第2讲 集合间的基本关系 - 人教A版必修第一册-2026年普通高中学业水平考试过关复习讲义

第2讲 集合间的基本关系 . 学 考 要 求 理解集合间的基本关系. . 知 识 必 备 （1）集合间的基本关系 文字语言 符号语言 记法 子集 集合A中的任意一个元素____集合B中的元素 x∈A⇒x∈B   ___________ （或________） 真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A A____B（或B____A） 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A⊆B，且B⊆A     _______ 空集 不含任何元素的集合 ∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B（B≠∅）     _______ （2）子集的传递性：A⊆B，B⊆C，则____________. （3）子集个数：对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为______，真子集个数为______，非空真子集个数为______. 【答案】（1）都是 A⊆B B⊇A 不属于   A＝B ∅ （2）A⊆C （3） . 典 例 探 究 题型一：判断基本关系 例题1：设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 【解析】对于选项A：由元素与集合的关系可知，故A错误； 对于选项B：由元素与集合的关系可知，故B正确； 对于选项C：由元素与集合的关系可知，故C错误； 对于选项D：由集合与集合的关系可知，故D错误. 故选：B 题型二：根据（真）子集关系求参数值（范围） 例题2：（1）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】集合，，，，解得.故选：B. （2）设集合，，若，则的取值范围是_________. 【解析】因为，，，故只需即可满足题意. 故答案为：. 题型三：根据集合相等关系求参数值 例题3：设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【解析】，，，此时集合，，故，. 故选：C. 题型四：求（真）子集个数 例题4：已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【解析】解：由题意得：， 其真子集有：，，，，，，，共7个．故选：A． . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【解析】由子集定义，可知.故选：C 2．已知集合，集合，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 【解析】，，，，， 可以是、和. 故选：D. 3．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 【解析】由题意可得，故集合A的所有真子集的个数为. 故选：B. 4．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 【解析】由可得：，解得或， 当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去，即满足题意，故选：C 2、 填空题 5．已知集合，若，则的值为______． 【解析】由，得，故，此时满足．故答案为：8 3、 解答题 6．设集合，已知，求实数a的取值范围． 【解析】当时，，解得； 当时，解得； 综上所述，的取值范围为，或． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 【解析】因为集合的元素有个， 所以集合的非空子集的个数为. 2．集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．15 D．8 【解析】，，，， 为，，，，，，，， 的个数为个. 故答案为：D. 3．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【解析】解：A．空集只有一个子集，是它本身，故错误，不符合题意； B．空集是任何非空集合的真子集，故错误，不符合题意； C．若且，则，正确，符合题意； D．若且，则不一定相等，故错误，不符合题意； 故选：C． 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. 2、 填空题 5．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【解析】因为，所以，故实数的取值范围为.故答案为：. 3、 解答题 6．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）因为，， 所以中没有元素，即， 所以的取值范围为. （2）因为，， 由（1）知，当时，，此时满足； 当时，则； 所以的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 集合间的基本关系 . 学 考 要 求 理解集合间的基本关系. . 知 识 必 备 （1）集合间的基本关系 文字语言 符号语言 记法 子集 集合A中的任意一个元素____集合B中的元素 x∈A⇒x∈B   ___________ （或________） 真子集 集合A是集合B的子集，但B中存在元素________A A⊆B，且∃x0∈B，x0∉A A____B（或B____A） 相等 集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素 A⊆B，且B⊆A     _______ 空集 不含任何元素的集合 ∀x，x∉∅，∅⊆A，∅B（B≠∅）     _______ （2）子集的传递性：A⊆B，B⊆C，则____________. （3）子集个数：对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为______，真子集个数为______，非空真子集个数为______. . 典 例 探 究 题型一：判断基本关系 例题1：设集合，则下列选项正确是（    ）. A． B． C． D． 题型二：根据（真）子集关系求参数值（范围） 例题2：（1）已知集合，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． （2）设集合，，若，则的取值范围是_________. 题型三：根据集合相等关系求参数值 例题3：设集合，，若，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 题型四：求（真）子集个数 例题4：已知集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 . 过 关 检 测 1、 选择题 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则集合不可能是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则集合A的所有真子集的个数是    （    ） A．6 B．7 C．14 D．15 4．已知集合，，若，则实数的值为（   ） A．1或 B．3或 C．3 D． 2、 填空题 5．已知集合，若，则的值为______． 3、 解答题 6．设集合，已知，求实数a的取值范围． . 课 后 巩 固 1、 选择题 1．已知集合，则的非空子集的个数为（   ） A．32 B．31 C．64 D．63 2．集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．15 D．8 3．下列结论正确的是（　　） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 4．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2、 填空题 5．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 3、 解答题 6．已知集合. (1)若，求的取值范围. (2)若，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $