期末复习提升专题 向量数量积的坐标表示 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 三级分层设计，覆盖从基础运算到综合应用，适配期末复习的知识巩固与能力提升需求，体现数学思维与创新意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|向量数量积坐标运算、夹角余弦值、投影向量等基础知识点|以选择、多选题为主，夯实运算能力，如第2题直接考查数量积运算| |B级|模长计算、参数范围、几何应用（菱形）|填空与解答结合，提升推理能力，如第8题探究夹角为锐角的参数范围| |C级|综合运算与方程思想|综合解答题，培养创新意识，如第10题结合垂直关系求向量夹角|

专题　向量数量积的坐标表示 A级 必备知识基础练 1.已知a+b=(2,-8),a-b=(-8,16),则a与b的夹角的余弦值为(　　) A. B.- C.± D. 2.向量a=(2,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=(　　) A.1 B.-1 C.-6 D.6 3.(多选题)设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述正确的是(　　) A.若k=-3,则a与b的夹角为钝角 B.|a|的最小值为2 C.与b垂直的单位向量只能为 D.若|a|=2|b|,则k=±2 4.向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为(　　) A.± B. C. D. 5.若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 6.已知向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,则|a-2b|=(　　) A.8 B.4 C.10 D.8 B级 关键能力提升练 7.已知a=(1,2),b=(-2,n),且a⊥b,则|3a+b|=　　　　　.  8.已知a=(m,6),b=(2,1),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是　　　　　　　.  9.已知点A(-1,0),B(0,1),点P(x,y)为直线y=x-1上的一个动点. (1)求证:∠APB恒为锐角; (2)若四边形ABPQ为菱形,求的值. C级 学科素养创新练 10.已知向量a=(1,2),b=(3,-2). (1)求|a-b|的值; (2)已知|c|=,且(2a+c)⊥c,求向量a与向量c的夹角. 参考答案 1.B　由向量a+b=(2,-8),a-b=(-8,16), 得a=(-3,4),b=(5,-12),所以|a|=5,|b|=13,a·b=-63,即a与b夹角的余弦值cos θ==-.故选B. 2.D　因为a=(2,-1),b=(-1,2),所以2a+b=(3,0),所以(2a+b)·a=(3,0)·(2,-1)=3×2+0=6.故选D. 3.AB　当k=-3时,a·b=k-2=-5<0,且a与b不共线,则a与b的夹角是钝角,所以A正确; |a|=≥2,当且仅当k=0时取等号,所以的最小值为2,所以B正确; 设与b垂直的单位向量为(x,y), 则解得 与b垂直的单位向量为,所以C不正确; 若|a|=2|b|,可得=2,解得k=2或-2,所以D不正确.故选AB. 4.D　根据题意可得a·b=-1+2=1,|a|=,向量b=(1,2)在向量a=(-1,1)上的投影向量为(-1,1)=-.故选D. 5.C　∵e1·e2=|e1||e2|cos 60°=, ∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+e1·e2+2=-6++2=-,|a|2=a2=(2e1+e2)2=4+4e1·e2+=4+4×+1=7,|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9-12e1·e2+4=9-12×+4=7. 设a,b的夹角为θ,则cos θ==-,又0°≤θ≤180°,所以θ=120°.故选C. 6.B　因为向量a=(6,-2),b=(1,m),且a⊥b,所以a·b=6-2m=0,解得m=3,所以b=(1,3),a-2b=(4,-8),所以|a-2b|==4,故选B. 7.5　因为a⊥b,所以-2+2n=0. 解得n=1,所以a=(1,2),b=(-2,1), 所以3a+b=(1,7), 故|3a+b|=5. 8.(-3,12)∪(12,+∞)　∵向量a与向量b的夹角是锐角, ∴a·b=2m+6>0,即m>-3. 当a与b共线时,,∴m=12,此时a与b同向,夹角为0°.∴实数m的取值范围是(-3,12)∪(12,+∞). 9.(1)证明 ∵点P(x,y)在直线y=x-1上, ∴可得点P(x,x-1). ∴=(-1-x,1-x),=(-x,2-x). ∴=-x(-1-x)+(1-x)(2-x)=2x2-2x+2=2>0,∴cos∠APB>0. 若A,P,B三点在一条直线上,则, 得到(-1-x)(2-x)=(1-x)(-x),此方程无解, ∴∠APB≠0.∴∠APB恒为锐角. (2)解 ∵四边形ABPQ为菱形,∴||=||, ∵=(1,1),=(x,x-2),∴, 化简得到x2-2x+1=0,解得x=1,得到P(1,0). 设Q(a,b),∵,∴(a-1,b)=(-1,-1), ∴解得a=0,b=-1,可得点Q(0,-1). ∴=(0,-2)·(1,-1)=0+2=2. 10.解 (1)因为a=(1,2),b=(3,-2),所以a-b=(-2,4),所以|a-b|==2. (2)设向量a,c的夹角为θ, 因为a=(1,2),|c|=,且(2a+c)⊥c, 所以|a|=,(2a+c)·c=0,可得2a·c+c2=0, 2|a||c|cos θ+|c|2=0,即2××cos θ+10=0,解得cos θ=-.因为θ∈[0,π],所以θ=,即向量a与向量c的夹角为. 学科网（北京）股份有限公司 $