2026年中考数学专题复习：含参二次函数

**基本信息** 聚焦含参二次函数核心素养，以题载法构建从性质应用到综合证明的逻辑体系，强化代数推理与几何直观融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解与性质应用|3单选+4解答|对称轴分析、判别式判断、参数范围推理|从二次函数基本性质（开口方向、顶点）到参数对图像的影响，形成“概念-性质-应用”链条| |综合证明与拓展应用|4解答（含龙岩质检题）|分类讨论、新定义转化（不动点）、图像翻折|结合方程与不等式，通过命题证明、反例构造深化参数问题逻辑推理，体现数学思维严谨性|

含参二次函数 1．若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（    ） A． B． C．0 D．4 2．二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（    ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 4．（龙岩5月质检第23题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． 5．已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 6．已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 8．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上， (1)求证： (2)已知点在该抛物线上．若，请判断的大小关系并说明理由． 9．定义∶点在抛物线上，若，则称点P是该抛物线的一个“不动点”在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C． (1)当时，若抛物线经过点， ①求抛物线的解析式； ②判断抛物线上不动点的个数，并说明理由； (2)若，是抛物线上的两个不动点，且，点在点C和点M之间的抛物线上，证明：． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求与之间关系； (2)已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 11．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 含参二次函数参考答案 一、单选题 1．若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，再比较A、B两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， 计算得， ∴， ∴A点到对称轴的距离大于B点到对称轴的距离， ∵A点横坐标为，A到对称轴的距离为， ∴， 解不等式得， 观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 2．二次函数的图象过点，，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，容易求得，结合，分两种情况讨论：当时和当时． 【详解】根据题意可得，二次函数的对称轴为，且开口向下，所以． （Ⅰ）当时，可得 解不等式，得 （不符合题意，舍去）． （Ⅱ）当时，可知且，可得 解不等式组，得 ． 3．已知点，，在抛物线上，则下列结论中，错误的是（   ） A．当时， B．存在实数a，使得 C．a取任意非零实数时，都有 D．a取任意非零实数时，都存在t，使得 【答案】D 【分析】把点，，代入抛物线，可得，，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， ∴，， 当时，， ∴， ∴， ∴A选项正确，不符合题意； 令，即，， 解得， ∴存在实数a，使得， ∴B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴取任意非零实数时，都有， ∴C选项正确，不符合题意； 若，则， ∵， ∴， 当时，，与矛盾， ∴当时，不存在，使得， ∴D选项错误，符合题意． 二、解答题 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)若，求； (2)若抛物线的顶点坐标为，求的值； (3)若，，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据对称性得到对称轴即可； （2）设抛物线的解析式为，再代入即可求解； （3）由题可知，代点可得，再作差证明即可． 【详解】（1）解：， ∴图象经过点和点．   ∴对称轴直线，解得； （2）解：依题意得，设抛物线的解析式为，   把点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 把代入，得； （3）解：把点代入得； ； 把点代入得；   把代入得即； ， ．    ； ．   5．已知抛物线（m为常数）过点，与x轴交于，点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)命题一：如果，那么；命题二：如果，那么； 判断命题一、二是否正确，若不正确；请举一个反例；若正确，请证明． 【答案】(1) (2)命题一正确，证明见解析，命题二不正确，反例见解析 【分析】（1）把代入抛物线求出m的值，即可得出答案； （2）先求出点，再求出直线的解析式为：，过点P作垂直于x轴的直线交于点，得出，， 求出，根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：， 所以函数的解析式为； （2）解：命题一正确；理由如下： 当时，则， 解得：，， 因为抛物线与x轴交于， 所以， 又因为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得：， 所以直线的解析式为：， 由（1）得，抛物线的解析式为：， 又因为点是直线上方的抛物线上任意一点，过点P作垂直于x轴的直线交于点， 所以，， 所以 ， 线段的长是关于p的二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为直线， 所以，当时，随p的增大而减小， 所以，当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 如果，则此时， 所以，命题一正确； 命题二不正确； 反例：当时，此时． 6．已知二次函数． (1)若，求证：二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； (2)若二次函数的图象过点，，且． ①当时，求的最小值； ②若该二次函数有最大值，将该函数图象在直线右侧的部分沿直线l翻折得到的图形与原函数图象组合成新图形W．若对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点，求n的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)① ②且 【分析】（1）证明判别式即可； （2）由A、B纵坐标相等得对称轴，得；①根据图象过点，得，从而得 ，根据二次函数的性质，即可得最小值；②根据交点的个数，画出简图，分类讨论，列出不等式，求解即可得到n的取值范围． 【详解】（1）证明：二次函数，当时，， ， ，， ，， 一元二次方程有两个不同的实数根， 二次函数的图象与x轴有两个不同的交点； （2）解： ，， 对称轴 ， 对称轴， ，则， ①当时，，则， ， ，整理得， ， ， 当时，取得最小值，为； ②二次函数有最大值，，开口向下，对称轴为直线 ， 对于m的每一个值，直线与图形W总有三个不同的交点， 如图1，当时，只需点在直线右侧即可， ，解得； 如图2，当时，只需点在直线上或左侧即可， ，解得； 综上所述：且． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求该二次函数图象的对称轴； (2)若，． （i）判断该二次函数图象的开口方向，并说明理由； （ii）已知为该二次函数图象上的一点，求证：． 【答案】(1) (2)（i）抛物线的开口向上，理由见解析；②见解析 【分析】（1）待定系数法求出的关系，对称轴公式求出对称轴即可； （2）（i）根据条件式，分和两种情况进行讨论即可得出结果；（ii）把点代入解析式，得到，进而得到，根据条件式，得到即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线； （2）解：（i）抛物线的开口向上，理由如下： ∵，， ∴异号， 当时，时，则， ∴，与题意不符合， ∴，，且， ∴抛物线的开口向上； （ii）∵，为该二次函数图象上的一点，且由（1）知：， ∴， ∴， ∴， 由（i）可知：，，即， ∴，， ∴． 8．在平面直角坐标系中，两点在抛物线上， (1)求证： (2)已知点在该抛物线上．若，请判断的大小关系并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）依据题意，由两点在抛物线上，则，从而计算可以得解； （2）根据可得，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由两点在抛物线上，可得， ∴， ∴； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，即， ∴与异号， ∵， ∴， ∵在该抛物线上， ∴， ∵， ∴． 9．定义∶点在抛物线上，若，则称点P是该抛物线的一个“不动点”在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C． (1)当时，若抛物线经过点， ①求抛物线的解析式； ②判断抛物线上不动点的个数，并说明理由； (2)若，是抛物线上的两个不动点，且，点在点C和点M之间的抛物线上，证明：． 【答案】(1)①②2，理由见解析 (2)证明：∵，是抛物线上的两个不动点， ∴，， ∴，是方程的两个根， ∴整理得， ∴，， ∴，， ∵点在点C和点M之间的抛物线上， ∴， 又抛物线的对称轴为， 代入得对称轴为， ∵， ∴， ∴ ∴对称轴， 又∵抛物线开口向上，在对称轴左侧y随的增大而减小， ∴当时，， ∵是方程的根， ∴，即， 所以，． 【分析】（1）①已知抛物线经过的点和c的值，将点代入抛物线方程即可求出b的值，进而得到抛物线的解析式；②根据不动点的定义，令，得到一个一元二次方程，通过判断该方程的判别式的值来确定不动点的个数； （2）先根据不动点的定义得到关于c的方程，再结合已知条件求出b、c与的关系，最后根据抛物线的性质证明． 【详解】（1）解：①把代入解析式，得：， ∵抛物线经过点， ∴， 解得：， 所以，抛物线的解析式为：； ②根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线上有2个不动点． （2）证明：略． 10．在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求与之间关系； (2)已知二次函数的最小值为． ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①； ②证明：∵点在函数的图象上， ∴. 由①知，点，关于直线对称， 不妨设，则， ∴，即， ∴， ∴． 【分析】此题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键 （1）由点，在该函数的图象上，所以，得到，即可解答； （2）①根据函数图象有最小值为，得到，由此求出a的值，得到函数解析式；②由对称性得到，代入等式左边和右边即可判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象的对称轴为，点，在该函数的图象上， ， ， ∴； （2）①解：由（1）可得，， ∴该函数的表达式为， 则函数图象的顶点坐标为. ∵函数的有最小值为， ∴，且， 解得，或（舍去）. ∴该二次函数的表达式为. ②略 11．在平面直角坐标系中，抛物线． (1)求证：当时，抛物线与轴有两个交点； (2)抛物线与轴有两个交点，，其中为正整数，且． ①设抛物线与轴交于点，是否能存在成立？若能，求此时的数量关系：若不能，请说明理由； ②求证：当为正整数时，． 【答案】(1)证明：当时，抛物线的解析式为：， ∴抛物线与x轴交点的横坐标为方程的解， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等实数根， ∴当时，抛物线与轴有两个交点． (2)①不存在． 理由如下：由题意可知：画图如下：连接， ∵， ∴， ∴， 令时，则，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵、是抛物线与x轴的两个交点， ∴方程的两个根为a，b， ∴， ∵a为正整数，且， ∴，， ∴，即， 由得或, ∴不存在成立； ②假设，则或， 将代入中得，即， ∴， 当时，该等式不成立， 当时，， ∵a、b均为正整数， ∴t为正整数， 由①知， 又， ∴为正整数，则k为整数，且， 又， ∴k为正整数， ∴为整数，且能被2整除， ∴的值可以为，， 又∵， ∴， ∴， 此时，，，这与矛盾， 故假设不成立， ∴当为正整数时，． 【分析】（1）当时，抛物线的解析式为：，然后根据一元二次根的判别式解答即可； （2）①由题意可知：画图如下：连接，先证明可得，再求得、、，进而得到、，然后代入可得；再根据根与系数的关系可得，然后进行整理即可解答； ②假设，则或，然后运用反证法即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $