精品解析：吉林长春市东北师范大学附属中学2025-2026学年九年级 下学期中考二模数学

初三年级综合练习 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（ ） A. 向东走 B. 向西走 C. 向东走 D. 向西走 2. 2025年全年粮食产量约为吨，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，其主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 7. 如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 9. 分解因式∶________． 10. 已知单项式与是同类项，则_________． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 12. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 13. 如图，用五面完全相同的平面镜围成一个正五边形，有一束光线从上的点M处射出，到达上的点N处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则___________． 14. 如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 三、解答题：本题共10小题，共78分 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 17. 2026年1月以来国内成品油价调整形成了“一搁浅、五连涨”的格局，目前吉林省号汽油均价比月份增长．同样花费元加油，月份比现在多加入升汽油．求月份号汽油每升多少元． 18. 如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作一个面积为的等腰，点在格点上． （2）在图②中作一个面积为的直角，点在格点上． （3）在图③中作一个面积为的钝角，点在格点上． 20. 某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： a．八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩在A组中的是：91，91，93，94，97，97，99，100． b．九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100． c．八、九年级抽取的学生“科技创新知识”大赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 89 89 九年级 88 m n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）在八年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，在九年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，则_________；（填“”“<”或“=”） （3）该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，若成绩不低于90分为优秀，估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 21. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长．设铺设光缆时间为（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为（单位：米），甲、乙两队关于的函数关系分别如图所示． （1）直道两端的距离为_________米，乙队的施工速度为_________米/天； （2）求甲队若干名工人离队后关于的函数关系式； （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了_________天． 22. 解答下列各题： （1）【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． （2）【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． （3）如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 23. 如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． （1）_________；_________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的值； （4）当时，直接写出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10，求的值； （4）过点作于点，以、为邻边作．当的边与直线有交点时，设交点为，若，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级综合练习 数学 本试卷包括三道大题，共8页．全卷满分为120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．如果表示向东走，那么表示（ ） A. 向东走 B. 向西走 C. 向东走 D. 向西走 【答案】D 【解析】 【详解】解：因为表示向东走，则向东走用正数表示，负数表示与向东相反的方向，即向西，即可得到 表示向西走． 2. 2025年全年粮食产量约为吨，将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 3. 五个大小相同的正方体搭成的几何体俯视图如图所示，小正方形中的数字表示该位置上小正方体的个数，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据俯视图以及小正方形中的数字可得主视图，共有列，小正方形的个数分别为，，，据此，即可求解． 【详解】解：由题意，这个几何体的主视图共有列，小正方形的个数分别为，，，如图， 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，根据积的乘方法则：，∵，∴A错误； 对选项B，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∵，∴B错误； 对选项C，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得，运算结果与等式一致，∴C正确； 对选项D，根据合并同类项法则可得，∵，∴D错误． 5. 下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵给定不等式为，逐一分析各选项： A、若另一个不等式为，与组成不等式组，则可知该不等式组无解，符合题意； B、若另一个不等式为，根据“同小取小”，不等式组解集为，有解，不符合题意； C、若另一个不等式为，不等式组解集为，有解，不符合题意； D、若另一个不等式为，根据“大小小大中间找”，不等式组解集为，有解，不符合题意． 6. 如图，某滑雪运动员沿坡度为的斜坡滑下30米，那么他下降的高度为（ ） A. 10米 B. 15米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】由斜坡的坡比为，可知斜坡坡角为，然后运用正弦函数解答即可． 【详解】解：如图， 因为坡度比为，即， ∴ ， 由题意可知，运动员沿斜坡滑下米， 则其下降的高度米． 7. 如图，一张锐角纸片，点D，E分别在边，上，，沿将剪成面积相等的两部分，若，则的长度为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意证明，再根据“沿将剪成面积相等的两部分”可得，进而即可求出的值，根据得出，进一步即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵沿将剪成面积相等的两部分， ∴的面积是原面积的一半， ∴， ∴， ∴． ∵ ∴， ∴． 8. 如图，线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且的面积为，若双曲线恰好经过线段的中点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设点，，从而得到线段的中点，根据点在双曲线上得到，再结合的面积为求出的值即可得解． 【详解】解：线段的两端点分别在轴正半轴和轴负半轴上， 可设点，， 则线段的中点， 双曲线恰好经过点， ， 的面积为， ，即， ， ，B选项符合题意． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 9. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 已知单项式与是同类项，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：单项式与单项式是同类项， ，解得． 11. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且， 解得：， 的值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 12. 物理课上，同学们观察了小球的摆动，如图所示，小球的运动路线为（小球的大小不计），若绳长，，则的长是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴的长为． 13. 如图，用五面完全相同的平面镜围成一个正五边形，有一束光线从上的点M处射出，到达上的点N处，经平面镜反射后，反射光线为，根据光的反射原理可得到，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式求得，进而根据平行线的性质可得，结合题意，从而求得的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 14. 如图，已知正方形与，连接，过D作的垂线交于点H，以和为邻边作平行四边形，连结、，与交于点M，和交于点N．给出下面四个结论：①平行四边形是正方形；②；③；④，上述结论中，正确结论的序号是_________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先证明得出，结合四边形是平行四边形，，即可证明四边形是正方形，即可判断①；证明得出，在中，，等量代换，即可判断②，假设，连接，证明得出，从而得出矛盾，即可判断③，过点作于点，证明，得出，证明得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴，故②正确； 若，则 又∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 如图，连接， ∵ ∴ ∴， 而，则，故假设不成立， ∴，故③错误； 如图，过点作于点， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，故④正确， 综上所述，正确的有①②④ 三、解答题：本题共10小题，共78分 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式，单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解：原式． 当，时，原式． 16. 如图，每个小方框代表一个座位，横为排，竖为列，其中黑色圆点表示已有人入座，甲从第二排剩余的3个座位中随机选择一个入座，乙从第三排剩余的3个座位中随机选择一个入座．用画树状图（或列表）的方法，求甲和乙刚好坐在同一列的概率． 【答案】 【解析】 【分析】甲有3种选择方式，乙有3种选择方式，据此画出树状图，再确定所有等可能的结果和甲和乙刚好坐在同一列的结果数，最后利用概率的公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下， 由树状图可得，共有种等可能结果，其中甲和乙刚好坐在同一列的结果数为，即 甲和乙刚好坐在同一列的概率为 17. 2026年1月以来国内成品油价调整形成了“一搁浅、五连涨”的格局，目前吉林省号汽油均价比月份增长．同样花费元加油，月份比现在多加入升汽油．求月份号汽油每升多少元． 【答案】1月份92号汽油每升7元． 【解析】 【分析】设月份号汽油每升元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． 【详解】解：设月份号汽油每升元． 根据题意得， 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：月份号汽油每升元． 18. 如图，四边形是矩形，点是延长线上一点，过点作的垂线交于点．若，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：四边形是矩形， ，， ， ，即， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得到，，进而求出，证明四边形是平行四边形，利用证明四边形是菱形． 【详解】略． 19. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点，点、均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． （1）在图①中作一个面积为的等腰，点在格点上． （2）在图②中作一个面积为的直角，点在格点上． （3）在图③中作一个面积为的钝角，点在格点上． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意作一个底边为4，高为1，以为腰的等腰三角形，即可求解； （2）根据勾股定理求得，作，且为直角，即可确定点的位置，即可求解； （3）作一个以为底，高为的钝角三角形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，取格点，则，作直线找到格点，连接，则为所求钝角三角形， 20. 某校组织了“科技创新知识”大赛，从八、九年级中各随机抽取20名学生的大赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： a．八年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩在A组中的是：91，91，93，94，97，97，99，100． b．九年级20名学生的“科技创新知识”大赛成绩：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100． c．八、九年级抽取的学生“科技创新知识”大赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 89 89 九年级 88 m n 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：_________，_________； （2）在八年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，在九年级抽取的20名同学中，高于这20人大赛成绩平均数的人数为，则_________；（填“”“<”或“=”） （3）该校八年级有800名学生、九年级有600名学生参加了此次“科技创新知识”大赛，若成绩不低于90分为优秀，估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生共有多少人． 【答案】（1）， （2） （3）590人 【解析】 【分析】（1）利用众数和中位数的定义求解即可； （2）利用八年级的中位数求出，再求出九年级高于成绩平均数的人数，据此求解即可； （3）利用“样本估计总体”进行计算即可． 【小问1详解】 解：九年级20名学生大赛成绩为：68，69，77，78，78，81，86，87，87，88，88，90，96，96，96，97，99，99，100，100， 其中，96出现次数最多， 则众数为，中位数； 【小问2详解】 解：八年级的平均数为88，A组共8人，都高于88， 由于八年级中位数为89，说明第10、11个成绩都是， 因此高于平均数的共有11人，即， 九年级的平均数为88，成绩高于88的共有9人，即， ； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校八、九年级学生中成绩达到优秀的学生数约为590人． 21. 为顺利完成某条直道上的光缆铺设工程，甲、乙两个工程队计划分别以直道两端为开工起点，各自以预定速度同时相向铺设光缆，直至工程完工．开工几天后，甲队有若干名工人因故离队，造成施工速度下降，整个工程工期延长．设铺设光缆时间为（单位：天），工程队铺设光缆的地点到甲队开工起点的距离为（单位：米），甲、乙两队关于的函数关系分别如图所示． （1）直道两端的距离为_________米，乙队的施工速度为_________米/天； （2）求甲队若干名工人离队后关于的函数关系式； （3）甲队若干名工人离队导致工期比原计划多了_________天． 【答案】（1）， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由函数图象即可得到答案； （2）设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入，，用待定系数法求函数解析式即可； （3）由原计划甲队y关于x的函数解析式，再求得乙队y关于x的函数关系式，根据题意列出方程，，解方程，进而即可求解 【小问1详解】 解：由图象得, 直道两端的距离为米，乙队的施工速度为（米/天）； 【小问2详解】 解：设甲队若干名工人离队后关于的函数关系式为，代入， ∴， 解得：， 甲队若干名工人离队后关于的函数关系式， 【小问3详解】 解：设乙队y关于x的函数关系式为， 把，代入得， 解得， 则乙队y关于x的函数解析式； ， 原计划甲队y关于x的函数解析式， 甲、乙两队完成光缆工程需满足， 解得， （天）， 答：甲队工人离队导致工期比原计划延长了2天． 22. 解答下列各题： （1）【探究】如图，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为劣弧上任意一点，翻折后点的对应点为，连接并延长交于点，连接、．探究与的数量关系，发现结论：． 理由如下：如图1，连接、 由翻折可得 ， °，（依据：_________） °， _________． ． 补全上面的证明过程． （2）【应用】如图2，在探究的条件下，在中，将劣弧沿弦所在直线翻折，连接并延长交翻折后的弧于点，交于点，连接． ①请用圆规和无刻度的直尺在图2中作出的中点．（不写做法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色的签字笔描黑） ②若，，则_________． （3）如图3，在中，，弦，将劣弧沿弦所在直线翻折，点为翻折后的弧上任意一点，连接并延长交于点，为中点．则的最小值为_________． 【答案】（1）圆内接四边形对角互补，，． （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）根据翻折的性质以及圆内接四边形对角互补，完成填空； （2）①作线段的垂直平分线交于点； ②连接，根据勾股定理求得，进而求得，求得，进而求得的长； （3）过点作于点，连接，根据垂径定理，勾股定理求得的长，根据得出在为圆心，为半径的圆上运动，则的最小值为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ②如图，连接， 由（1）可得 ∵， ∴ ∵为直径 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴； 【小问3详解】 如图，过点作于点，连接， ∵，， ∴， 在中， 由（2）可得， ∴在为圆心，为半径的圆上运动， ∴的最小值为 23. 如图，在中，，，，于点，点为射线上一动点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，连结、、． （1）_________；_________； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）当四边形为轴对称图形时，求的值； （4）当时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）证明：点和关于点对称，点C和E关于点P对称， ，； 四边形是平行四边形． （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求得，根据已知得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （2）根据对称的性质可得，，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得证； （3）分情况讨论：①当四边形为矩形时，②当四边形是菱形时，分别画出图形，解直角三角形，即可求解； （4）当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点，则四边形是矩形，得，即点到的距离，根据对称性可得到的距离相等，则，证明，得出，得出，证明得出，进而根据，即可求解；当在的右侧时，同理可得，再根据，即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴ ∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况讨论， ①当四边形为矩形时，则 ∴在上， 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ②当四边形是菱形时，则， ∴重合， ∵ ∴ 综上所述，四边形为轴对称图形时，或 【小问4详解】 解：当在的左侧时，如图，过点作于点，交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即点到的距离， ∵关于点对称，点在射线上， ∴到的距离相等， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴，即点是的中点，， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∴ 当在的右侧时，如图 同理可得 综上所述，的长为：或 24. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点．点、是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为、． （1）求此抛物线的解析式； （2）当时，求的值； （3）设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10，求的值； （4）过点作于点，以、为邻边作．当的边与直线有交点时，设交点为，若，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的解析式； （2）先求出点、的坐标，进而得到点B与点Q重合，利用锐角三角函数的定义求解即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标，分情况讨论：抛物线的顶点在图象上或抛物线的顶点不在图象上时，结合点P在点Q左侧或点P在点Q右侧，找出最大值与最小值，利用图象的最高点与最低点的纵坐标之差为10列出方程，求出的值； （4）利用待定系数法求出直线和的解析式，联立两直线的解析式求出点的坐标，进而求出长；过点P作轴交与点，则轴，求出点的坐标，进而求出长，在中，利用求出的长，结合列出方程，解绝对值方程即可． 【小问1详解】 解：将点代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）知，抛物线， 抛物线的顶点坐标为， ①当点P在点Q左侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点Q， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ②当点P在点Q右侧，抛物线的顶点在图象上时： ， 解得：， 点P到对称轴的距离为， 点Q到对称轴的距离为， ， 抛物线的图象开口向上， 图象的最小值为，最高点为点P， 当时，， ， 整理得：， 解得：或（舍去）； ③当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q左侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， 解得：，与矛盾 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； ④当抛物线顶点不在图象上，点P在点Q右侧，则，即， 若点P、Q都在对称轴的左侧， ，与矛盾， 此情况不存在； 若点P、Q都在对称轴的右侧， ， 解得：， ， 在上，随的增大而增大， ， ， 解得：， ， 此情况不存在； 综上所述，的值为或； 【小问4详解】 解：当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由（3）知，、， 设直线的解析式为， 将、代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， 将代入得：， ， ， 过点P作轴交与点，则轴，且点M的纵坐标为， ，， ， 的等腰直角三角形， ， 轴， ， ， ， 将代入得：， 解得：， ， ， 在中，， ， ， ， 整理得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合、解直角三角形、两点间距离公式、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $