重庆市第八中学校2025-2026学年高一下学期数学学科训练6

重庆八中高2028级高一（下)数学学科训练6 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1.已知复数z满足z(1+i)=2,则z￥ A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 2.己知向量a,i满足a+=1,a-=5,则a-i= A B. 3 3.已鬼集台4-回gs受如，B{5 则AnB= {司c{。{} 4.己知P为空间中一点，m,n,I为互不相同的直线，a,B,Y为互不相同的平 面，则下列推理中正确的是 Al⊥m,l⊥n,mca,nca→l⊥aBP∈a,P∈B→a∩B=P C.a⊥y,B⊥Y,a∩B=l→1⊥r D.l∥m,，ml∥x→l∥a 5.在△4BC中，角4B,C所对的边分别为ab,c若c=2b=2,A=120°，A的角平分线 交BC于D,则AD= B号 C.1 D.2 6,在锐角△MBC中，角么B,C所对的边分别为a,c,若-1+cos4 b cosB 则sinA+sinB的 取值范围是 /2+1V5+1 A2,2 B.（W2+1W3+1 D.(（N5+1,2+2） 7.如图，圆台的上、下底面半径分别为，2，且25+？=12，半 径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面 积为 A.36元 B.64π C.100π D.144π 器®日生性 8.已知平面内有单位圆0，点P是不与点O重合的一点，若圆0上存在不重合的两点 AB使得O=2P7+P阳，则P可的取值范围为 B别 c D.[1,2) 二、多项选择题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知i为虚数单位，z为复数，则下列命题中正确的是 A.i+2+i的+i=0 B.若z=a+bi(a、b∈R),则z=√b2是z为纯虚数的充要条件 C.z.=22 D.若z=2,则z+的最大值为3 10.已知f创-2动(c+9叭(aeZ,0≤0<2网是偶函数，f在区间0写引单澜递 增、则下列说法中正确的是 A0=月 B.0-经c4=1或4-2 1.如图，在直角梯形ABCD中，AB1DC,∠DCB=90,DC=BC=号AB=2,取 AB中点E,将△BCE沿EC翻折至△B'CE,则下列说法中正确的是 A.在翻折的过程中，AD与平面△B'CE始终平行 B.在翻折的过程中，BD与DE始终不垂直 C若二面角B'-CB-D的大小为60°，则异面直线B℃与AB所成角的余弦值为 D.记四面体B-ECD的外接球为球O(O为球心)，P是球O上一动点，则当直线 A0与直线AP所成角最大时，四面体P-ABC体积的最大值为W 15 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12三知正四棱台ABCD-AB'CD的体积为14，若AB=2,AB=3,则该正四棱台 BCD-A'B'CD'的高为 2 鬻田行三 13.已知a,石是非零向量，6=L2),且知a与6的夹角为号，若a1(a+列，则a 在)方向上的投影向量的坐标为 14.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球0的球面上，PA=PB=PC,△ABC是边长为2 的正三角形，E,F分别是PA,AB的中点，∠CEF=90°，则球0的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)已知函数f()=os(2x+p)0≤p<,f0)=2 (1)求p; (2)设函数8)=)+x-君 求g(x)的值域和单调区间 16.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE, AE⊥DE,CD⊥AD」 (1)求证：CD⊥AB: (2)若DE=2,BE=1,AE=V2,CD=25.求直线AD与平面 ABC所成角的正弦值. 17.(I5分)在△MBC中，已知cmsB=}cosu+C+油46mC=1. (1)证明：△ABC为钝角三角形； (2)若△MBC的面积为5，求△MBC的周长. 4 3 褐巴全王 18.(17分)在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形；BC=3, 2BF=ED=AB=4FB∥ED,ED⊥平面ABCD, (I)求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值； (2)求二面角B-AC-F的正切值： (3)求三棱锥F-ACE的体积. 19.(17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标。设P为多面体「的一个项点，·定 义多面体「在点P处的离散曲率为 ,=1-2六(@P%+∠gPg++2P0+0P2),其钟 2(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体厂的所有与点P相邻的点，且平面P22,平面22P9,…, 平面2，P2,平面QP2为多面体T的所有以P为公共点的面.己知平面多边形ABCDE 的外接圆圆心O为AD与BE的交点，如图①，且AB=AE=√2CD=2,将△EAD沿AD 翻折到△PAD如图②，连接PB,PC E B 图① 图② (1)求四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和； (2）已知直线PB与直线CD所成角的余弦值为 ①求四棱锥P-ABCD在顶点A处的离散曲率； ②设为线段PD上的动点（不包括端点），OA与平面ABCD所成角为a,二面角 2-C-D的平面角为A,其中a,Bc0引，求m(a-a)的最大值 4 器国m性重庆八中高2028级高一（下)数学学科训练6参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 A D A C B AD BCD ABD 5.B【解析】由SAABC=SADc+SAADB, 即2×1x2×sin120°=2×1×AD×si血60°+2×2×ADxsin60,解得AD=名放选：B 1 3 6.C【解析】依题意，由正弦定理可得sin4_1+c0sA ,sin Acos B=sin B+sin Bcos A: sin B cosB 所以sin Acos B-sin B cos A=sin(A-B)=sinB, 又因为△ABC为锐角三角形，所以A-B=B,即A=2B, 又0°<A=2B<90°，且0°<C=180°-A-B=180°-3B<90°， 可得30°<B<45°，sinA+sinB=sin2B+sinB,令fB=sin2B+sinB 由于y=sin2B在 64 上单调递增，y=sinB在 64 上单调递增， 所以f(B)=sin2B+sinB在 〔到上单湖造，则日目即 5+1<f®<5，+2，所以sin4+sinB的取值范围为 5+1V2+2 故选C. 2 22 7.C【解析】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： N 所以圆台的母线长1=AB=CD=片+2，MN=2×4=8】 由勾股定理CD2=DH2+HC2得：(5+2)2=82+(G-2)2,化简得5=16① 又25+5=12,5=12-2r代入①得：5(12-25)=16,52-6r+8=0,解得1=2或1=4. 若方=2时，则5=12-2×2=8,1=5+5=10，所以圆台的侧面积 S=π(+2)1=π×10×10=100元： 这是sin0能取到的最大值，此时0（线线角）最大， 在△AE0中，AE=2,E0=√2，∠AE0=∠AEC=135°，由余弦定理可得 ot-4A8+0-2Ae,0osBs-2i+同j-2a59}-n 所以OA=V0,当0最大时，球心O到直线AP的距离等于半径R=√2， 其中S,c=号AE.CEsin135°=2 h是P到底面AED(翻折不动的原平面)的最大距离， P 1 此时四面体P-AEC的体积V=7S,ABch, 3 90 过点P作P№⊥AO于点2，则P即为h, 由勾股定理得AP=√A02-0P2=2√2，则 h= AP.PO 210 ，代入体积公式得-×2x204 -×2×1 5=15 ,D正确。故选：ABD AO 5 2.9 2 【解析】正四棱台的上下底面均为正方形，因此下底面面积S=AB2=2=4,上底面面积 S,=AB”=32=9,设正四棱台的高为h,根据棱台体积公式 ys++5网49+o=14,A号 13.←寻之.【解折】6=，2，则6作F+区=5， 把二棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， 其直径为D=VP+PB+nC-t+Pa+PB+Pc+Pm+PC） -58+6c+6C四-e+2+2西=6.半位为5，则球0的体积为号×9=6 15【解折】1)由题意/(0)=c0s0=(0≤p<列，所以口-背 1 2》由)网知/闭=o2+.所仅g(e)-/创r/-君引=eo2r+写}es2x 2 cos2r-B in2s-conx) 2 所以函数8(x)的值域为-√5，V5], 2m≤2x+2ke乙，解得m≤r+机keZ。 6 12 令π+2m≤2x+元s2π+2k,k∈Z,解得+km≤x<T+ka,keZ. 6 12 12 所以函数(x)的单调递减区间为 kt, 5π 12 +km,k∈Z, 12 函数g(x)的单调递增区间为 16.【解析】(I)如图：AE⊥CE,AE⊥DE,CE∩DE=E.CEc平面BCD,DEc平面BCD, ·AEL平面BCD,CDc平面BCD,·AE⊥CD, 又CD⊥AD,AE∩AD=A,AEc平面ABD,ADc平面ABD,·CD⊥平面ABD, ABc平面ABD,·CD⊥AB. (2)由(I)知AE⊥平面BCD,CD⊥平面ABD. =反.5ao×25x3=35,在△8C中，易知4C=32,8C=B=5。 所以4C+=2,剧4CLB,所以5ex5x3万-3 2 1 设D到平面ABC的距离为h,由等休积法知V。-Ac=V4Bn, h-S2g0AE=2,直线AD与平面4BC所成角的正张值Sim0=办=子=6 S△ABC wV 直线AD与平面ABC所成角的正弦值V6】 3 17.【解析】（1)在△ABC中，A+B+C=π，cos(A+C)=-cosB, cos (+C)+sin Asin C=1,sin Asin C=1-cos2 B=sinB= c0sB=sin Asin C-osAeosC,解得cosAcosC{5<0, 116 故A,C中有一个是钝角，即△ABC为钝角三角形. 2)8 ndaosin5c8ac2,由⑩sin AsinC=sin,acf28 1 由余弦定理，b2=a2+c2-2 ac cos B,得a2+c2=5,a+c=√a2+c2+2ac=3, 所以△ABC的周长为3+√2 18.【解析】(1)取ED的中点为G,连接GB,FB∥ED,2BF=ED, .四边形BFEG是平行四边形，.EFI1GB, 又，ED⊥平面ABCD,所以∠GBD就是直线EF与底面ABCD所成角. 又，底面ABCD为矩形BC=3,AB=4, ∴.BD=5,GD=2,.在直角△GBD中， B GB-2瓦.：血<G0-房-2直线即与意面ACD所成箱的E改做为2西 29 (2)设二面角B-AC-F的大小为C 因为ED⊥平面ABCD,FB∥ED,所以FB⊥平面ABCD. 过B作BM⊥AC,垂足为M,连接FM, E 所以∠FMB就是二面角B-AC-F的平面角， 即∠FMB=a,在直角△ABC中，AB=4,BC=3,所以AC=5, 12 所以BM=5,ana= BF 5 BM 6 5 所以二面角B-AC-F的正切值为 6 B (3)把多面体补成如图长方体 则%k=药#-cum-m-m-囹e 14+2×4 '长方体=4×3×4=48，VE-Gm= ×3=12, 3 2 2+434=2,m-写合x43k4=8, B VE-MFCI= 3 2 4小2=4，所以-4-12-12-84i2 19.【解析】(1)因为△PAB,△PBC,△PCD,△PAD内角和均为兀，四边形ABCD内角和为 2π，则四棱锥P-ABCD在各顶点处的离散曲率和为 2p+0+0B+0c+0n=5-2πx4+2π)=2 (2)①过点B作BF/ICD交AD于F,连接PF, 则∠PBF即为直线PB与直线CD所成角或其补角， 因AB=AE=√2CD=2,平面多边形ABCDE的外接圆圆心O为AD与 BE的交点， 则圆O的直径BE=2√2，连接OC,则易得等边三角形OCD,故有∠ADC=60°， 所以OP=0B=,∠0FB=∠OP=60,所以PF=BF=5=26 sin60°3 在△PBF中，因cOS∠PBF=2 PB6,解P8=525=2, BF 4 23 即AP=AB=PB,可得：∠PAB= 则聘，=1-PaD+BAD+∠PM=1-六经x2+9-7 7 2π 2π4 即四棱锥P-ABCD在项点A处的离散曲率为 7 ②因为OP⊥AD,OB⊥AD,所以∠POB为二面角P-AD-B的平面角， 因为OP+OB?=PB?,所以∠POB=C,则平面PAD⊥平面ABCD. 过作QG⊥AD于G,过G作GH⊥AC于H,连接OH, 因QGC平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,故QG⊥平面ABCD, 因ACC平面ABCD,则QG⊥AC, 又OG∩GH=G,QG,GHc平面QGH,则AC⊥平面QGH, 因QHc平面QGH,则AC⊥QH,故∠OAG为QA与平面ABCD所成角， ∠QHG为二面角Q-AC-D的平面角，则∠QAG=a&,∠QHG=B, 因为tana= G tanB=0G QG G所所以 tana GH =sin ZDAC= 、tan B AG 则得tamB=2ana,因0<a<牙，则0<ama<1, 1 1 一故amUB-anaa+2a。+2a 2W5, tan a 当且仅当ana=2 ，tamB=V2时，等号成立. 则an(B-a☒)的最大值为 4