精品解析：2026年河南驻马店市平舆县名校协作体初中学业水平考试数学试卷

2026年河南省初中学业水平考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：A、是负整数，不符合题意； B、是分数，不符合题意； C、，是整数，不符合题意； D、是无限不循环小数，即无理数，符合题意． 2. 如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 河 D. 南 【答案】A 【解析】 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 3. 年月日（上映第天），沈腾主演的《飞驰人生》内地累计总票房为亿元人民币，数据亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：亿 ． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查幂运算和合并同类项的法则，根据相关规则逐一判断选项即可得到答案. 【详解】根据幂运算和合并同类项的规则逐一判断： 对于选项A，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A错误； 对于选项B，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∴，B错误； 对于选项C，∵幂的乘方，底数不变，指数相乘，∴，C正确； 对于选项D，∵与不是同类项，不能合并，∴，D错误. 5. 如图，直线与相交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， ， ． 6. 小亮家某月各种支出如图所示，如果小亮家该月服装费用为元，则小亮家该月支出教育费用为（ ） A. 350元 B. 1050元 C. 2100元 D. 2800元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，百分数的计算，先根据统计图，先识图，食品的占比为，其他的占比为，服装的占比为，水电的占比为，用减去这些百分比，得到教育费用的占比为，然后根据题意小亮家该月服装费用为元，用除以这个占比得到小亮家该月的总支出，根据教育费用的占比为，用乘以这个比例，计算，即计算，从而得出小亮家该月支出教育费用． 【详解】解：教育费用的占比为： 总费用为：（元） ∴小亮家该月支出教育费用为（元） 7. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算，将原方程转化为标准一元二次方程，再通过计算判别式的值判断根的情况． 【详解】解：根据题意可得， ， 整理，得： ， 判别式 ， ∴该方程无实数根． 8. 五一假期，丽丽一家人想去河南的一些具有人文历史的地方旅游，从“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”、“登封·少林寺”中任选两个地方，则选择“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画出树状图，根据结果计算概率即可． 【详解】解：设字母A、B、C分别表示“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”、“登封·少林寺”， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中选择“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”（即“”或“”）的情况有2种， ∴选择“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”的概率为． 9. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若等边三角形的周长为12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，不规则图形的面积的求解，运用等边三角形的性质以及勾股定理得，，分析图中的阴影面积，得出阴影面积为扇形的面积减去等边三角形的面积的2倍，代入已知数据计算即可． 【详解】解：过A点作于D点， ∵是等边三角形，等边三角形的周长为12， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【跨学科·物理】 10. 在用焦距为的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距、像距，算出物、像间距（即），绘出如图所示的图象（以为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（ ） A. 当时，先减小再增大 B. 当物距为时，像距为 C. 当时， D. 当物、像间距时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象分析物距u与物像间距L的变化关系，再结合及凸透镜成像规律进行判断即可． 【详解】解：由函数图象可得，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大，故选项A正确，不符合题意； 当时，，所以，故选项B正确，不符合题意； 当时，，所以，所以，故选项C正确，不符合题意； 由图象可得当物、像间距时，的取值范围是或．故选项D错误，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个与是同类项的式子：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项的知识．根据同类项的定义“所含字母相同，相同字母的指数相同”，写出符合题意的一个代数式即可． 【详解】解：∵中，a的指数是1，b的指数是2， ∴的同类项可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 13. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度（）与点燃时间（）之间的关系式是______（不要求写出自变量的取值范围）． 【答案】 【解析】 【详解】解：依题意，这根蜡烛点燃后剩下的长度（）与点燃时间（）之间的关系式是． 14. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型． 由切线的性质得出，证明得出，则，最后由勾股定理进行计算即可，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形的是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】设，则，由折叠的性质可得，当是以为腰的等腰三角形时，分为两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设，则，由折叠的性质可得， 当是以为腰的等腰三角形时，分为以下两种情况： 如图1，当时，， ∵四边形是矩形， 在中，，即， 解得； 如图2，当时，过点作于， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴，即， 解得． 综上，的长为或2． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 【答案】（1）20； （2）不认同，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）用总人数减去已知频数即可求解；这次测试成绩的中位数是60名九年级男生的成绩从小到大排列后的中间两人的平均数； （2）根据小明的测试成绩与这次测试成绩的中位数比较即可解答． 【小问1详解】 解：； ∵这次测试随机抽取了60名九年级男生成绩，且， ∴这次测试成绩的中位数是成绩从小到大排列后第30名和第31名的平均数， 即; 【小问2详解】 解：不认同，理由如下： ∵， ∴小明的测试成绩高于中位数，说明他比一半九年级所测男生成绩好． 18. 如图，已知，点是上一点． （1）用无刻度直尺和圆规作图：交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若点在边上（不与重合），且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）如图，由（1）可知， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）由（1）可得，进而证明，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以 为邻边构造． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）将向右平移个单位，使的中点落在反比例函数图象上，则_________． 【答案】（1） （2）4 （3）7 【解析】 【分析】（1）先得出点B坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）由题意易得，然后问题可求解； （3）根据平移及中点坐标公式可进行求解. 【小问1详解】 在一次函数的图象上， ， ， 即反比例函数的解析式为. 【小问2详解】 解：把代入得：，解得：， 故的底为，高为点的纵坐标2， . 【小问3详解】 解：记向右平移m个单位长度后，O对应点为，C对应点为， 中点为D， 则， 则由中点坐标公式得，代入，得， 解得. 20. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 【答案】（1）拉皮筋的两个孩子之间的距离为米 （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）根据正切的定义，分别求得的长，进而根据，即可求解； （2）解，求得 的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； 答：拉皮筋的两个孩子之间的距离为米； 【小问2详解】 解：在中，， 在中， ∴， 答：当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了米 21. 2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示，某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了1640能量和蛋白质． 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 1份A款高钙牛奶 715 1份B款豆谷营养包 210 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了63g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 【答案】（1）小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份 （2）小宇这天的脂肪摄入量没有超标； 理由：由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份， ∴（g），即从这两款食品中摄入的脂肪量为， ∴（g），即小宇这天摄入的总脂肪量为， ∵初中生每日脂肪摄入量的标准为，而， ∴小宇这天的脂肪摄入量没有超标． 【解析】 【分析】（1）设小宇这天食用了A款高钙牛奶x份，B款豆谷营养包y份，根据题意列方程组求解即可； （2）由（1）可知小宇食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份，根据表格求出摄入脂肪的量，再加上从其它食品中摄入脂肪，比较即可． 【小问1详解】 解：设小宇这天食用了A款高钙牛奶份，B款豆谷营养包份， 由题意可得， 解得， 答：小宇这天食用了A款高钙牛奶2份，B款豆谷营养包1份； 【小问2详解】 略 22. 某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．以水池中心为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），点表示喷头，经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点离水平地面的垂直高度为，与点的水平距离为，之后落回水面上的点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求音乐喷泉水池的半径的长； （3）公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为米时，视觉效果最好．在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出与的函数关系式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意，设抛物线的表达式为，将代入该抛物线表达式，待定系数法求解析式，即可； （2）令，解方程，进而求得音乐喷泉的水池半径 （3）新最高点．设新抛物线的表达式为，把代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，抛物线的顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入该抛物线表达式，得， 解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得（舍）， 答：音乐喷泉的水池半径为； 【小问3详解】 解：∵新最高点． 故设新抛物线的表达式为， 将 代入得 解得． 23. 中，点分别在边上，交于点． （1）若． ①如图1，当是正方形时，求证：； ②如图2，中，，求的值； （2）如图3，当是菱形时，为的中点，，若，直接写出的值=___________． 【答案】（1）①见解析；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到即可证明； ②通过两次相似三角形得到对应的边成比例即可得到的比值； （2）延长交的延长线于点，过点作于点，先证明，再证明，然后证明，接下来进行分类，点G在点F的左侧或右侧，用勾股定理求解得出，进而求得，再解直角三角形得出的长，即可求解． 【小问1详解】 ①证明：四边形是正方形， ， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ； ②解：， ， ，即， 在与中， ， 在中，， ， 又， ， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴， ； 【小问2详解】 如图，延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点， 在菱形中，， ， 设， 则， ， ， ∵为的中点， ∴， 在与中，， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ，， 又， ， 即， ，(舍)， ， 设， 当点在点的左侧时，， 在中，， 在中，， ， 即，不符合题意，舍去； 当点在点的右侧时，， 在中，， 在中，， ， 即， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省初中学业水平考试试卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（ ） A. 我 B. 爱 C. 河 D. 南 3. 年月日（上映第天），沈腾主演的《飞驰人生》内地累计总票房为亿元人民币，数据亿用科学记数表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与相交于点，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 小亮家某月各种支出如图所示，如果小亮家该月服装费用为元，则小亮家该月支出教育费用为（ ） A. 350元 B. 1050元 C. 2100元 D. 2800元 7. 定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 8. 五一假期，丽丽一家人想去河南的一些具有人文历史的地方旅游，从“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”、“登封·少林寺”中任选两个地方，则选择“洛阳·老君山”、“开封·清明上河园”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形．若等边三角形的周长为12，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【跨学科·物理】 10. 在用焦距为的凸透镜探究凸透镜成像规律时，多次实验，记录凸透镜成实像时的物距、像距，算出物、像间距（即），绘出如图所示的图象（以为1个单位长度）．结合图象，下列说法错误的是（ ） A. 当时，先减小再增大 B. 当物距为时，像距为 C. 当时， D. 当物、像间距时，的取值范围是 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个与是同类项的式子：________． 12. 分式方程的解为_______． 13. 一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧掉，这根蜡烛点燃后剩下的长度（）与点燃时间（）之间的关系式是______（不要求写出自变量的取值范围）． 14. 如图，是的弦，点C在过点B的切线上，，交于点D．若，，则_________________． 15. 如图，矩形中，，点为上一点，连接，过点作交于点，连接．将沿翻折，使点落在点处，连接，当是以为腰的等腰三角形时，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算和化简 （1）； （2）． 17. “一分钟跳绳”是H市中考体育考试选考项目，某校为了解九年级男生“一分钟跳绳”训练状况，随机抽取了60名九年级男生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： ．成绩频数分布表： 成绩（个） 频数 8 17 12 3 ．成绩在这组的数据是（单位：个）： 170 170 170 170 171 172 172 173 173 174 174 174 根据以上信息，回答下列问题： （1）___________，这次测试成绩的中位数是___________个； （2）小明的“一分钟跳绳”测试成绩为172个，这60名九年级男生的平均成绩为个．所以小强评价说：“小明的成绩低于平均成绩，在抽取的60名男生的测试成绩中，至少有一半九年级男生成绩比小明高．”你认同小强的说法吗？请说明理由． 18. 如图，已知，点是上一点． （1）用无刻度直尺和圆规作图：交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的基础上，若点在边上（不与重合），且，求证：四边形是平行四边形． 19. 如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以 为邻边构造． （1）求反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）将向右平移个单位，使的中点落在反比例函数图象上，则_________． 20. 跳皮筋是学生时代的课间游戏，由两个人拉皮筋分别固定皮筋的两端，跳皮筋的人需要按照特定的节奏和动作，用脚勾、踩、跨过皮筋来完成跳跃，边跳还会边唱着童谣“小皮球，香蕉梨，马兰开花二十一……”．如图，拉皮筋的两人位置为、，跳皮筋孩子脚踩位置为点，点、、在地面同一直线上，此时橡皮筋离地面的高度米．（，垂直地面）若，．，最后结果保留到） （1）求拉皮筋的两个孩子之间的距离； （2）当脚把橡皮筋踩在地面上的点时，橡皮筋比原来拉长了多少米． 21. 2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题为“吃动平衡身心健康”，核心倡导“加奶、增豆、少油”．初中生小宇的妈妈为他准备了两款营养食品：A款：高钙牛奶；B款：豆谷营养包．每一份的营养成分如下表所示，某天，小宇从这两种食品中恰好摄入了1640能量和蛋白质． 营养成分 能量 蛋白质 脂肪 碳水化合物 钙 1份A款高钙牛奶 715 1份B款豆谷营养包 210 （1）小宇这天食用了A款高钙牛奶和B款豆谷营养包各多少份？ （2）初中生每日脂肪摄入量的标准为．若小宇这天已经从其他食品中摄入了63g脂肪，在他吃完这两款食品后，脂肪摄入量是否超标？请说明理由． 22. 某市新建了一个“水滴公园”，核心景观是一个智能化音乐喷泉（如图1）．喷泉的喷头位于圆形水池的中心点正上方处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且水流始终在同一竖直平面内．以水池中心为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系（轴在水面水平方向，轴竖直向上），点表示喷头，经测量，在某一固定音乐节奏下，喷出的水流最高点离水平地面的垂直高度为，与点的水平距离为，之后落回水面上的点． （1）求该抛物线的表达式； （2）求音乐喷泉水池的半径的长； （3）公园设计师认为，当水流落点距离中心恰好为米时，视觉效果最好．在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点的坐标为，请求出与的函数关系式． 23. 中，点分别在边上，交于点． （1）若． ①如图1，当是正方形时，求证：； ②如图2，中，，求的值； （2）如图3，当是菱形时，为的中点，，若，直接写出的值=___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $