2.1 锐角的正弦和余弦 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦锐角的正弦和余弦，涵盖定义、特殊角值、互余角关系及计算器应用。通过“逐点导讲练”支架，从直角三角形边比定义切入，衔接勾股定理，逐步过渡到计算、转化及实际应用，构建完整知识脉络。 其亮点在于以几何直观和推理能力为核心，用表格对比定义、图示辅助理解（数学眼光），例题从基础到综合（如构造直角三角形求sin D），渗透分类讨论（如AC为直角边或斜边），培养数学思维。助力学生提升抽象与应用能力，为教师提供系统资源和多样化训练素材。

2.1 锐角的正弦和余弦 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 正弦 余弦 互余两角正弦值和余弦值的关系 利用计算器求锐角的正弦值、余弦值或度数 知识点 正弦 知1－讲 1 1. 正弦的定义 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠ A的正弦，记作sin A，即sin A＝= 在Rt△ABC中， sin α＝ 感悟新知 知1－讲 注意 (1)sin A是完整的数学符号，是一个整体，不能理解成sin·A. (2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，习惯上省略角的符号“∠”，如sin A，sin α等；当锐角是用三个大写英文字母或一个数字表示时，角的符号“∠”不能省略，如sin∠ABC不能写成sin ABC，sin ∠ 1不能写成sin 1. 感悟新知 知1－讲 2. 特殊角的正弦值 α 30° 45° 60° sin α 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. 正弦是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系 . 2. 正弦是一个比值，是没有单位的数值 . 感悟新知 知1－练 感悟新知 在 Rt △ ABC 中，∠ C=90 °，如果AB=2， BC=1，那么 sin B 的值是_________ ． 例1 知1－练 感悟新知 解题秘方：画出直角三角形， 利用勾股定理求出AC的长， 紧扣正弦的定义， 明确∠B的对边和斜边， 直接求得sin B的值. 知1－练 感悟新知 解：如图2.1-1 所示. 因为在Rt △ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=1， 所以AC= = = 3 ， 所以sin B==. 知1－练 感悟新知 1-1.[中考·云南] 如图，在 Rt△ABC 中， ∠ C=90 °. 若 AB=13，BC=5，则sin A=( ) A. B. C. D. 知1－练 [母题 教材 P65 例 2 ]计算sin 30°＋sin2 45°－sin2 60°. 解题秘方：将相应的特殊角的正弦值代入， 将运算转化为实数的混合运算. 解： sin 30°＋sin2 45°－sin2 60°. ＝＋2－×2＝＋ －×＝. 例2 表示(sin 45°)2 感悟新知 知1－练 感悟新知 2-1.计算：sin 30°·sin2 60°-sin 45°. 解：原式=×()2-×=×-=-=-. 知2－讲 知识点 余弦 2 1. 余弦的定义： 文字语言 数学语言 图示 在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即cos A ＝ 在Rt△ABC中， cos α＝ 感悟新知 知2－讲 说明 余弦表示的方法和注意事项同正弦. 感悟新知 知2－讲 2. 特殊角的余弦值： α 30° 45° 60° cos α 感悟新知 知2－讲 3.30°，45°，60°角的正弦值、余弦值的记忆方法 (1)图形记忆法：如图2.1-2，由正弦、余弦的定义可得各锐角的正弦值、余弦值. 感悟新知 知2－讲 (2) 增减规律记忆法 ① sin α 的值随角α 的增大而增大，依次为，， ； ② cos α 的值随角α 的增大而减小，依次为， ，. (3)口诀记忆法：1，2，3； 3，2，1； 正弦、余弦都比2，分子根号别忘添. 感悟新知 知2－讲 方法点拨 锐角的正弦值和余弦值都是直角三角形的边的比值，是一个常数，它们只有大小而没有单位，它们的大小仅与角的大小有关，与它们所在直角三角形的大小无关. 锐角的大小确定了，其正弦值、余弦值也就确定了. 感悟新知 知2－练 [母题 教材P69 练习T1]在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，求cos A，cos B的值. 例3 解题秘方：紧扣余弦揭示的直角三角形边角之间的数量关系，先利用勾股定理求出未知边的长度， 再根据余弦的定义求出∠A，∠B的余弦值. 感悟新知 知2－练 解：如图2.1-3，在Rt △ABC中， 因为∠C=90°， AC=8，BC=6，所以AB= = =10. 所以cos A===， cos B===. 感悟新知 知2－练 感悟新知 3-1.[期末·郴州苏仙区] 在△ ABC 中，∠C=90 °，a，b，c 分别是∠ A，∠ B，∠C 所对的边，且2b=a+c. 求∠ B的余弦值. 知2－练 感悟新知 解：由题意得b= (a+c).由勾股定理，得a2+b2=c2， 所以a2+ (a+c)2=c2，所以a2-c2+(a+c)2=0， 所以(a+c)(a-c)+(a+c)2=0，所以(a+c)(a-c)=0. 因为a+c≠0，所以a-c=0，得a=c. 所以cos B===. 知2－练 感悟新知 [母题 教材P69 练习T2]计算： (1) -2sin 60°+2cos 45°； 例4 解题秘方：紧扣特殊角的正弦、余弦值， 直接代入计算即可. 解： -2sin 60°+2cos 45° = -2× +2× = - + = . 知2－练 感悟新知 (2)sin 45°+cos260°+2cos 30°. 解题秘方：紧扣特殊角的正弦、余弦值， 直接代入计算即可. 解： sin 45°+cos260°+2cos 30° = × +()2+2×=+ + =+ . 知2－练 感悟新知 4-1.计算： sin 30°·cos 30°-sin 45°+cos 60°·sin 60°. 解：原式=×-×+×=+=. 感悟新知 知3－讲 知识点 互余两角正弦值和余弦值的关系 3 1.互余两角的正弦、余弦的关系：任意一个锐角的正(余)弦值，等于它的余角的余(正)弦值 . 推导过程如下： 如图 2.1-4，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90° . 因为sin A= ， cos A= ， sin B= ，cos B= ， 感悟新知 知3－讲 所以 sin A=cos B， cos A=sin B. 因为∠ A+ ∠ B=90° ，所以 ∠ B=90° － ∠ A， 所以 sin A=cos B=cos( 90° － ∠ A)， cos A=sin B=sin( 90° － ∠ A)， 即一个锐角的正弦值，等于它的余角的余弦值； 一个锐角的余弦值，等于它的余角的正弦值 . 感悟新知 知3－讲 2. 同一锐角的正弦、余弦的关系：同一锐角的正弦值的平方与余弦值的平方的和等于1，即对于任意一个锐角α，有sin2α+cos2α=1. 推导过程如下： 感悟新知 知3－讲 如图2.1-4，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90° ，由锐角的正、余弦的定义可知 sin A= ， cos A= ，所以 sin 2A+cos 2A= ( ) 2+() 2= . 因为 a 2+b 2=c 2，所以sin 2A+cos 2A=1. 知3－讲 感悟新知 拓宽视野 非特殊角的正弦值、余弦值的大小比较： 对于锐角α，当0°<α<45°时，sin α<cos α； 当α=45°时，sin α =cos α； 当45°<α<90°时，sin α>cos α. 知3－讲 感悟新知 特别警示 利用同一锐角的正弦、余弦的关系求正弦或余弦值时，需注意正弦、余弦值的范围，即0<sin α<1，0<cos α<1，对于不在其范围内的值，应舍去. 知3－练 已知∠A+ ∠B=90°，且sin A=，求cos B的值. 解题秘方：当两个角互余时， 注意它们的正弦、余弦的关系，即利用一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值求解. 解：因为∠B=90°- ∠A， 所以cos B=cos (90°– ∠A) =sin A=. 例5 感悟新知 知3－练 感悟新知 5-1.若sin( α+20°) =cos 50°，则α 的度数可能是( ) A. 50° B. 40° C. 30° D. 20° D 知3－练 已知α 为锐角且sin α=，求cos α 的值. 解题秘方：紧扣“同一锐角的正弦、余弦的关系” 求解， 注意对值的取舍. 例 6 解：因为sin2α+cos2α=1，所以cos2α=1-sin2α=1-= .又α 为锐角， 所以0 < cos α< 1. 所以cos α= . 感悟新知 知3－练 6-1. 在Rt △ ABC 中，∠C=90 °，若cos A=，则sin A的值为________ . 感悟新知 感悟新知 知4－讲 知识点 利用计算器求锐角的正弦值、余弦值或度数 4 1. 利用计算器求锐角的正弦值、余弦值 (1)当锐角以度为单位时，可先按 (或 )键，然后输入角度值(可以为整数或小数)，再按 键，即可在屏上显示出结果. 感悟新知 知4－讲 (2)当锐角以度、分、秒为单位时，要借助 键计算，按键顺序为： (或 )、度数、 、分数、 、秒数、 、 . 感悟新知 知4－讲 注意 使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值. 感悟新知 知4－讲 2. 已知正弦或余弦值求锐角的度数：已知正弦或余弦值，求锐角的度数时，要先按 键，再按 (或 ) 键，将 (或 )转化为它们的第二功能键，然后输入数值，再按 键，即可在屏上显示出以度为单位的结果，若再按 键，则显示以度、分、秒为单位的结果. 当正弦值或余弦值为分数时，一般先化为小数. 知4－讲 感悟新知 特别解读 不同的计算器的按键顺序可能不同，可根据自己使用的计算器的说明书探索计算锐角的正弦值、余弦值或度数的具体步骤. 知4－练 [母题 教材P69 练习T3]用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1).(1)cos 25°； (2)sin 50°54′. 解题秘方：分清求正弦值还是余弦值， 依次按键计算. 解：(1)依次按键： ， 显示结果为0.906 307 787， 因此cos 25°≈0.906 3. (2)依次按键： ， 显示结果为0.776 046 407， 因此 sin 50°54' ≈ 0.776 0. 例7 感悟新知 知4－练 感悟新知 7-1.用计算器求下列各式的值(精确到0.000 1)： (1)sin 59°； (2)cos 68°42′. 解：(1)sin 59°≈0.857 2； (2)cos 68°42′≈0.363 3. 知4－练 [母题 教材 P69练习T4] 已知下列正弦值或余弦值，用计算器求对应的锐角 α. (1)sin α=0.516 8(精确到 0.1°)； (2)cos α=0.675 3(精确到 1″). 解题秘方：启用第二功能键， 根据已知正弦值或余弦值， 依次按键求锐角 . 例 8 感悟新知 知4－练 解：(1) 依次按键： ， 显示结果为31.117 845 56， 因此 α≈31.1°. (2) 依次按键： ， 显示结果为47.522 548 74， 再按 ， 显示结果为 47° 31′21.18 ″， 因此α≈47°31′21″. 感悟新知 知4－练 8-1.已知下列正弦值或余弦值，用计算器求对应的锐角α( 精确到0.01°)： (1)sin α=0.217 4； (2)cos α=0.314 5. 解：(1)α≈12.56°； (2)α≈71.67°. 感悟新知 锐角的正弦和余弦 正弦和 余弦 同角 互余角 正弦和余 弦的关系 定义 特殊角的 正弦值和 余弦值 课堂小结 方法 1 设参数法 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC∶AB=2∶3，求sin A，cos A的值. 例 9 题型 用特殊方法求正弦值或余弦值 1 思路导引： 综合应用创新 解：因为BC∶AB=2∶3，所以设BC=2x (x>0)， 则AB=3x.所以在 Rt △ABC中，AC= = = x，sin A= ==， 所以 cos A= ==. 综合应用创新 技巧点拨 “设而不求”是用参数法求正(余)弦值的常用方法，解决本题的关键是用含参数的式子表示出直角三角形的三边长. 综合应用创新 方法点拨 在直角三角形中，已知两边的比值 ,求锐角的正弦、余弦值的方法： (1)引进参数 ,把已知边长的比转化为边长； (2)利用勾股定理求出第三条边的长； (3)利用正弦、余弦的定义求出所要求的锐角的正弦、余弦值 . 综合应用创新 [中考·常州] 如图2.1-5，已知钝角三角形ABC，点D在BC的延长线上，连接AD，若∠ACB=2 ∠D，AD=2，AC=，求sin D的值. 例 10 思路导引： 方法2 构造直角三角形法 综合应用创新 解：如图2.1-5， 过点C作CH⊥AD于点H. 因为∠ACB=2 ∠D，∠ACB= ∠D+∠CAD， 所以∠D= ∠CAD. 因此CD=AC=， 所以AH=HD=AD=1. 所以CH= = =. 因此sin D= ==. 综合应用创新 技巧点拨 添加辅助线的技巧： 本题求sin D 需构造直角三角形. 易得△ ACD 为等腰三角形，过点C 作AD 的垂线CH既可得直角三角形，又可得AH=HD= AD=1，从而可利用勾股定理及正弦的定义求解. 综合应用创新 如图2.1-6，已知Rt △ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中 线，过点A作AE⊥CD，AE分别与 CD，CB相交于点H，E，AH=2CH. 例 11 方法3 等角转换法 解题秘方：紧扣“角相等则其正弦值也相等” 这一特征， 用“等角转换法” 将所要求的角的正弦值转化为求直角三角形中与该角相等的角的正弦值. 综合应用创新 (1)求证：AH·AB=AC·BC； 证明：因为∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线， 所以AD=CD， 所以∠CAB= ∠ACH. 因为AE⊥CD， 所以∠AHC= ∠ACB=90°， 所以△ ΑBC ∽△CAH， 所以=， 所以AH·AB=AC·BC. 综合应用创新 (2)求sin B的值. 解：因为∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，所以CD=BD，所以∠B= ∠BCD， ∠BCD+∠ACH=90°，因为AE⊥CD，所以∠CAH+∠ACH=90°， 所以∠B= ∠BCD= ∠CAH.因为AH=2CH， 所以由勾股定理易得AC= = 5 CH， 所以CH∶AC=1∶ 5 . 所以sin B=sin ∠CAH==. 综合应用创新 教你一招 在求锐角的正弦值时，如果用定义法、设参数法、构造法等都不能求出所要求的锐角的正弦值，那么我们需转换思维方式，将求某个角的正弦值转化为求与这个角相等的角的正弦值，即等角转换法. 找相等的角的方法有很多种，可以借助平行线、三角形外角、等腰三角形、三角形全等、三角形相似等知识来寻找，要根据题目中的条件灵活选用方法. 综合应用创新 已知 ∠ A，∠ B 是 △ABC中 的两个锐角，且(sin A- )2+|cos B- |=0. 求∠C的度数 . 例 12 解题秘方：两个非负数相加等于 0， 则每个非负数都等于 0， 再利用特殊角的三角函数值和三角形内角和来解答 . 题型 利用特殊角的正弦、余弦值求角的度数 2 综合应用创新 解：因为 (sin A-)2 ≥ 0， |cos B-|≥ 0，且 (sin A-)2+|cos B-|=0，所以 sin A-=0， cos B-=0， 所以 sin A=， cos B=，所以∠A=30°， ∠B=45°， 所以∠C=180°– ∠A- ∠B=180°-30°– 45°=105°. 综合应用创新 特别提醒 已知特殊角的正(余)弦值求特殊角的度数时，要注意两点：一是要求的角是锐角，二是不要混淆正弦值与余弦值 . 综合应用创新 计算：cos21°+cos22°+cos23°+… +cos289°. 例 13 思路导引： 题型 利用互余两角、同一锐角的正弦、余弦的关系巧妙求值 2 综合应用创新 解：cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289° =(cos21°+cos289°)+(cos22°+cos288°)+…+(cos244°+cos246°)+cos245 = (cos21°+sin21°)+(cos22°+sin22°)+…+(cos244°+ sin244°)+cos245°=44+()2=. 综合应用创新 解题策略 紧扣cos A=sin(90 °-∠A)将原式变形，再根据sin2A+cos2A=1计算 . 综合应用创新 [一题多解]如图 2.1-7 所示的网格中，小正方形的边长均为 1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是( ) A. B. C. D. 例 14 易错点 在网格图中求锐角的正弦值时，忽略锐角所在的三角形不是直角三角形而出错 1 综合应用创新 解：方法一 延长OB 到格点C，连接AC，如图2.1-8，借助网格特点可得AO=2 ，AC= ，CO=3 ，所以AC2+CO2=AO2， 所以△ ACO 为直角三角形， 且∠ ACO=90°. 所以 sin ∠ AOB===. 综合应用创新 方法二 如图2.1-9，过点B 作OA 边上的高，设高为h. 由题意可知，AB=2，OB= 2 ，OA=2 . 由等面积法可得×2×2=×2 h，解得h=， 所以sin ∠ AOB= ==. 答案：D 综合应用创新 诊误区： 正(余)弦是在直角三角形的条件下定义的，因此当题目要求某一个锐角的正(余)弦值时，要先观察该锐角是否在某一个直角三角形中，若不在，则需作辅助线构造含该锐角的直角三角形. 本题易得出sin ∠ AOB= == ，从而错选C. 综合应用创新 [中考·益阳]如图2.1-10，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0，1)，B(4，1)，C(5，6)，则sin ∠BAC=( ) A. B. C. D. 例 15 考法 利用正弦的定义求锐角的正弦值 1 中考风向标 试题评析：本题考查的是坐标与图形、正弦的定义， 作出合适的辅助线构造直角三角形是解题的关键. 中考风向标 解：如图2.1-10，过点C作CD⊥AB交 AB的延长线于点D，则∠ADC=90°. 因为A(0， 1)，B(4， 1)，C(5， 6)， 所以AD=5，CD=5. 所以AC= = =5 . 所以sin ∠BAC===. 答案：C 中考风向标 [新考法分类讨论法中考·杭州]在直角三角形ABC中，若2AB=AC，则cos C= ________. 例 16 考法 利用余弦的定义求锐角的余弦值 2 或 中考风向标 试题评析：本题考查了锐角的余弦值的计算，用参数表示出直角三角形的三边长是解决问题的关键. 中考风向标 解：如图2.1-11， 分两种情况讨论，AC可以是直角边， 也可以是斜边. ① 当AC是斜边时(如图2.1-11 ①)， 设AB=x， 则AC=2x， 所以BC= = x. 所以cos C= ==. 中考风向标 ②当AC是直角边时(如图2.1-11②)， 设AB=x， 则AC=2x， 所以BC= = x. 所以cos C====. 综上， cos C=或 . 中考风向标 [中考·北京] 计算：|-3|+ +()-1-2sin 30°. 例 17 考法 利用特殊角的正弦值或余弦值计算 3 试题评析：本题考查含特殊角的正弦值的混合运 算， 分别计算绝对值、化简二次根式、计算负整数指数幂、代入特殊角的正弦值并进行乘法计算， 再进行加减计算. 解：|-3|+ +()-1-2sin 30 ° =3+3 +2-2×=4+3 . 中考风向标 1.[中考·深圳]如图为人行天桥的示意图，若高BC长为 10m，斜道AC长为30 m，则sin A的值为(　　) A. B. 3 C. D. D 综合素养达标 2. [母题 教材P66 练习T2]如图，在平面直角坐标系内有一点P(3，4)，连接OP，则OP与x轴的正半轴所夹锐角α 的余弦值是( ) A. B. C. D. C 综合素养达标 3. [期末·株洲芦淞区] 如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos ∠BAC的值是( ) A. B. C. D. C 综合素养达标 4. [宁波奉化区数学竞赛] 如图，已知等腰梯形ABCD，腰AB=CD=m，对角线AC⊥BD，且梯形的面积为m2，则sin ∠ABC的值是( ) A. B. C. D. D 综合素养达标 5. [母题中考· 滨州教材P66 练习T1]在Rt △ ABC 中， ∠ C=90°，AC=5，BC=12，则sin A的值为_______. 综合素养达标 6. [期中·衡阳石鼓区] 在△ABC中，若|2sin A-+(-cos B)2=0，则△ ABC 的形状是___________. 等边三角形 综合素养达标 7. [母题 教材P69 练习T3，T4]用计算器计算： (1)sin 15°≈________(精确到0.000 1)； (2)cos 38°24′≈________(精确到0.000 1)； (3)已知sin α ≈0.516 8，则α≈________ (精确到0.1°)； (4)已知cos β≈0.642 8，则β≈_________ (精确到1″) . 0.258 8 0.783 7 31.1° 49°59′57″ 综合素养达标 8. [一题多解] 在△ABC中，∠C=90°，sin A=，则cos A=_______，cos B=_______. 综合素养达标 9. [新考法 面积法]已知△ABC为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，则sin A=_______. 综合素养达标 10.计算： (1)sin 30°cos 30°-sin 60°cos 60°； 解：原式=×-××= - = . 综合素养达标 (2)[中考·张家界] 2cos 45°+(π-3.14)0+|1- |+()-1. 解：原式=2×+1+-1+2=2+2. 综合素养达标 11. 如图，在Rt △ ABC 中，∠ ACB=90 °，CD是斜边 AB上的高. 若BC=4，AB=5，求sin ∠BCD的值. 综合素养达标 解：因为∠ACB=90°，所以∠A+∠B=90°. 又CD⊥AB，所以∠CDB=90°. 所以∠BCD+∠B=90°.所以∠BCD=∠A. 在Rt△ACB中，sin A==， 所以sin∠BCD=sin A=. 综合素养达标 12. [新趋势 学科内综合]如图，直线y=x+与x轴交于点A，与直线y=2x 交于点B. 综合素养达标 (1)求点B的坐标； 解：解得 所以点B的坐标是(1，2). 综合素养达标 (2)求sin ∠BAO的值. 解：如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C. 在y=x+中，当y=0时，x+=0， 解得x=-3，所以A(-3，0).所以OA=3. 因为B(1，2)，所以OC=1，BC=2. 所以AC=1+3=4.所以AB===2. 所以sin∠BAO===. 综合素养达标 13. [模拟·长沙] 如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO=BO. 综合素养达标 (1)求证： ABCD是矩形； 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AO=OC，BO=OD， 因为AO=BO，所以AC=BD， 所以四边形ABCD是矩形. 综合素养达标 (2)点E在BC边上，满足CE=CO. 若AB=6，BC=8，求BE的长及sin∠CEO的值. 解：因为四边形ABCD是矩形，所以∠ABC=90°， 所以AC==10.所以OC=5， 因为CE=CO，所以CE=5.所以BE=BC-CE=3. 综合素养达标 过点O作OF⊥BC于点F，如图所示， 则∠OFC=∠ABC=90°，因为∠ACB=∠OCF， 所以△ABC∽△OFC，所以===， 所以OF=3，CF=4，所以EF=1. 在Rt△OEF中，OE==10， 所以sin∠CEO===. 综合素养达标 $