第2讲 一元二次函数、方程和不等式 课件-湖南省2026年普通高中学业水平合格性考试复习高二数学

该高中数学高考复习课件聚焦一元二次函数、方程和不等式专题，依据高考评价体系明确了基本不等式（掌握）、二次函数与方程不等式关系（理解）等核心考点，通过考情分析表梳理了“基本不等式应用”“一元二次不等式解法”等高频题型的考查权重，构建了从知识梳理到考点探究的系统复习框架。 课件亮点在于“真题引路+技巧提炼+素养提升”，精选2023-2024年湖南、河南学考真题，如基本不等式求最值（例3）、一元二次不等式解集（例4），提炼“一正二定三相等”“求根定界”等解题技巧，培养学生用数学思维推理、用数学语言表达的素养。教师可依托达标训练精准把握学情，助力学生高效突破高频考点，提升高考得分率。

2026年湖南省普通高中学业水平复习 数 学 第2讲 一元二次函数、方程和不等式 必修第一册 目录 1.考情分析 2.知识梳理 3.考点探究 4.达标训练 考情分析 核心知识 评价要求 了解 理解 掌握 等式性质与不等式性质 √ 基本不等式 √ 二次函数与一元二次方程、不等式 √ 知识梳理 a－b>0 a－b＝0 a－b<0 差 0 b＝a a＝c < > ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd > ≤ a＝b {x|x<x1，或x>x2} {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 考点探究 探究点一： 用不等式(组)表示不等关系 【变式题】 探究点二： 不等式的性质 C 【变式题】 D 探究点三：基本不等式及其应用 C C B 【变式题】 C C C 探究点四：一元二次不等式的解法 A 【变式题】 B -6 探究点五：二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用 D A 【变式题】 C -2 巩固练习 一、选择题 C D C C A A B D A C D D < 二、填空题 3 1 {a|a≤－1} 三、解答题 本课结束！ 1.两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔① a＝b⇔② a<b⇔③ 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的④ 与⑤ 的大小 2.等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么⑥ ； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么⑦ ； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c). 3.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b⑧ a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c⑨ b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒⑩ a>b，c<0⇒⑪ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒⑫ 同向 6 同向同正可乘性 b>0，c>d>0⇒⑬ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an⑭ bn(n∈N，n≥2) 同正 续表 4.基本不等式 如果a>0，b>0， eq \r(ab)⑮ eq \f(a＋b,2)，当且仅当⑯ 时，等号成立.其中， eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数， eq \r(ab)叫做正数a，b的几何平均数. 变形：ab≤( eq \f(a＋b,2))2，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立.a＋b≥2 eq \r(ab)，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立. 5.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a >0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ eq \f(b,2a) 没有实数根 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 ⑰ {x|x≠－ eq \f(b,2a)} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 ⑱ ⑲ ⑳ 续表 【例1】 某地规定本地最低生活保障x元不低于800元，则这种不等关系写成不等式为 . 【解析】 由最低生活保障金为x元，则x≥800. 用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于96 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系． 【解析】 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为 eq \f(30－x,2)＝15－ eq \f(x,2). 因此菜园面积S＝x(15－ eq \f(x,2))， 依题意有S≥96，即x(15－ eq \f(x,2))≥96， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x(15－\f(x,2))≥96.)) 【例2】 (2023·湖南省学考)下列命题为真命题的是( ) A．若a>b，则a2>b2 B．若a>b，则ac>bc C．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d D．若a>b，c>d，则ac>bd 【解析】 对于A，若0>a>b，则a2<b2，故A错误； 对于B，若c<0，则ac<bc，故B错误； 对于C，a＋c>b＋c>b＋d，故C正确； 对于D，若a＝2，b＝0，c＝0，d＝－1，则a>b，c>d，但是ac＝0＝bd. 故D错误． 下列说法正确的个数为( ) ① eq \f(c,a)< eq \f(c,b)，且c>0⇒a>b； ②a>b⇒a＋c>b＋c； ③a>b>0，且c>d>0⇒ eq \f(a,d)> eq \r(\f(b,c))； ④ eq \f(a,c2)> eq \f(b,c2)⇒a>b. A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 ① eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(c,a)<\f(c,b)，,c>0))⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，当a<0，b>0时，此式成立，推不出a>b，所以①错误． ②a>b⇒a＋c>b＋c，所以②正确． ③ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>b>0，,c>d>0))⇒ eq \f(a,d)> eq \f(b,c)>0⇒ eq \f(a,d)> eq \r(\f(b,c))成立，所以③正确． ④显然c2>0，所以 eq \f(a,c2)> eq \f(b,c2)的两边同乘以c2，得a>b，所以④正确． 【例3】 (1)(2024·湖南省学考)已知函数f(x)＝x＋ eq \f(9,x)(x>0)，则f(x)的最小值是( ) A．2 B．3 C．6 D．10 【解析】 由基本不等式可得x＋ eq \f(9,x)≥2 eq \r(x·\f(9,x))＝6， 当且仅当x＝3时取等号， 所以x＋ eq \f(9,x)的最小值为6. (2)已知a>0，b>0，且ab＝4，则a＋b的最小值为( ) A．2 B．2 eq \r(2) C．4 D．5 【解析】 因为a>0，b>0，ab＝4， 所以a＋b≥2 eq \r(ab)＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号． 故选C. (3)已知m，n∈(0，＋∞)， eq \f(1,m)＋n＝4，则m＋ eq \f(9,n)的最小值为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】 ∀m，n∈(0，＋∞)， eq \f(1,m)＋n＝4， 则m＋ eq \f(9,n)＝ eq \f(1,4)(m＋ eq \f(9,n))( eq \f(1,m)＋n)＝ eq \f(1,4)(10＋mn＋ eq \f(9,mn))≥ eq \f(1,4)(10＋2 eq \r(mn·\f(9,mn)))＝4， 当且仅当mn＝ eq \f(9,mn)且 eq \f(1,m)＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立． 【答案】 B (1)若实数a，b满足a2＋b2＝16，则ab的最大值是( ) A．2 B．4 C．8 D．16 【解析】 由不等式a2＋b2≥2ab，得ab≤ eq \f(a2＋b2,2)＝8，当且仅当a＝b＝±2 eq \r(2)时等号成立．故选C. (2)用12 cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，则这个矩形的面积是( ) A．3 cm2 B．6 cm2 C．9 cm2 D．12 cm2 【解析】 设矩形的长、宽分别为x cm，y cm，则有2(x＋y)＝12，即x＋y＝6. 因为矩形的面积S＝xy，所以S＝xy≤ eq \f((x＋y)2,4)＝9，当且仅当x＝y＝3时等号成立． (3)若x>2，则y＝x＋ eq \f(4,x－2)的最小值为( ) A．4 B．5 C．6 D．8 【解析】 因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋ eq \f(4,x－2)＝x－2＋ eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r((x－2)·\f(4,x－2))＋2＝6， 当且仅当x－2＝ eq \f(4,x－2)，即x＝4时等号成立． 【例4】 (2023·河南省学考)不等式x2＋x－2＜0的解集是( ) A．{x|－2<x<1} B．{x|－1<x<2} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|x<－1或x>2} 【解析】 方程x2＋x－2＝0的两根为x1＝－2，x2＝1.结合二次函数的图象知，原不等式的解集为{x|－2<x<1}．故选A. (1)不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是( ) A．{x|－2<x<3} B．{x|x<－2或x>3} C．{x|－3<x<2} D．{x|x<－3或x>2} 【解析】 方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3.结合二次函数的图象知，原不等式的解集为{x|x<－2或x>3}．故选B. (2)若一元二次不等式ax2＋4x＋2>0的解集是{x|－ eq \f(1,3)<x <1}，则实数a的值为 . 【解析】 根据题意，若一元二次不等式ax2＋4x＋2>0的解集是{x|－ eq \f(1,3)<x<1}， 则方程ax2＋4x＋2＝0的两根为－ eq \f(1,3)和1，且a<0， 由韦达定理，可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋1＝－\f(4,a)，,(－\f(1,3))×1＝\f(2,a)，))解得a＝－6. 【例5】 (1)若不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集是R，则下列条件中正确的是( ) A．a>0且b2－4ac<0 B．a>0且b2－4ac>0 C．a<0且b2－4ac>0 D．a<0且b2－4ac<0 【解析】 由二次函数的性质可知，函数图象的开口向下且与x轴没有交点，所以二次项系数a<0，且判别式b2－4ac<0，故选D. (2)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的零点为－2和1，则关于x的不等式x2＋bx－c>0的解集为( ) A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1，2) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 【解析】 二次函数y＝－x2＋bx＋c的零点为－2和1， 所以－2和1是方程－x2＋bx＋c＝0的实数根， 由根与系数的关系知， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2＋1＝b，,－2×1＝－c，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－1，,c＝2，)) 所以不等式x2＋bx－c>0即为x2－x－2>0，解得x<－1或x>2， 所以不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞). 【答案】 A (1)若不等式x2＋mx＋1<0的解集不为空集，则m的取值范围是( ) A．{x|－2<m<2} B．{x|－2≤m≤2} C．{x|m<－2或m>2} D．{x|m≤－2或m≥2} 【解析】 由已知得Δ＝m2－4>0，解得m<－2或m>2，故选C. (2)(2024·河南省学考模拟)若关于x的不等式2x2＋ax＋b<0的解集为(1，2)，则a＋b＝ . 【解析】 根据题意，可得方程2x2＋ax＋b＝0的根是1和2，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1＋2＝－\f(a,2)，,1×2＝\f(b,2)，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－6，,b＝4，)) 所以a＋b＝－2. 1．“a与b的积是非正数”用不等式表示为( ) A．ab<0 B．ab>0 C．ab≤0 D．ab≥0 2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式(组)表示就是( ) A． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥95,y≥380,z>45)) B． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥95,y>380,z≥45)) C． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x>95,y>380,z>45)) D． eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥95,y>380,z>45)) 3．(2025·湖南省学考)能使不等式(x－2)·(x－4)<0 成立的一个x的值是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 4．(2025·云南省学考)已知a>0，则a＋ eq \f(16,a)的最小值为( ) A．1 B．4 C．8 D．16 【解析】 由基本不等式可知a＋ eq \f(16,a)≥2 eq \r(a·\f(16,a))＝8，当且仅当a＝4时取等号．故选C. 5．(2023·福建省学考)已知a<2，则下列不等式正确的是( ) A．a＋c<2＋c B．a2<c2 C．ac<2c D．a<0 6．若a为实数，则“a>1”是“a2>a”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为( ) A． eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b) B． eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m) C． eq \f(a＋m,b＋m)< eq \f(a,b) D． eq \f(a,b＋m)< eq \f(a,b) 【解析】 这一事实表示成一个不等式为： eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m)， 证明如下：b>a>0，m>0， 则 eq \f(a,b)－ eq \f(a＋m,b＋m)＝ eq \f(a(b＋m)－b(a＋m),b(b＋m))＝ eq \f(m(a－b),b(b＋m))<0，即 eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m). 8．(2023·福建省学考)已知mn＝2，则m2＋n2的最小值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．(2023·江苏省学考)已知a>b，则( ) A．a＋3>b＋3 B．3－a>3－b eq \f(3,a)> eq \f(3,b) D．a2>b2 10．(2024·河南省学考模拟)若不等式x2＋bx＋c<0的解集是{x|－4<x<3}，则c的值是( ) A．－1 B．1 C．－12 D．12 【解析】 因为不等式x2＋bx＋c<0的解集是{x|－4<x<3}，所以－4和3是方程x2＋bx＋c＝0的实数根，由根与系数的关系知， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4＋3＝－b，,－4×3＝c，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝1，,c＝－12.))所以c的值是－12. 11．(2023·湖南省学考)已知0<x<4，则 eq \r(x(4－x))的最大值为( ) A． eq \f(1,2)　 B．1 C． eq \r(2) D．2 【解析】 因为0<x<4，所以 eq \r(x(4－x))≤ eq \f(x＋(4－x),2)＝2，当且仅当x＝4－x即x＝2时取等号． 12．已知关于x的不等式x2－ax＋b≤0的解集为{x|2≤x≤3}，则关于x的不等式x2－bx＋a<0的解集为( ) A．{x|2<x<3} B．{x|1<x<3} C．{x|2<x<5} D．{x|1<x<5} 【解析】 因为关于x的不等式x2－ax＋b≤0的解集为{x|2≤x≤3}，所以2和3是方程x2－ax＋b＝0的解，由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，b＝2×3＝6，所以不等式x2－bx＋a<0为x2－6x＋5<0，解得1<x<5，则不等式x2－6x＋5<0的解集为{x|1<x<5}，故选D. 13．已知a，b是实数，且a>b，则－a －b(填“>”或“<”). 14.(2025·河北省学考模拟)若x>0，则x＋ eq \f(4,x＋1)的最小值为 . 【解析】 因为x>0，由基本不等式得x＋ eq \f(4,x＋1)＝x＋1＋ eq \f(4,x＋1)－1≥2 eq \r((x＋1)·\f(4,x＋1))－1＝3，当且仅当x＋1＝ eq \f(4,x＋1)，且x>0，即x＝1时等号成立．所以x＋ eq \f(4,x＋1)的最小值为3. 15.已知关于x的不等式(ax－2)(x－1)≤0的解集为{x|1≤x≤2}，则a＝ . 【解析】 由题可得2a－2＝0，解得a＝1. 16．已知集合A＝{x|－x2－2x＋a>0}，B＝R，若A∩B＝∅，则a的取值范围是 . 【解析】 集合A＝{x|－x2－2x＋a>0}，B＝R，若A∩B＝∅，则A＝∅，所以不等式－x2－2x＋a>0无解，即x2＋2x－a<0无解，所以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以a的取值范围是{a|a≤－1}． 17．已知集合A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x－m<0}． (1)当m＝3时，求A∩B； (2)若A∪B＝B，求实数m的取值范围． 【解析】 (1)A＝{x|x2－2x－8<0}＝{x|－2<x<4}， 当m＝3时，B＝{x|x－3<0}＝{x|x<3}， 所以A∩B＝{x|－2<x<3}． (2)B＝{x|x－m<0}＝{x|x<m}， 因为A∪B＝B，所以m≥4， 所以实数m的取值范围为{m|m≥4}． 18．如图，利用已有墙的一面(墙足够长)，用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，试求这块场地的长x和宽y各为多少时，矩形场地面积最大？并求矩形场地的最大面积是多少平方米？ 【解析】 由题意得x＋2y＝20， 由基本不等式可知，20＝x＋2y≥2 eq \r(2xy)， 当且仅当x＝2y，即x＝10，y＝5时取等号， 解得xy≤50，则矩形面积S＝xy≤50， 所以x＝10 m，y＝5 m时，矩形面积取得最大值50 m2. 19．已知函数f(x)＝x2＋3x＋m. (1)当m＝－4时，解不等式f(x)≤0； (2)对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数m的取值范围． 【解析】 (1)当m＝－4时， 将其代入f(x)≤0，得x2＋3x－4≤0，解得－4≤x≤1， 所以不等式的解集为{x|－4≤x≤1}． (2)若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立， 则m>－x2－3x在x∈[1，＋∞)上恒成立． 设g(x)＝－x2－3x， 则g(x)在[1，＋∞)上为减函数，g(x)max＝g(1)＝－4， 所以m的取值范围为(－4，＋∞). $