江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期末模拟考试高一数学试卷

**基本信息** 立足高一数学核心内容，以南京江心洲游乐场规划、校园建设等真实情境为载体，通过分层设计考查数学抽象、空间观念与运算推理能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数运算、集合关系、立体几何判定、概率独立事件|第8题结合索道滑翔项目，用空间向量求面积最值，体现数学眼光| |填空题|3题/15分|正方体轨迹、解三角形、函数最值|第14题融合均值不等式与导数法，考查数学思维灵活性| |解答题|5题/77分|解三角形、频率分布直方图、立体几何二面角、函数最值|第17题以校园规划为背景，通过四面体模型考查二面角与距离最值，强化数学语言表达现实问题能力|

金陵中学2025~2026学年度第二学期期末模拟考试 高一数学试卷 2026.06 注意事项： 1．本试卷共4页，包括单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第11题）、填空题（第12题~第14题）、解答题（第15题~第19题）四部分．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（      ） A． B． C． D． 2. 设集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 3．设m、n是两条不重合直线，是两个不重合平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．已知事件和事件独立，若，则 （    ） A．0.56 B．0.76 C．0.80 D．0.96 5．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则的最大值为（ ） A. 26 B. 24 C. 20 D. 18 7. 如图，若将一个圆锥以平行于底面的平面截成一个小圆锥和一个圆台，若该小圆锥与原圆锥分别的外接球表面积之比为9:16，则小圆锥与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 第11题图 第7题图 8．南京市江心洲地区周围要建设一个游乐场，索道滑翔项目区的简易规划图如右图所示，其中，⊥面，，已知 ，则面积最大为（     ） A． B． C． D． 第8题图 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分． 9．下列说法正确的有（    ） A．若事件两两独立，则 B．若，则事件两两独立 C．若，则事件两两互斥 D．若事件两两互斥，则 10．下列说法正确的有（    ） A．若复数满足，则的最大值为 B．若1，2互为共轭复数，则+为实数 C．对于复数1，2，若|1|=|2|，则= D．对于复数1，2，若=，则|1|=|2| 11．如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．存在点，使得平面平面 B．过三点的平面截正方体所得截面的面积最大为5 C．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，且定值为 D．的最小值为第11题图 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设正方体的棱长为1，点在正方体的表面上运动，且满足与平面成的角，则点轨迹的长度为 ▲ . 13．设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边．已知，则 ▲ ． 14. 设，则函数的最小值为 ▲ . 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程戓演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知内角的对边分别为，设． (1)求； (2)若，的面积为，求的值． 16．（本小题满分15分） 南京市某中学举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100 n（n∈N*）份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． (1) 求频率分布直方图中的值和样本平均数； (2) 试估计这100 n名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内.（用每组的区间的中点代替该组的分数）第16题图 17．（本小题满分15分） 在丰富多彩的高中生活中，校园的合理规划是避免学生浪费过多不必要时间的必要条件. 如图为南京市某校的建设计划简图，D点为高一学生教室，B点为食堂，A点为体育场，另有一基准点C，构成四面体，其中，. (1) 若，，求二面角的余弦值； (2) 已知平面平面，教室与体育场的直线距离为AD： ①若为正三角形，求AD的大小； ②若，求AD的最大值.第17题图 18．（本小题满分17分） 已知分别为三个内角的对边，且. (1)求； (2)若； ①求周长的取值范围； ②求面积的最大值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）． (1)证明：； (2)若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求； (3)设点Q是边上的点（含端点）， i．连接PQ，求PQ与面ABP所成角θ的正弦值的取值范围，并写出在θ角最大时Q点的位置； ii．求的最小值． 第19题图 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D B C A C C CD BD ACD 1. A【解析】，故 2. D【解析】，故 3. D 4. B【解析】 5. C 6. A【解析】 7. C【解析】外接球表面积比，故半径之比为，设相似比，由外接球半径公式，得，故，∴，所以小圆锥与圆台体积之比为 8. C【解析】法一：三角求最值；法二：空间向量 12. 13. 【解析】因为，所以，则，则，所以，即，则，则，解得或，当时，，则，则，故． 14. 【解析】方法一：利用均值不等式；方法二：求导；方法三：权方和不等式 现梳理均值不等式方法：构造， 利用(当且仅当时取等)， 因此判断是否可以取等，即， 判断如下： 可变形为， 化简得， 因为，所以解得， 此时， 代入得. 15．(1)； (2) 【解析】（1）由得，由正弦定理得．由余弦定理得．，． （2）由于的面积为，，，由余弦定理得：，． 16．(1)，平均数为74分 (2)60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围． 【解析】（1）由题意知，解得；所以该次测试分数的平均数的为：(分)． （2）由频率分布直方图知 ，(分)，      (分)，(分)，故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内．即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围. 17．(1) ； (2)； (3) . 【解析】（1）因为，则为等腰直角三角形，，又为正三角形，故，取BC的中点，连接DE，则，，且，又，则，且，又，所以二面角的平面角为，且.所以二面角的余弦值为； （2）求出AE的长度，利用勾股定理解得AD长为； （3）根据余弦值可判断∠BAC=30°，通过ΔABC外接圆可判断，当ΔABC面积最大时，AD最长，此时AB=AC，利用三线合一，此时AE即为∠BAC的角平分线，再结合tan15°求解出AE的长，又面面垂直，所以根据勾股定理解得AD的最大值为. 18．(1)； (2)①；②. 【解析】（1）在中，由 正弦定理得， 即， 整理得，而， 则， 于是， 整理得， 即，而， 解得，所以. （2）①由余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此， 而， 则， 所以， 所以周长的取值范围是. ②由（i）知，当且仅当时取等号， 所以，因此， 所以面积的最大值为. 19．(1)证明见解析；(2)1；(3)①取值范围为[]，θ最大为30°，此时Q点与C点重合，② 【解析】（1）连接，在中，由余弦定理得，，所以，所以，又因为四边形为平行四边形，所以，即，因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以． 2分 （2）在平面中，过点作，垂足为，连接， 由（1）知，平面，平面，所以， 又平面，所以，又平面，平面，平面平面，所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 则在中，， 因为底面，平面，所以， 在中，，又N为棱的中点，所以， 所以，则，所以， 在中，， 所以，设， 在中，由余弦定理得，， 所以． 5分 （3）①正弦值的取值范围为[]，θ最大为30°，此时Q点与C点重合； 4分 ②将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得， 则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值， 所以， 当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示， 则， 故的最小值为． 6分 · 8 — 学科网（北京）股份有限公司 $