专题3 考点4 二次函数及其应用-（Word试题版）2026年中考数学真题分类汇编分层练

**基本信息** 汇编2023-2025年多地中考真题，聚焦二次函数五大考向，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化数形结合与实际应用能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|11题|图象与性质、系数关系、几何变换|结合正方形与抛物线交点（题5）考查几何直观| |填空|6题|解析式确定、变换后解析式|定义新运算（题3）融合函数最值，体现创新应用| |解答|8题|几何综合、实际应用|矩形围栏面积（题20）、文创销售利润（题21）等实际情境，贴合中考命题趋势|

考点4 二次函数及其应用 ▶考向① 二次函数的图象与性质 1．（2024陕西）关于的二次函数（）的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（2025攀枝花）关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 3．（2024眉山）定义运算，例如，则函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．（2025威海）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 5．（2024赤峰）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，（），下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．（2025广东）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是________________（写出一个即可）． 7．（2024成都）在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上的三个点．若，，则__________（填“＞”或“＜”）；若对于，，，存在，则的取值范围是________________． 8．（2025淮安）已知二次函数（为常数）． （1）若点在该函数图象上，则________． （2）证明：该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． （3）若该函数图象上有两个点，，当时，直接写出的取值范围． ▶考向② 二次函数与系数、、的关系 9．（2025安徽）已知二次函数（）的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 10．（2025凉山，有改动）二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，且图象经过点，则下列结论错误的是（ ） A． B． C．若且，则 D．若，两点都在抛物线上，则 11．（2025广安）如图，二次函数（，，为常数，）的图象交轴于，两点，点的坐标是，点的坐标是．有下列结论：①；②；③关于的方程的解是，；④．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▶考向③ 二次函数图象的几何变换 12．（2024南通，有改动）将抛物线向右平移3个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 13．（2025青岛）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象．下列对新函数的描述正确的是（ ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为4 D．当时，的值随值的增大而增大 14．（2025上海，有改动）抛物线向下平移两个单位长度所得的抛物线解析式为______________． 15．（2024牡丹江）将抛物线向下平移5个单位长度后，经过点，则________． 16．（2024济宁）将抛物线向下平移个单位长度．若平移后得到的抛物线与轴有公共点，则的取值范围是________． ▶考向④ 二次函数与几何图形的综合 17．（2025鸡西，有改动）如下图，抛物线交轴于点、点，交轴于点，且点在点的左侧，顶点坐标为． （1）求与的值． （2）连接，在轴上方的抛物线上是否存在点，使的面积与的面积相等？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 18．（2023广安）如下图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． （1）求这个二次函数的解析式． （2）若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标． （3）若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．（2025德阳）如图①，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式． （2）如图②，连接，过点作与抛物线相交于另一点． ①求点的坐标； ②如图③，点，为线段上两个动点（点在点的右侧），且，连接，．求的最小值． ▶考向⑤ 二次函数的实际应用 20．（2025巴中）如下图，计划用长为的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙（墙长）． （1）矩形围栏的面积为时，三边分别长多少米？ （2）矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少米？ 21．（2025大庆）为推进我市“红色研学”文化旅游发展，大庆博物馆新推出，两种文创纪念品．已知2个纪念品和3个纪念品的成本和是155元；4个纪念品和1个纪念品的成本和是135元．1套纪念品由1个纪念品和1个纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于65元且不高于72元（每套售价为整数）．如果每套纪念品的售价为72元，那么每天可销售80套．经调查发现，每套纪念品的售价每降价1元，其销售量相应增加10套．设每天的利润为元，每套纪念品的售价为元（且为整数）． （1）分别求出每个纪念品和每个纪念品的成本． （2）求当为何值时，每天的利润最大． 22．（2025徐州，有改动）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． （1）若骑行速度为，则________，________． （2）设骑行速度为，求关于的函数表达式． （3）当刹车距离为时，停车距离约为多少（结果精确到，参考数据：，，）？ 23．（2024江西）如下图，一小球从斜坡点以一定的方向弹出，球的飞行路线可以用二次函数（）的图象刻画，斜坡可以用一次函数的图象刻画，小球飞行的水平距离（单位：）与小球飞行的高度（单位：）的变化规律如下表： 0 1 2 4 5 6 7 … 0 6 8 … （1）①________，________； ②小球的落点是，求点的坐标． （2）小球飞行高度与飞行时间（单位：）满足关系式． ①小球飞行的最大高度为________； ②求的值． 24．（2024新疆，有改动）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在至之间时，销售额（单位：万元）与销售量（单位：）的函数解析式为；成本（单位：万元）与销售量（单位：）的函数图象是下图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量的函数解析式． （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润＝销售额－成本） 讲评式解析 考点4 二次函数及其应用 1．C 【解析】当时，． ，，函数图象与轴的交点应在轴的上边，故选项D错误；，函数图象的对称轴为直线． ，选项A错误；当时，函数值为，因此选项B错误，选项C正确． 2．D 【解析】抛物线，该函数图象开口向下，故选项A错误； 对称轴为直线，故选项B错误；与轴的交点坐标为，故选项C错误；顶点坐标为，故选项D正确． 3．B 【解析】根据定义运算，对于函数，将和代入，得，化简得，该二次函数的开口向上（），其顶点处的值为最小值．顶点横坐标为．将代入函数，得最小值． 4．C 【解析】由题可知，抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大． 点，，到对称轴的距离分别为，，， 且，． 5．B 【解析】如图，分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和． 将，两点的横坐标代入函数解析式中，得 点的坐标为，点的坐标为， ，，，． 四边形是正方形，，， ，． 在和中，， ，，． 又， ，即，． ，，． 6． 【解析】二次函数的图象经过点， ，即． 二次函数的图象不经过原点，， 则，若取，则，该二次函数的表达式可以是． 7．＞ 【解析】， 对称轴为直线，开口向下． ，，， 即离对称轴的水平距离比近，． ，，，． 对于，，，存在， ，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ，，且． ，， ，且，解得． 8．解：（1）2 （2）由题可知． ，，， 该二次函数的图象与轴有两个不同的公共点． （3）或． 【解析】（3）的对称轴为直线． 二次项系数，二次函数图象开口向上． ，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ，即，或． 9．C 【解析】由图象可知，抛物线交轴于点， 另一个交点的横坐标在和0之间，根据对称性可知， ，即，故B选项错误； 当时，可知，即，故D选项错误； 观察图象知，，，，故A选项错误； 由对称轴的范围可知，即，故．① 把点代入抛物线中，得，故， 再代入①式中，可得，即，故C选项正确． 10．D 【解析】由函数图象可知，抛物线的开口向下， 与轴交于正半轴，，． 函数图象的对称轴为直线，， ，，故选项A，B正确，但不符合题意． 且，， 和关于直线对称，，故选项C正确，但不符合题意． 抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小． ，两点都在抛物线上，且， ，故选项D错误，符合题意． 11．C 【解析】根据图象可得，． 又抛物线的对称轴在轴右侧，， ，，故结论①正确； 由函数的图象可得，当时，， 即，即，故结论②错误； 二次函数的图象交轴于，两点，点，点， 关于的方程的解是，， ，故结论③④正确． 综上，结论正确的有3个． 12．D 【解析】， 抛物线的顶点坐标为， 将此抛物线向右平移3个单位长度后，所得新抛物线的顶点坐标为． 13．C 【解析】二次函数为， 当时，，其图象与轴交于． 又图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方， 新函数图象与轴的交点为，故A选项错误． 结合函数图象可以发现，函数没有最大值，B选项错误． 令，解得，， 函数图象与轴的交点为，， 图象与轴两个交点之间的距离为，故C选项正确． 原函数为， 新函数为（）， 函数图象的对称轴是直线， 结合函数图象可得，当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大，故D选项错误． 14． 【解析】抛物线向下平移两个单位长度， 平移后所得的抛物线解析式为． 15．2 【解析】抛物线向下平移5个单位长度后得到． 把点代入，得，， ． 16． 【解析】将抛物线向下平移个单位长度得． 平移后得到的抛物线与轴有公共点， 当时，， ，解得． 17．解：（1）抛物线的顶点坐标为， ，，． （2）存在．对于抛物线， 当时，，解得，． 当时，，，． ．． 如图，过点作轴的垂线，在轴上方的垂线上截取， 连接与交于点，则， ，，． 过点作平行线与抛物线交于点，连接． ，，． 设直线的解析式为，则 直线的解析式为． ，设直线的解析式为， 将代入，得，解得， 直线的解析式为．与抛物线解析式联立， 得整理，得， 解得，， 点的横坐标为或． 18．解：（1）抛物线的对称轴是直线，点的坐标为， 点的坐标为，二次函数的解析式为． （2）连接，，，，如图． 设，则． 在中，令，得，，， ． ，当时，取最大值，最大值为，此时． （3）存在．点的坐标为或或． 【解析】（3）由，得直线的解析式为． 设，，则，． ，当以，，，为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边． ①当，为对角线时，，的中点重合，且， 解得（此时点，与点重合，舍去） 或； ②当，为对角线时，，的中点重合，且， 解得（舍去） 或或 或． 综上所述，的坐标为或或． 19．解：（1），在二次函数的图象上， ，． （2）①把代入，得，． 如图①，延长与轴相交于点． ，，． ，． ， ， ，． 设直线的解析式为（）． 把，代入，得解得 直线的解析式为． 点是直线与二次函数图象的交点， 联立解析式，得 解得或． ②易得抛物线的顶点坐标为． 如图②，过点作二次函数图象的对称轴，交轴于点， 过点作交二次函数图象的对称轴于点，且，连接． ，且， 四边形是平行四边形（点拨：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ． ，， 为等腰直角三角形，． ，， ，． ， 当，即，，三点共线时，有最小值． ，，． 此时点的坐标为，与点重合， 满足在线段上，的最小值为5． 20．解：（1）设垂直于墙的一边长为，则平行于墙的边长为． 根据题意，得，解得，． 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 三边长分别为，，． （2）设矩形围栏的面积为， 则． ，当时，有最大值，最大值为200． 当时，，符合题意， 三边长分别为，，． 21．解：（1）设每个纪念品的成本为元，每个纪念品的成本为元． 由题意，得解得 答：每个纪念品的成本为25元，每个纪念品的成本为35元． （2）由题意，每套成本为（元），售价为元， 每套利润为元，每天的销量为， 利润． 且为整数，当时，每天的利润最大． 22．解：（1）5.2 4 （2）设，，，， 解得，，，， 关于的函数表达式为． （3）∵当刹车距离为时，，解得（负值已舍去）， ， 停车距离约为． 【解析】（1）设骑行速度为，，． 当骑行速度为时，反应距离为，， 解得，． 当时，． 当骑行速度为时，刹车距离为， ，解得，． 当时，． 23．解：（1）①3 6 ②设， 将代入，得，解得， ，即． 令，解得（舍去），． 将代入，得，点的坐标是． 一题多解法 把和分别代入，得 解得． 令，解得（舍去），． 将代入，得，点的坐标是． （2）①8 ②，，解得，． 抛物线的对称轴为直线，，即，． 一题多解法 函数的图象的顶点纵坐标为8， ，解得，． 当时，． ，，不成立，． 24．解：（1）顶点坐标为， 可设关于的函数解析式为． 又抛物线过点，，，． （2）由题意，得当销售量为时，成本最低，为万元． 又销售量在至之间时，销售额与销售量的函数解析式为， 当时，销售额为，此时利润为（万元）． 故当成本最低时，销售产品所获利润是0.75万元． （3）由题意，得利润． ，当时，利润取最大值，最大值为7． 故当销售量是时，可获得最大利润，最大利润是7万元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $