精品解析：2026年内蒙古自治区通辽市科尔沁区第七中学二模数学试题

2025−2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 年月日，内蒙古自治区多地启动冰雪文旅活动，冰雪赛车、不冻河漂流、泡“极寒温泉”等特色活动吸引国内外游客的同时，也开启了内蒙古的全域“燃冬”模式，点燃了冰雪激情．如图，这是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“燃”字相对面上的字是（ ） A. 冰 B. 雪 C. 激 D. 情 3. 如图，，直线分别与，交于点，，平分，交于点．若，则的度数是（ ） A B. C. D. 4. ☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离城距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. 乙车比甲车晚出发小时 B. 乙车的速度为 C. 乙车出发后，追上了甲车 D. 当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 6. 如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 呼和浩特市某景点成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 10. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 11. 有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为______米． 12. 如图，在中，，，，点在边上运动且不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交边于点，则的最大值为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 14. 在体育事业蓬勃发展的时代浪潮中，内蒙古自治区积极响应全民健康号召，不断探索体育项目的推广路径．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“篮球”对应扇形的圆心角为________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 15. 内蒙古是一个充满草原风情的地方，许多特色奶制品深受大家喜爱，比如香浓的呼伦贝尔奶茶、醇厚的锡林郭勒奶嚼口等．两位游客在草原上的蒙古包中品尝特色奶制品，经询问得知，碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元；碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元． （1）呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口的销售单价各是多少元？ （2）若购买呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口（两种都要）刚好花费元，问有哪几种购买方案？ 16. 如图，在中，，，在上取点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若点恰好是的中点，求扇形的面积； （3）若长为，求的半径． 17. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 18. 如图，已知在菱形中，，点是射线上一动点（不与点，重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接． （1）若点在边上，且，过点作，交于点． 证明：①；②； （2）若菱形的边长为，当为等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025−2026学年九年级下学期中考二模 数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分，考试时间90分钟． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：实数的相反数是． 2. 年月日，内蒙古自治区多地启动冰雪文旅活动，冰雪赛车、不冻河漂流、泡“极寒温泉”等特色活动吸引国内外游客的同时，也开启了内蒙古的全域“燃冬”模式，点燃了冰雪激情．如图，这是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“燃”字相对面上的字是（ ） A. 冰 B. 雪 C. 激 D. 情 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答． 【详解】解：“燃”字相对面上的字是“激”． 3. 如图，，直线分别与，交于点，，平分，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ ∵平分， ∴ ∴ 4. ☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． 5. 甲、乙两车从城出发前往城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离城的距离与行驶时间的函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）． A. 乙车比甲车晚出发小时 B. 乙车的速度为 C. 乙车出发后，追上了甲车 D. 当乙车到达B城时，甲、乙两车相距 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图像读取甲、乙两车出发时间、行驶路程与用时，求出甲、乙两车速度，写出两车距离城路程关于时间的函数解析式，逐一验证四个选项对错． 【详解】解：甲车从时刻出发，乙车从时刻出发， 乙车比甲车晚出发2小时，A错误； 总路程， 甲车：全程用时，， 乙车：出发，到达，用时，， 乙车速度是，B错误； 设：甲车解析式： 乙车，设，代入： ， ， ， 追上时： ， ， ， 乙出发时间：，即乙出发追上甲车，不是，C错误； 乙车到达B城，此时甲车行驶： ， 乙在300km处，两车相距：，D正确． 6. 如图，是反比例函数的图象，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象分布在二、四象限可得，求出的取值范围进而即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在二、四象限， ∴， ∴， 观察只有选项B的数值符合要求， ∴的值可以是5． 7. 剪纸艺术是古老的中国民间艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的对称美．如图，蝴蝶剪纸是一个轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于轴对称的两点坐标规律：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此列二元一次方程组求出、的值，再代入计算． 【详解】解：点与点关于轴对称， 根据关于轴对称的坐标特征： ， 整理方程组： ， 得：， 把代入②：， 解得， ， ． 8. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 呼和浩特市某景点的成人票价是每张元，儿童票价是每张元．某旅行团有名成人和名儿童，则该旅行团应付门票费用总和为________元． 【答案】 【解析】 【分析】利用“总价单价数量”，分别求出成人总票价、儿童总票价，再相加得到门票总费用． 【详解】解：成人票单价30元，一共名成人， 成人门票费用：元； 儿童票单价18元，一共名儿童， 儿童门票费用：元； 总费用成人费用儿童费用， 应付门票费用总和为：元． 10. 在一个不透明的袋子中，有除颜色外完全相同的个白球和若干个红球．通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在，由此可估计袋中红球的个数为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复试验后，频率的稳定值可以作为事件发生概率的估计值，根据题意得到等量关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球的个数为，则袋中总球数为， 摸到红球的频率稳定在， 摸到红球的概率估计值为， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 可估计袋中红球的个数为． 11. 有一斜坡的坡度i=12∶5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为______米． 【答案】2.6 【解析】 【分析】本题主要考查了对坡度的理解，坡度通常定义为垂直高度与水平距离的比值． 题目中给出的坡度i=12∶5，表示垂直高度与水平距离的比例为，已知最高点到地面的距离为2.4米，需先求出水平距离，再利用勾股定理求斜边长． 【详解】设水平距离为米，斜边长为米， 根据题意可得：， ， ． 故答案是2.6． 12. 如图，在中，，，，点在边上运动且不与点、重合，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交边于点，则的最大值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过点作，在直角三角形中，求出，．由旋转的性质可得是等边三角形．若有最大值，则有最小值，由垂线段最短可知，当时，有最小值，此时点和点重合，再结合锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点作， ，， 是等腰直角三角形， ，， ， 在中，， ， 线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， 是等边三角形， ， 是定值， 若有最大值，则有最小值， 由垂线段最短可知，当时，有最小值，如图， ， ， ，即点和点重合， ， 在中，， ． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算、化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零指数幂，二次根式除法，最后计算加减法即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分即可得到答案． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 在体育事业蓬勃发展的时代浪潮中，内蒙古自治区积极响应全民健康号召，不断探索体育项目的推广路径．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“篮球”对应扇形的圆心角为________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱足球运动的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）估计该校最喜爱足球运动的学生有人 【解析】 【分析】（1）根据排球的人数和占比求得样本的容量，进而求得的值； （2）根据总人数求得最喜爱篮球的人数，即可补全条形统计图 （3）根据最喜爱篮球的人数的占比乘以，即可求解； （4）根据样本估计总体，用乘以最喜爱足球运动的学生的占比，即可求解． 【小问1详解】 解：样本容量为， ，故． 【小问2详解】 最喜爱篮球的人数为，图略 【小问3详解】 扇形统计图中，“篮球”对应扇形的圆心角为． 【小问4详解】 （人）， 答：估计该校最喜爱足球运动的学生有人． 15. 内蒙古是一个充满草原风情的地方，许多特色奶制品深受大家喜爱，比如香浓的呼伦贝尔奶茶、醇厚的锡林郭勒奶嚼口等．两位游客在草原上的蒙古包中品尝特色奶制品，经询问得知，碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元；碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元． （1）呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口的销售单价各是多少元？ （2）若购买呼伦贝尔奶茶和锡林郭勒奶嚼口（两种都要）刚好花费元，问有哪几种购买方案？ 【答案】（1）呼伦贝尔奶茶的销售单价为元，锡林郭勒奶嚼口的销售单价为元 （2）一共有两种购买方案：方案一，购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份；方案二，购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份． 【解析】 【分析】（1）设呼伦贝尔奶茶的销售单价为元，锡林郭勒奶嚼口的销售单价是元，根据碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元；碗呼伦贝尔奶茶和份锡林郭勒奶嚼口共需元，建立方程组求解即可； （2）设购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份，根据一共花费120元建立方程，并求出方程的正整数解即可得到答案． 【小问1详解】 解：设呼伦贝尔奶茶的销售单价为元，锡林郭勒奶嚼口的销售单价为元， 由题意，得， 解得． 答：呼伦贝尔奶茶的销售单价为元，锡林郭勒奶嚼口的销售单价为元． 【小问2详解】 解：设购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份， 由题意，得， ． ，都是正整数， 是正整数， 当时，； 当时，． 一共有两种购买方案：方案一，购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份；方案二，购买呼伦贝尔奶茶碗，购买锡林郭勒奶嚼口份． 16. 如图，在中，，，在上取点，以为圆心，长为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，． （1）求证：平分； （2）若点恰好是的中点，求扇形的面积； （3）若的长为，求的半径． 【答案】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ， ， ， ． ， ， ， 平分． （2） （3）的半径为或 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得出，结合已知可得得出，根据得出，即可得出，从而得证； （2）连接，，，证明为等边三角形，得出，根据得出，进而可得为等边三角形，则，再根据扇形面积公式进行计算即可求解； （3）连接，过点作于点，则，则四边形为矩形，设的半径为，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，，， ，点是的中点， ． 在中， ， ， 为等边三角形， ． ， ． ， 为等边三角形， ， ． 【小问3详解】 如图，连接，过点作于点，则， ，， 四边形为矩形， ． 设的半径为，则，， ， ． ， ． ， ， ，即， 解得或． 的半径为或． 17. 某居民小区要在一块一边靠墙（墙长米）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另外三边用总长为米的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）满足条件的花园面积能否达到平方米？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； （3）当是多少时，矩形花园面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）； （2）当时，满足条件的花园面积能达到平方米 （3）当时，最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】（1）根据矩形周长、面积公式列二次函数，结合墙长限制求自变量范围； （2）把代入解方程并检验取值； （3）配方法求二次函数在定义域内的最值． 【小问1详解】 解：米，三边栅栏总长为米， 米． ，即． 墙长米， ， 解得． 【小问2详解】 解：令，则， 整理，得， 解得或． ， ， 当时，满足条件的花园面积能达到平方米． 【小问3详解】 解：将化为顶点式为， ， 当时，最大，最大面积是平方米． 18. 如图，已知在菱形中，，点是射线上一动点（不与点，重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接． （1）若点在边上，且，过点作，交于点． 证明：①；②； （2）若菱形的边长为，当为等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明：①四边形是菱形， ，． ， ， ． ②四边形是菱形， ， ，， ． ， ． 由①，可知， ， ， ． （2）的长为或 【解析】 【分析】（1）①根据证明可得结论；②证明，即可证明结论； （2）分两种情况：①，过点作于，则，然后证明为等腰直角三角形，那么，然后利用勾股定理求得，，最后求得；②当时，可证明，然后利用勾股定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况进行讨论： 如图，当时，过点作于点，则， 四边形是菱形，，， ， ， ． ，， ， 为等腰直角三角形， ． ，， ， ， ． 如图，当时， ，四边形是菱形， ，． ， ． ，，， ， ． ， ， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $