数据处理与概率推理能力，体现数学应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计基础|单选1/4、多选7、解答1(1)(2)|考查加权平均数、频率分布直方图、数据特征变换|统计量计算与图表分析结合，体现数据意识| |概率应用|单选2/3/5/6、填空9/10、解答2(1)(2)|涉及独立事件、互斥事件、古典概型|概率公式与事件关系推导，培养推理能力| |数据分析|多选8、解答1(1)|结合图表分析预算收入变化|数据解读与实际问题关联，发展模型观念| |综合实践|解答1(3)、2(3)|分层抽样与概率综合、测试成绩比较|知识交叉应用，强化应用意识|

考点09 统计与概率·能力提升 一、单选题 1. 某高级中学的高一年级、高二年级、高三年级的学生人数比为，若高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别是，，，则这三个年级学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 2. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 3. 设三个事件A，B，C相互独立，且事件A发生的概率是，事件A，B，C同时发生的概率是，事件A，B，C都不发生的概率是，则事件A，B，C中只有一个发生的概率是（   ） A． B． C． D． 4. 某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 5. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件不是独立事件 D． 6. 设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 二、多选题 7. 已知数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，，…，，其中（），则下列命题中正确的是（   ） A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是 C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是 8. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 三、填空题 9. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______. 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 四、解答题 11. 为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； (2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； (3)在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 12. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. (1)求甲两轮测试总分为30分的概率； (2)求乙在第一轮测试中得40分的概率； (3)试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点09 统计与概率·能力提升 一、单选题 1. 某高级中学的高一年级、高二年级、高三年级的学生人数比为，若高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别是，，，则这三个年级学生的平均身高是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】计算几个数的平均数 【分析】由平均数的定义即可求解. 【详解】这三个年级学生的平均身高是. 故选：C. 2. 2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划），明确从2020年起强基计划取代原高校自主招生方式，如果甲､乙､两人通过强基计划的概率分别为，，那么甲､乙两人中恰有1人通过的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】由题意，甲乙两人通过强基计划是相互独立的事件，可确定甲乙两人中恰有一人通过的事件为甲通过乙不通过和甲不通过乙通过. 【详解】由题意，甲乙两人通过强基计划的事件是相互独立的， 那么甲乙两人中恰有一人通过的概率为 故选：A. 3. 设三个事件A，B，C相互独立，且事件A发生的概率是，事件A，B，C同时发生的概率是，事件A，B，C都不发生的概率是，则事件A，B，C中只有一个发生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【详解】设事件B发生的概率为，事件C发生的概率为，则．又，得解得或故事件A，B，C中只有一个发生的概率是． 4. 某市为了了解全市10万名高一学生的数学学习情况，抽取了该市某个区的15000名学生进行数学能力测试（百分制），并将这些学生的成绩整理成如图所示的频率分布直方图、根据频率分布直方图，下列说法正确的是（   ） A．图中a的值为0.15 B．估计样本数据的分位数为85 C．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试不及格（低于60分）的人数为5000 D．用样本可以估计全市高一学生数学能力测试的平均分约为81.5分（同一组数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、总体百分位数的估计 【分析】A选项，根据频率分布直方图的性质计算； B选项，先判断出分位数所在的区间，然后列方程计算； C选项，先算出样本数据中不及格的频率，由此估计全市学生不及格的人数； D选项，根据题意中的平均数的计算要求进行计算. 【详解】A选项，根据频率分布直方图的性质，， 解得，A选项错误； B选项，前个矩形条的面积为， 前个矩形条的面积为：， 故样本数据的分位数落在中，设样本数据的分位数为， 于是，解得，B选项错误； C选项，根据直方图可以看出，低于分的频率为：， 于是估计全市学生不及格的人数为：，C选项正确； D选项，由题意，平均数为： ，D选项错误. 故选：C. 5. 有八张卡片，分别标记数字，从中随机抽取一张，记录它的数字，记“数字为偶数”为事件，记“数字大于4”为事件，记“数字为”为事件，则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B． C．事件与事件不是独立事件 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、计算古典概型问题的概率、独立事件的判断 【分析】由古典概型判断事件互斥，计算事件概率判断是否独立. 【详解】事件，事件，事件， 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误； ，所以，又因为，所以 ，B错误； ，所以， 所以，事件与事件是独立事件，C错误； ，所以，所以，D正确； 故选：D. 6. 设A，B是两个随机事件，且，则下列结论正确的是（ ） A．若A，B是互斥事件，则 B．若，则 C．若A，B是相互独立事件，则 D．若，则A，B是相互独立事件 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】互斥事件的概率加法公式、利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的判断、独立事件的乘法公式 【分析】根据互斥事件、事件的包含关系、相互独立事件的概念及概率公式逐一分析即可. 【详解】若A，B是互斥事件，则A，B不可能同时发生，即，故A错误； 若，则，所以，故B错误； 若A，B是相互独立事件，则，所以，故C正确； 因为，所以，又，所以，即，所以A，B不是相互独立事件，故D错误. 故选：C. 二、多选题 7. 已知数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，，…，，其中（），则下列命题中正确的是（   ） A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是 C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 【分析】对于AB，由平均数，标准差的计算公式直接验算即可；对于 CD， 直接由中位数，极差的定义验证即可. 【详解】A，因为，所以 ，故A正确； B，因为，所以，故B错误； C、D，不妨设，所以， 而，所以，故C正确； 因为，所以 ，故D正确. 8. 某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【难度】0.4 【知识点】根据条形统计图解决实际问题、根据折线统计图解决实际问题 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 三、填空题 9. 据先秦典籍《世本》记载：“尧造围棋，丹朱善之.”围棋，起源于中国，至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.现从3名男生和2名女生中任选2人参加围棋比赛，则所选2人中至少有1名男生的概率为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】计算古典概型问题的概率 【分析】确定样本空间，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】设3名男生为，2名女生为， 则任选2人有：，10种情况， 其中至少有1名男生有：，9种情况， 则至少有1名男生的概率为， 故答案为： 10. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、计算古典概型问题的概率 【分析】先根据已知求出满足条件的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数， 则试验的样本空间为，其中共有36个样本点， 由得，∴，满足题意的样本点共3个：， 所以的概率. 故答案为：. 四、解答题 11. 为深入学习党的二十大精神，激励青年员工积极奋发向上，某单位团工委组织青年员工参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中随机抽取了100份试卷进行调查，这100份试卷的成绩频率分布直方图如图所示，已知第二、三、四组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同． (1)求，的值，并估计这100名同学面试成绩的平均数； (2)已知样本落在第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和17，落在第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和26，求样本中这两组面试成绩的方差； (3)在第一、第二两组中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，求选出的两人来自不同组的概率． 【答案】(1)，， (2)估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 (3) 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、由频率分布直方图估计平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）根据平均数的计算公式求解即可； （2）根据方差的计算公式求解即可； （3）根据分层抽样、古典概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 解得， 由直方图知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05 平均数：. （2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为 且两组频率之比为, 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为 估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是101 （3）根据分层抽样，和的频率比为 在和中分别选取1人和5人，分别设为和 则在这6人中随机抽取两个的样本空间包含的样本点有： 共15个，即 记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共5个，即 . 答:选出的两人来自不同组的概率为. 12. 为筹备“2025浙江省城市篮球联赛（浙BA）”城市争霸赛，某市级联队面向社会公开选拔战术助理教练，选拔流程包括两轮测试，重点考察选手的篮球知识储备与临场战术应对能力：第一轮为战术理解测试：从5道经典战术分析题中任选2题作答，若两题均答对得40分，其余情况得0分；第二轮为实战应变测试：从5道实战应变题中任选2题作答，每答对1题得30分，答错得0分；若两轮总成绩不低于60分，选手将获得面试资格，且进入正式教练团队备选名单.现有两位候选人甲与乙参加此次测试，甲对两轮题目中每道题的答对概率均为0.5；乙第一轮测试题仅掌握其中4题（掌握的题必答对，未掌握的题必答错），乙第二轮每题答对的概率为0.4；所有测试中，每项成功与否互不影响. (1)求甲两轮测试总分为30分的概率； (2)求乙在第一轮测试中得40分的概率； (3)试判断谁更有可能进入正式教练团队备选名单？ 【答案】(1) (2) (3)乙 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用和事件、对立事件、独立事件的相关概念计算即可； （2）利用古典概型计算概率即可； （3）分类讨论甲乙两人的得分情况，根据第二问的结论及独立事件的乘法公式计算比较概率大小即可. 【详解】（1）设“甲两轮总分得30分”为事件，“甲第一轮答错一题得0分， 第二轮答对一题得30分”为事件；“甲当第一轮答错两题得0分，第二轮答对一题得30分”为事件. 则； （2）对第一轮的5个问题进行编号：，第一轮从5个问题中任选两题作答， 则有共10种， 设乙只能答对4个问题的编号为：，则乙在第一轮得40分，有 共6种， 则乙在第一轮得40分的概率为：； （3）由（2）知，乙在第一轮得40分的概率为，则乙在第一轮得0分的概率为：， 依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总分不低于60分， 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对一题得30分时， 甲和乙晋级复赛的概率分别为：； ； 当第一轮答对两题得40分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： ； 当第一轮答错一题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲和乙获得面试资格的概率分别为： 当第一轮答错两题得0分，第二轮答对两题得60分时， 甲获得面试资格的概率分别为：， 甲获得面试资格的概率为：； 乙获得面试资格的概率为： 乙更有机会获得面试资格，进入正式教练团队备选名单. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $