精品解析：吉林省长春市外国语学校2022-2023学年下学期九年级数学阶段质量检测试题（二）

2022－2023年度下学期阶段质量检测（二） 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 1与的差是（　　） A. B. 2024 C. D. 2022 2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿修了一条近路，已知米，新修小路与的夹角为，则走这条近路的长可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 6. 如图，、是的半径，的顶点C在上，且点A、C在的异侧．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 7. 尺规作图：作一个角等于已知角操作过程如下：如图①，已知：． 求作： 作法：（1）如图②，以点①为圆心，任意长为半径画弧，交，于，； （2）作射线，以点为圆心，②长为半径画弧，交于点： （3）以点圆心，③为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连结、．根据以上作法证得（④填理论依据）．根据以上作图和求证过程完成以上填空，题中符号代表的内容错误的是（ ） A. ①表示 B. ②表示或 C. ③表示 D. ④表示 8. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，边与轴平行，点，均在函数的图象上．若，两点的纵坐标分别为，，且，的面积为，则值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：____3（填入“”或“”号）． 10. 分解因式：x2－9＝______． 11. 如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的大小是______度． 12. 如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在第一象限和轴正半轴上，点为边上一点，过点作交于点．若、两点纵坐标分别为、，且，则点的纵坐标为______． 13. 如图，有一个圆形铁皮，从中剪出一个最大的圆心角为的扇形若的直径为，则扇形的面积是______．（结果保留） 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的对称轴直线右侧的一点，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，以为边向其上方作正方形，边所在的直线交该抛物线于点、．若点的纵坐标为，设点横坐标为，则的值为______． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 月日卡塔尔世界杯闭幕小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物，足球和大力神杯，依次记为、、，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率． 17. 某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高元，用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．求购买一个手电筒需要的钱数． 18. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作直线，并标出格点． （2）在图②中画一个．使∽，且点在直线上． （3）在图③作．使点为格点，且点不在直线上． 20. 年月到年月我国原油进口月度走势图如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）2022年月我国原油进口______万吨． （2）2021年月到年月我国原油进个月增速的中位数是______． （3）与年月相比，年月我国原油进口增加了______万吨． （4）观察我国原油进口月度走势图，年月原油进口量比年月增加万吨当月增速为（计算方法：），年月当月增速为．设年月原油进口量为万吨，下列算法正确的是______． ① ② 21. 甲、乙两人沿同一公路从地出发，甲骑自行车到达地停止，乙骑摩托车到达地后，原地休息，再从地以原来的速度和路线返回地甲、乙离开地的路程与各自行走的时间之间的函数图象如图所示． （1）甲比乙早出发 ，甲的速度是 ； （2）求乙返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在乙从地返回地的过程中，求甲、乙两人到各自目的地的路程相等时甲所用的时间． 22. 【操作一】如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求的大小． 以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整． 解：四边形是正方形， ，，． ， ， 是的中点， 由折叠，得 ______ 在中， ． ______ 度． 【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求证：≌． 【应用】在图②的基础上，如图③，、分别是、的中点，顺次连接、、、，若，直接写出点、之间的距离． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且点从点出发，沿方向匀速运动到终点，在、上的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒． （1）______ ． （2）用含的代数式表示的长． （3）当点、、共线时，求四边形的面积． （4）当与的直角边垂直时，直接写出t的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为对称中心，作正方形，使轴，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离． （3）当点在第四象限时，若抛物线与正方形的某一条边或一组邻边只有两个公共点，且这两个公共点的纵坐标之和为，求的值． （4）当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022－2023年度下学期阶段质量检测（二） 九年级数学试卷 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 1与的差是（　　） A. B. 2024 C. D. 2022 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出算式，计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查有理数减法，掌握有理数减法法则是解题关键． 2. 我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，根据从正面看到的平面图形即可求解，掌握物体三视图的画法是解题的关键． 【详解】解：由几何体可得，从正面看到的平面图形为， 故选：B． 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式，不等式移项即可求出解，掌握不等式的解法是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 故选：． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．先计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义判断方程的根的情况即可． 【详解】解：， 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 5. 如图，某小区的一块草坪旁边有一条直角小路，社区为了方便群众进行核酸采集，沿修了一条近路，已知米，新修小路与的夹角为，则走这条近路的长可以表示为（ ）米． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意，在中，米，，， ∴， ∴米， 故选：D． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，理解锐角三角函数的定义是解答的关键． 6. 如图，、是的半径，的顶点C在上，且点A、C在的异侧．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理，得，再根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，可得答案． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 7. 尺规作图：作一个角等于已知角操作过程如下：如图①，已知：． 求作： 作法：（1）如图②，以点①为圆心，任意长为半径画弧，交，于，； （2）作射线，以点为圆心，②长为半径画弧，交于点： （3）以点圆心，③为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连结、．根据以上作法证得（④填理论依据）．根据以上作图和求证过程完成以上填空，题中符号代表的内容错误的是（ ） A. ①表示 B. ②表示或 C. ③表示 D. ④表示 【答案】D 【解析】 【分析】根据作角等于已知角的基本作法作图，再根据三角形全等的判定方法证明． 本题考查了基本作图，掌握三角形的全等的判定定理是解题的关键． 【详解】解：作法：（1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，交，于，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点： （3）以点圆心，为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连结、，根据以上作法证得， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限内，边与轴平行，点，均在函数的图象上．若，两点的纵坐标分别为，，且，的面积为，则值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用三角形的面积求得的长度是解题的关键． 过点作于点，根据，两点的纵坐标分别为，，可得出横坐标，即可求得，的长，根据的面积为，求得的长，即可求得的长，在中，利用勾股定理即可得出的值． 【详解】解：过点作于点， 点，均在函数的图象上，且纵坐标分别为，， ，， ，， ， 的面积为， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 比较大小：____3（填入“”或“”号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法进行求解即可 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了无理数的估算，用“夹逼法”是解答此题的关键． 10. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 11. 如图，正六边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则的大小是______度． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的内角和正五边形的内角并结合周角的定义可得结论． 【详解】解：由题意得： 正六边形的每个内角都为：， 正五边形的每个内角都为：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的内角，正多边形的内角和为（且为整数，为正多边形的边数），正多边形的每个内角相等，每个外相等．熟练掌握正六边形的各内角度数，正五边形的各内角度数是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，顶点、分别在第一象限和轴正半轴上，点为边上一点，过点作交于点．若、两点纵坐标分别为、，且，则点的纵坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】由点在轴上，且可得轴，所以，由，得，由，得，则，所以点的纵坐标为． 【详解】解：点在轴上，且， 轴， 、两点纵坐标分别为、， ， ， ， 轴， ， ， ， 点的纵坐标为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明∽是解题的关键． 13. 如图，有一个圆形铁皮，从中剪出一个最大的圆心角为的扇形若的直径为，则扇形的面积是______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查的了圆周角定理、扇形的面积计算方法，熟练掌握扇形的面积公式是关键．连接，由于，根据圆周角定理知为的直径，根据等腰三角形的性质即可求出、的长，即扇形的半径长，已知扇形的圆心角为，根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积． 【详解】解：如图，连接， 扇形的圆心角为， 为直径，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 扇形的面积是． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点是抛物线的对称轴直线右侧的一点，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，以为边向其上方作正方形，边所在的直线交该抛物线于点、．若点的纵坐标为，设点横坐标为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质及正方形的性质．根据抛物线的对称轴求出抛物线的解析式，设出的坐标，结合，两点关于对称轴直线对称，分别表示出，的长度，由建立方程，解一元二次方程即可． 【详解】解：对称轴为直线， ， ， 抛物线解析式为， 四边形为正方形， ，轴， 轴， 的纵坐标为， 点的横坐标为，点是抛物线上的点， 设，， ， ，两点关于对称轴直线对称， 的横坐标为， ， 四边形为正方形， ， ， 解得（舍去）， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，正确运用乘法公式是解题关键． 直接利用乘法公式化简，再合并同类项，进而把已知数据代入得出答案． 【详解】解： ， 当时， 原式． 16. 月日卡塔尔世界杯闭幕小明搜集到三张如图所示的不透明的卡片，正面图案分别是吉祥物，足球和大力神杯，依次记为、、，卡片除正面图不同外，其余均相同，将这三张卡片背面向上洗匀小明从中随机抽取一张，记录图案放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张用画树状图或列表的方法，求小明两次抽到图案不相同的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，利用列表法或树状图法列举出两次抽到图案的所有可能结果，从中找出两次抽到图案不相同的可能情况，再利用等可能事件的概率公式求出即可．熟悉列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键，注意本题是放回抽图案． 【详解】解：画树状图如下： 从树状图中可知，一共有种等可能的结果，其中两次抽到图案不相同的结果数有种可能， 两次抽到图案不相同． 17. 某公司计划从商店购买台灯和手电筒，已知台灯的单价比手电筒的单价高元，用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．求购买一个手电筒需要的钱数． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元，由题意：用元购买台灯的数量和用元购买手电筒的数量相等．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设购买该品牌一个手电筒需要元，则购买一个台灯需要元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：购买一个手电筒需要元． 18. 如图，矩形的对角线交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求菱形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再根据四边形是矩形可得即可证明结论； （2）由四边形是菱形可得，再证为等边三角形，即，再由四边形是矩形可得，然后由四边形是菱形可得，运用勾股定理可得，最后根据菱形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴为等边三角形 ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定、矩形的性质、菱形的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质是解答本题的关键． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中作直线，并标出格点． （2）在图②中画一个．使∽，且点在直线上． （3）在图③作．使点为格点，且点不在直线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图相似变换、等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据垂直的定义结合网格画图即可． （2）由相似三角形的判定与性质可得，即可得，由此画图即可． （3）取格点，，连接，，使，根据等腰三角形的性质可得为的平分线，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求． 【小问2详解】 解：∽， ，， ， ． 如图，即为所求． 【小问3详解】 解：如图，取格点，，连接，，使， 为等腰三角形， 连接， 可得点为的中点， 为的平分线， ． 即为所求． 20. 年月到年月我国原油进口月度走势图如图所示． 根据以上信息回答下列问题： （1）2022年月我国原油进口______万吨． （2）2021年月到年月我国原油进个月增速的中位数是______． （3）与年月相比，年月我国原油进口增加了______万吨． （4）观察我国原油进口月度走势图，年月原油进口量比年月增加万吨当月增速为（计算方法：），年月当月增速为．设年月原油进口量为万吨，下列算法正确的是______． ① ② 【答案】（1） （2） （3）32 （4）② 【解析】 【分析】本题考查了频数分布折线统计图的相关知识，中位数的定义以及分式方程的应用． （1）根据统计图数据可得答案； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）根据统计图数据直接用2022年四月份的进口量减去2022年三月份的进口量即可； （4）设年月原油进口量为万吨，根据年月原油进口量比年月增速为，得出年月原油进口量比年月增长了万吨，进而根据增速不变列出方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，年月我国原油进口万吨． 故答案为：； 【小问2详解】 由题意可知，年月到年月我国原油进口从小到大排序依次为：，，，，，，，，． ∴个月增速的中位数是， 故答案为：； 【小问3详解】 与年月相比，年月我国原油进口增加了：（万吨）， 故答案为：32 【小问4详解】 设年月原油进口量为万吨， 由题意得：． 故答案为：． 21. 甲、乙两人沿同一公路从地出发，甲骑自行车到达地停止，乙骑摩托车到达地后，原地休息，再从地以原来的速度和路线返回地甲、乙离开地的路程与各自行走的时间之间的函数图象如图所示． （1）甲比乙早出发 ，甲的速度是 ； （2）求乙返回时与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在乙从地返回地的过程中，求甲、乙两人到各自目的地的路程相等时甲所用的时间． 【答案】（1）； （2）， （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的图象，待定系数法求函数的表达式，解答此题的关键是理解题意，读懂函数的图象，熟练掌握待定系数法求一次函数表达式的方法与技巧． （1）观察函数的图象即可得出甲比乙早出发的时间，再根据“速度路程时间”即可得出甲的速度； （2）首先求出乙的速度，进而可设乙返回时与之间的函数关系式为：，再根据该函数经过点可求出的值，进而可得与之间的函数关系式； （3）先求出甲行走时与之间的函数关系式为：，再和（2）中乙返回时与之间的函数关系式联立成方程组求解即可． 【小问1详解】 解：由函数的图象可知：甲比乙早出发， 由甲的函数图象可知：甲走完全程所用的时间为， 甲的速度为：； 答：甲比乙早出发，甲的速度是． 【小问2详解】 由乙的函数图象可知：甲走完全程所用的时间为， 乙的速度为， 可设乙返回时与之间的函数关系式为：， 由乙的函数的图象可知：函数过点， 将代入函数之中得：， 解得：， 乙返回时与之间的函数关系式为：； 自变量的取值范围是：． 【小问3详解】 由（1）可知：甲的速度是， 甲行走时与之间的函数关系式为：， 解方程组：， 得：， 答：甲、乙两人到各自目的地的路程相等时甲所用的时间为． 22. 【操作一】如图①，在正方形中，点是的中点，交于点．点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求的大小． 以下是小明同学的部分解答过程，请你补充完整． 解：四边形是正方形， ，，． ， ， 是的中点， 由折叠，得 ______ 在中， ． ______ 度． 【操作二】在图①的基础上继续折叠，如图②，点是边上的一点，连结，将正方形纸片沿所在直线折叠，点的对应点落在上．求证：≌． 【应用】在图②的基础上，如图③，、分别是、的中点，顺次连接、、、，若，直接写出点、之间的距离． 【答案】【操作一】，；【操作二】见解析；【应用】 【解析】 【分析】[操作一]由所给证明过程可推导得出答案； [操作二]先由得，进一步证明，再由折叠可得，和，并证明，同理，即可得到，最后根据证明结论； [应用]先根据≌，证明和，以及，进一步证明四边形是平行四边形，以及四边形是平行四边形，得到，再设，则，得到，再根据是的中点得到，最后解方程，求出，即可得到点、之间的距离为． 【详解】解：[操作一]四边形是正方形， ，，， ， ，， 是的中点， ， 由折叠，得， ， 在中， ， ． 故答案为：，． [操作二]， ， 由折叠可得，，， ， 同理， ， 在和中， ， ≌． [应用]如图，连接， ≌， ，， ， 四边形是平行四边形， ∴， 、分别是、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， 解得， 即点、之间的距离为． 【点睛】本题考查了正方形、矩形、平行四边形性在应用，勾股定理的计算及三角形全等的证明是解题关键． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且点从点出发，沿方向匀速运动到终点，在、上的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度当点不与的顶点重合时，连结，作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒． （1）______ ． （2）用含的代数式表示的长． （3）当点、、共线时，求四边形的面积． （4）当与的直角边垂直时，直接写出t的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）分类讨论点在、上运动的两种情况即可求解； （3）根据题意可求出，设，则，根据可求出，再由即可求解； （4）分类讨论当与的、边垂直的两种情况，画出对应几何图，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 解：∵点在、上的速度分别是每秒个单位长度和每秒个单位长度 ①当点在上运动时，即时： ②当点在上运动时，即时： ∴ 【小问3详解】 解：∵点关于直线的对称点， ∴，，， ∵点、、共线， ∴ ∵， ∴， 设，则 ∵， ∴ 解得： ∴ 【小问4详解】 解：①当与的边垂直时，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴ 此时 ②当与的边垂直时，如图所示： （i） 此时，, ∴ ∴，即， ∴ ， 解得：； （ii）作，如图所示： 由题意得：， 即：， ∵ ∴， 设，则 ∵， ∴ ∴，即 解得：， ∴， ∴ ， 解得：； 综上所述： 【点睛】本题考查了动态几何问题，涉及了勾股定理、正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．掌握分类讨论思想是解题关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，其对称轴为直线，点在该抛物线上，其横坐标为．以点为对称中心，作正方形，使轴，且点的横坐标为． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当点与点重合时，求抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离． （3）当点在第四象限时，若抛物线与正方形的某一条边或一组邻边只有两个公共点，且这两个公共点的纵坐标之和为，求的值． （4）当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小或随的增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用抛物线经过点，对称轴为直线这两个条件可求出该抛物线对应的函数关系式； （2）当点与点重合时，正方形垂直于轴的边为、，它们都是平行于轴的，可求出抛物线的顶点到正方形垂直于轴的边的最短距离； （3）分两类，抛物线与正方形的某一条边只有两个公共点，抛物线与一组邻边只有两个公共点，然后利用这两个公共点的纵坐标之和为建立方程，求出的值； （4）利用数形结合解题即可． 【小问1详解】 抛物线经过点，对称轴为直线， ， ， 抛物线对应的函数关系式为：． 【小问2详解】 ， 抛物线的顶点为， 当点与点重合时，正方形垂直于轴的边为、，顶点到的距离最短，最短距离为． 【小问3详解】 点与顶点重合时，．此时、的纵坐标都为．以下分三种情况讨论． 第一种情况：点在第四象限，当时，正方形变小，交点、的纵坐标都小于，相加不会等于，此种情况不合题意． 第二种情况：当且与交于、时，， ， ， 到的距离和到的距离相等，都是， ， （舍掉）或， ． 第三种情况：，，两个交点的纵坐标的和不可能为，此种情况不符合题意． 综上，． 【小问4详解】 当或时，抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而减小；当抛物线在正方形内部的部分对应的函数值随的增大而增大， 的取值范围是或或． 【点睛】此题考查了二次函数与几何图形的综合，能利用数形结合和分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $