精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区木里图学校二模数学试题

2025-2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出各个数的绝对值，再由，并结合绝对值的意义即可得出结果． 【详解】解：，，，，， 绝对值最大的是4， 距离原点最远的是4． 2. 榫卯结构作为中国传统木作工艺的精髓，贯穿了华夏建筑与家具制造的漫长历史，承载着深厚的文化与智慧．如图是该结构的一部分，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：主视图是从正面看得到的图形，则该结构的主视图如图： 3. 如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，从而可得，再结合对顶角相等即可得出结果． 【详解】解：如图，标记，及点． 由题意得， ． ，， ． 4. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 5. 已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】因为函数图象过点，所以将点坐标代入可得到与的关系式，用表示，因为一次函数不经过第二象限，所以可判断和的取值范围，结合上一步得到的、关系，进一步明确的正负性，将用表示，结合的正负性判断的符号． 【详解】解：图象经过点，代入解析式得， ，即， ， 当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，． 6. 如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（ ） A. 每立方米空气中含药量从上升到需要 B. 每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D. 每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出喷雾阶段函数解析式为，喷雾结束后函数解析式为，再结合反比例函数和一次函数的性质逐项分析即可得出结果． 【详解】解：设喷雾阶段函数解析式为， 由题意得， 解得， ∴此阶段函数解析式为； 设喷雾结束后函数解析式为， 由题意得， 解得， 此阶段函数解析式为； A、在喷雾阶段，当时，，当时，，共需要，故此选项不符合题意； B、每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是，故此选项符合题意； C、喷雾结束后，当时，，为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室，故此选项不符合题意； D、在喷雾阶段，当时，，在喷雾结束后，当时，，所以每立方米空气中含药量不低于的持续时间为，故此选项不符合题意． 7. 如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵和关于轴对称， 点与点Q关于x轴对称． 又点P的坐标是， 点Q的坐标是． 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方，由此即可得出结果． 【详解】解：观察图象得，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 即当或时，， 不等式的解集为或． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某类简单化合物前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第50种化合物的分子结构中有氢原子________个． 【答案】102 【解析】 【分析】观察图形得出规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个，由此计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意，可知第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 第4种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个， 则第50种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个． 10. 一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有_______个球． 【答案】10 【解析】 【分析】概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：设袋子中一共有x个球， 随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋子中一共有10个球． 11. 如图，某校组织了一次消防安全检查．检查人员从A点出发，途中经过B、C两个检查点，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点A作于点H，求出，再分别在、中，解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点H， 点B在点A的南偏东方向，点C在点A的北偏东方向， ． ，， ， ． 在中，， ， 在中，， ， ． 12. 如图，在 中，，D为中点，点E在线段上，且，连接，过点C作于点F，连接，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，则，求出，由勾股定理可得，由正切的定义可得，由等面积法求出，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ． D为中点， ． ， ． 在中，，． ， ． 在中，， ， ∴， ． 又， ， ， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方、零指数幂，再计算加减即可得出结果； （2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可得出结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 为营造民族团结进步的良好校园氛围，某校开展了民族团结知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图1和图2．请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图1中的m的值为_________； （2）扇形统计图中92分所占圆心角的度数是_________度； （3）若该校有540名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 【答案】（1）30；30 （2）108 （3）54人 【解析】 【分析】（1）利用得分为分的人数除以所占的比例即可得出抽取的样本人数，用得分为分的人数除以总人数即可得出的值； （2）利用乘以得分为分的人数所占的比例即可得出结果； （3）利用540乘以获得满分的学生人数所占的比例即可得出结果． 【小问1详解】 解：本次随机抽取的学生人数为（人）， ，即m的值是30． 【小问2详解】 解：依题意得， 扇形统计图中92分所占圆心角的度数是108度． 【小问3详解】 解：（人）． 答：估计其中获得满分的学生有54人． 15. 某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ （2）若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元 （2）共有7种购买方案 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组解决实际问题，找出数量关系，列出方程和不等式组是解题的关键． （1）设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据“买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元”列出方程，求解即可； （2）设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据“总费用不超过7800元，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍”列出不等式组，求解即可解答． 【小问1详解】 解：设甲种纪念品的单价是x元，则乙种纪念品的单价是元．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：甲种纪念品的单价是90元，乙种纪念品的单价是70元． 【小问2详解】 解：设购进甲种纪念品n件，则购进乙种纪念品件，根据题意，得 ， 解得， ∵n为正整数， ∴， ∴共有7种购买方案． 16. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若所对的圆心角度数为，求的度数； （3）过点作于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， 是的直径，点在圆上， ，即， ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角，证得，再结合等腰三角形三线合一，证； （2）由的圆心角求圆周角，再结合直角三角形两锐角互余，求； （3）先由勾股定理求，再用等面积法列方程，求的长度． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接， 所对的圆心角度数为， ， ， 由（1），得，即， ； 【小问3详解】 解：由（1），得，， ，， ， ， ， 于点， ， ． 17. 某隧道的截面由抛物线和矩形构成，若隧道宽度为，最高处离地面，矩形宽为．如图，现以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 【答案】（1） （2）货运汽车能安全通过隧道 （3） 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，由题意可得，把代入解析式计算即可得出结果； （2）由题意可得抛物线的顶点坐标为，求出货运汽车靠路面中心线行驶时，其另一侧与地面交点的横坐标为2或10，分别求出和时的值，比较即可得出结果； （3）令，则，解方程即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵隧道宽度为，最高处离地面， 设抛物线的表达式为． 矩形宽为， 抛物线经过点， 把代入， ， ， ， 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可得抛物线的顶点坐标为， 一辆货运汽车载一长方体集装箱后的宽为，隧道内设双向车道， 货运汽车靠路面中心线行驶时，或，则其另一侧与地面交点的横坐标为2或10， 当时，， 当时，， 这辆货运汽车能安全通过． 【小问3详解】 解：由（1）可知， 令，则， 解得，， 则， 两排灯的水平距离最小是． 18. 已知在四边形中，，． 【问题背景】 （1）如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 （2）如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 【答案】（1） （2）．证明如下： 如图，延长到点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ，， （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知角度关系推出，结合、公共斜边，利用证明两个直角三角形全等，进而得到； （2） 采用截长补短作辅助线，构造全等三角形，先证，再证，通过线段等量代换，推导出； （3） 构造全等三角形，先证，再证，结合四边形内角和与角度转化，推导出与的数量关系． 【小问1详解】 解：，， ， ，都是直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 如图，延长到点，使得，连接， ，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题核心为截长补短构造全等的经典几何模型，通过两次全等完成线段、角度的转化，同时结合四边形内角和进行角度推导，需灵活运用模型变式解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 在数轴上表示下列各数，其中距离原点最远的是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 榫卯结构作为中国传统木作工艺的精髓，贯穿了华夏建筑与家具制造的漫长历史，承载着深厚的文化与智慧．如图是该结构的一部分，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某同学将一块含角的直角三角板叠放在直尺上，则（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（ ） A. 大于0 B. 小于0 C. 等于0 D. 无法判断 6. 如图，为筑牢流感预防安全屏障，学校对教室进行喷雾消毒，已知喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例，喷雾完成后y与x成反比例．当每立方米空气中含药量低于时，对人体无毒害作用，则下列说法中错误的是（ ） A. 每立方米空气中含药量从上升到需要 B. 每立方米空气中含药量下降过程中，y与x的函数关系式是 C. 为了确保对人体无毒害作用，消毒开始后学生才能进入教室 D. 每立方米空气中含药量不低于的持续时间为 7. 如图，和关于轴对称．若内点的坐标是，则点在中的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 一次函数与二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 某类简单化合物前4种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，按照这一规律，第50种化合物的分子结构中有氢原子________个． 10. 一个袋子中有若干个白球和2个黄球，它们除颜色外都相同，随机从中摸一个球，恰好摸到白球的概率是，则袋子中一共有_______个球． 11. 如图，某校组织了一次消防安全检查．检查人员从A点出发，途中经过B、C两个检查点，行进路线为，点B在点A的南偏东方向处，点C在点A的北偏东方向，，则检查点B和C之间的距离是_______． 12. 如图，在 中，，D为中点，点E在线段上，且，连接，过点C作于点F，连接，则的长为_______． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算与化简： （1）计算：； （2）化简：． 14. 为营造民族团结进步的良好校园氛围，某校开展了民族团结知识答题活动．为了解答题活动的得分情况（满分100分），随机抽取了部分参加答题活动的学生的成绩，并用得到的数据绘制了统计图1和图2．请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）抽取的样本人数是_________，图1中的m的值为_________； （2）扇形统计图中92分所占圆心角的度数是_________度； （3）若该校有540名学生参加了本次答题活动，估计其中获得满分的学生人数． 15. 某景点为满足游客购物需求，计划采购甲、乙两种纪念品、经过了解：甲种纪念品的单价比乙种纪念品的单价多20元，买1件甲种纪念品和2件乙种纪念品共用230元． （1）求甲、乙两种纪念品的单价分别是多少？ （2）若该景点需购进甲、乙两种纪念品共100件，总费用不超过7800元，根据游客需求，购进乙种纪念品的数量低于甲种纪念品数量的2倍，问共有几种购买方案？ 16. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点． （1）求证：； （2）若所对的圆心角度数为，求的度数； （3）过点作于点，若，，求的长． 17. 某隧道的截面由抛物线和矩形构成，若隧道宽度为，最高处离地面，矩形宽为．如图，现以O为原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为，宽为，如果隧道内设双向车道，那么这辆货运汽车能否安全通过？ （3）在抛物线的拱壁上需要安装两排路灯，使路灯离地面的高度相同，如果灯离地面的高度不超过，那么两排灯的水平距离最小是多少？ 18. 已知在四边形中，，． 【问题背景】 （1）如图1，连接，若，，求的长； 【类比探究】 （2）如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明； 【拓展应用】 （3）如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $