期末复习：解三角形中的周长问题、面积问题、多边形中的解三角形问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦解三角形核心应用，通过周长、面积及多边形问题的阶梯式训练，构建“量关系-空间形式-综合应用”的逻辑体系，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形中的周长问题|3例+3变式|结合面积、中线、外接/内切圆条件，先求角再求边|从三角恒等变换求角，到余弦定理/面积公式建立边的关系，形成“角-边-周长”推导链| |解三角形中的面积问题|3例+3变式|涉及向量垂直、动点分割、最值探究，多问递进|以面积公式为核心，关联正弦定理、内切圆半径，体现“已知量-面积公式-未知量”转化逻辑| |多边形中的解三角形问题|3例+3变式|平面四边形分割为三角形，结合托勒密定理、最值求解|通过辅助线将多边形转化为三角形组合，运用“分解-转化-综合”思想，深化空间形式认知|

期末复习：解三角形中的周长问题、面积问题、多边形中的解三角形问题专项训练 期末复习：解三角形中的周长问题、面积问题、多边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 解三角形中的周长问题 解三角形中的面积问题 多边形中的解三角形问题 考点一 解三角形中的周长问题 例1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角，，对边分别为，，，若， (1)求角的大小； (2)若为边上一点，，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及化简，进而求出． （2）对、、分别使用余弦定理再求解． 【详解】（1）根据正弦定理，由， 可得， 整理得， ，，则， 得，即， ， 则，即． （2）如图，由（1）可知，，设，则， 设，则， 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 所以， 整理可得，即． 则在中，根据余弦定理，， 整理得，即， 解得或（舍去）， 所以 ， 所以，的周长为． 例2．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）根据两角差的正弦公式，结合题意求解即可. （2）根据等面积法可得，再利用正、余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为，即， 整理可得，即， 因为，则，， 则或或， 即或（舍去）或（舍去）， 且，解得. （2）由题意可知：， 则，可得， 又因为，则， 由余弦定理可知， 整理可得， 可得，解得或（舍去）， 所以的周长. 例3．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用正弦定理实现边角互化，结合三角形内角和性质与正弦和角公式化简求得角； (2)先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，进而计算得到三角形周长。 【详解】（1）已知，交叉相乘得 ; 在中，由正弦定理得； 由于 ，故， 可得， 即， 即 ， 化简得 ， 由，得， 又 ，故 （2）由的面积公式，将代入化简得； 由余弦定理， 得 ，即， 则， 由得。 故的周长为. 变式1．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2)18 【分析】（1）由题设结合正弦定理化简求解即可； （2）结合的面积为可得，再根据余弦定理得到，可得，进而求解即可. 【详解】（1）由正弦定理，得， 所以，则，因为，所以． （2）因为的面积为， 所以，即， 由余弦定理，则，即， 则，即， 则的周长为． 变式2．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知条件求解； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理求出，进而求出的周长． 【详解】（1），由正弦定理得， ， 又， ， 由，可得， ， ． （2）的面积为5， ， 解得， ， 由余弦定理得， ， ， ， 的周长为． 变式3．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合正弦函数的图象、性质求出解析式. （2）由（1）求出，再利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理求解. 【详解】（1）由，得，而，则， 由恒成立，可知，即，， 因此，解得，而，则， 所以的解析式为. （2）由（1）得，，而，解得， 由，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 考点二 解三角形中的面积问题 例1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的值； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示，结合正弦定理求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由，得，由正弦定理得. 又，，所以，，所以， 故. （2）由（1）知， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得，解得或（舍去）. 所以. 即的面积为. 例2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. (3)若点是边上一点，且，，求的面积. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）计算向量数量积，利用三角函数和角公式及三角形内角和性质，化简得出，进而求角； （2）由面积公式求出，再通过余弦定理及完全平方公式求出，最后计算周长； （3）利用中点向量表示，平方后结合余弦定理得到的方程联立求解，再根据面积公式求面积. 【详解】（1）由已知向量，， 得， 因为，所以，即， 又，所以， 又，则，所以，所以； （2）由已知，，且，得， 由余弦定理，又，得， 所以或（舍）， 故的周长为； （3）因为点是边上一点，且，所以是的中点， 所以，两边平方得， 又，，所以，即①， 又，，由余弦定理，得②， ①②联立得， 故的面积. 例3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③． (1)求角的大小； (2)设面积为，且，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）若选①②：根据题意利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换运算求解；若选③：根据题意结合三角恒等变换运算求解； （2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等可得，根据面积关系可得，结合余弦定理解得，即可得结果. 【详解】（1）若选①：因为， 由正弦定理可得， 因为，则，可得， 且，所以； 若选②：因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得，即， 且，所以； 若选③：因为， 且，可得， 因为，则，可得，即， 且，所以. （2）设的外接圆半径为， 则， 所以； 由可得，即， 由余弦定理可得， 即，解得或（舍去）， 所以的面积为． 变式1．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径，求边的值； (3)若，延长至，使得，，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合三角恒等变换求得. （2）根据的面积求得，利用等面积法以及余弦定理求得. （3）利用正弦定理列方程，求得，进而求得，由此求得的面积． 【详解】（1）由及正弦定理，得． 因为， 所以． 因为，所以， 所以，即． 因为，所以，所以，即． （2）由（1）得，则的面积，即． 又因为内切圆的半径，且， 所以，即． 由余弦定理，得， 即，解得． （3）在中，由正弦定理，得①． 在中，，， 由正弦定理，得②． 由①②得，化简得． 因为，所以． 因为，，所以． 所以． 变式2．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即，在中，， 所以，因为，所以； （2）由（1）知，，因为，， 由余弦定理，得： 即，得，所以的面积． 变式3．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解； （2）由余弦定理结合基本不等式求得，进而求得答案； （3）设，在和中，分别由余弦定理结合，可得，在中，由余弦定理可得，进而求得，利用三角形面积公式得解. 【详解】（1）因为，所以， 故， 又因为，所以； （2），， 由余弦定理可得：， 即， 又因为，当且仅当时，等号成立； 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以周长，当且仅当时，等号成立， 所以周长的最大值为； （3）如图所示： 设，则， 在中，由余弦定理可得： ， 在中，由余弦定理可得： ， 又因为与互补， 所以， 所以①， 在中，由余弦定理可得： ， 整理得，② 由①②可得：， 解得， 所以. 考点三 多边形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等腰三角形性质结合二倍角公式求解作答； （2）连接，由已知结合余弦定理可得，，再利用余弦定理、二倍角公式、辅助角公式求解作答. 【详解】（1）设，依题意，， 则，， 即，而， 所以. （2）连接，中，，，    由余弦定理得， 则，即，设，在中，， 于是，在中，， 由余弦定理得：， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，， 所以AC的最大值是. 例2．（25-26高一下·上海浦东新区·月考）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． (1)求观赏通道的长； (2)若，求折线段通道的最大值（即最大）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的性质，利用正弦定理计算求解； （2）根据三角形的性质，利用余弦定理构造方程，再利用基本不等式求最大值． 【详解】（1）在中，已知，，， 由正弦定理：，代入数据：， 因为，，则，解得． （2）在中，，，设，， 由余弦定理：，即， 变形可得：，由基本不等式（当且仅当时取等号），代入得：即， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此折线段通道的最大值为． 例3．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，． (1)希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料． ①若，求的最小值； ②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求． (2)当为正三角形时，求面积的最大值． 【答案】(1)①；  ② (2) 【分析】（1）①由条件求得，再通过题干中的定理即可求解；②由题干中的定理得到，分别在和中由余弦定理即可求解； （2）由，再通过的面积得到，结合余弦定理得到，代入的面积公式，结合辅助角公式即可求解. 【详解】（1）①因为，，， 由勾股定理得对角线， 由条件对凸四边形，有 ， 代入​，，，， 得： 即，当且仅当对角互补时取等号， 故的最小值为. ②设正三角形边长为，则， 代入定理： ， 即，化简得， 当且仅当对角互补（四点共圆）时取等号，即最大值为. 此时四点共圆，由对角互补得， 在中由余弦定理： ， 故， 设，在中由余弦定理： ， 代入，得， 解得，又为三角形内角，故， 故. （2）在中，由余弦定理得： ， 即， 即， 又 又， ， 即， 即， 又， 即， 所以， 所以 ， 当时，取最大值， 即面积的最大值. 变式1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用倍角公式计算； （2）利用余弦定理求出，再利用可得； （3）根据以及余弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求出即可利用面积公式求出. 【详解】（1）因为，对角线为钝角的平分线， 所以，解得或（舍）， 所以； （2）在中由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 即， 解得； （3）在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中由余弦定理可得， 解得， 因为 ， 所以. 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件化简等式求出，结合三角形的内角求出； （2）根据已知条件求出相关边、角，再利用余弦定理求解； （3）根据余弦定理和三角形面积公式，结合正弦函数的性质求解． 【详解】（1）已知，由正弦定理得， ， ， ， 又， ． （2）由得，为等边三角形， ， 由，得， ， 在中，已知， 由余弦定理：， 则， ． （3）在中，， ， ， ， ， ． 变式3．（25-26高一下·山西·期中）如图，在平面四边形中，，. (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可求出的长，然后利用正弦定理可求得的值； （2）利用余弦定理结合可求出的长，即可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， 所以， 在中，，，， 所以由正弦定理得，得， ，得. （2）在中，， 由余弦定理得， 在中，，， 则余弦定理得， 因为，所以，解得， 所以， 因为，所以， 所以的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：解三角形中的周长问题、面积问题、多边形中的解三角形问题专项训练 期末复习：解三角形中的周长问题、面积问题、多边形中的解三角形问题专项训练 考点目录 解三角形中的周长问题 解三角形中的面积问题 多边形中的解三角形问题 考点一 解三角形中的周长问题 例1．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）在中，角，，对边分别为，，，若， (1)求角的大小； (2)若为边上一点，，且，求的周长． 例2．（25-26高一下·北京·阶段检测）已知的内角，，的对边分别为，，，且. (1)求的值. (2)设的外接圆半径为，内切圆半径为.若，，求的周长； 例3．（25-26高一下·广西河池·期中）在中，已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 变式1．（25-26高一下·河北·期中）在中，内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，的面积为，求的周长． 变式2．（25-26高一下·河北邢台·期中）已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，的面积为5，求的周长． 变式3．（25-26高一下·广东广州·期中）已知函数，且恒成立. (1)求的解析式； (2)记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的面积为，求的周长. 考点二 解三角形中的面积问题 例1．（25-26高一下·天津宝坻·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． (1)求角的值； (2)若，，求的面积． 例2．（25-26高一下·辽宁大连·期中）已知，，分别为三边，，所对的角，，向量，，且. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的周长. (3)若点是边上一点，且，，求的面积. 例3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角所对的边分别是，在下面三个条件中任选一个作为条件，解答下列问题，①；②；③． (1)求角的大小； (2)设面积为，且，，求的面积． 变式1．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）在中，角，，所对的边分别为，，，，且为锐角． (1)求角的大小； (2)若的面积，内切圆的半径，求边的值； (3)若，延长至，使得，，求的面积． 变式2．（25-26高一下·上海宝山·期中）在中，角所对的边分别为，若． (1)求A的大小； (2)若，求的面积． 变式3．（25-26高一下·浙江绍兴·期中）已知中，角所对的边分别为，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最大值； (3)若，为线段上一点，满足，求的面积． 考点三 多边形中的解三角形问题 例1．（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图，在平面四边形ABCD中，点B与点D分别在直线AC的两侧，． (1)若，，且，求； (2)若，且，求的最大值． 例2．（25-26高一下·上海浦东新区·月考）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布(且异于点)，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，． (1)求观赏通道的长； (2)若，求折线段通道的最大值（即最大）． 例3．（25-26高一下·江苏南京·期中）如图，在平面四边形中，． (1)希腊数学家克罗狄斯·托勒密（Ptolemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料． ①若，求的最小值； ②若为正三角形，则当线段BD的长取最大值时，求． (2)当为正三角形时，求面积的最大值． 变式1．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)若，求的面积. 变式2．（25-26高一下·云南昆明·期中）如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． (1)求； (2)若，求的长； (3)若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 变式3．（25-26高一下·山西·期中）如图，在平面四边形中，，. (1)若，，求的值； (2)若，，求的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $