重庆市第八中学校2025-2026学年高一下学期数学学科训练4

重庆八中高2028级高一（下)数学学科训练4 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在年小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.已知复数z=i-2026,则复数z的虚部为（) A.i B.-1 C.1 D.-i 2。已知单位向量6,5满足后，6-子则五-5在：上的投影狗量为() A.号日 B.a c知 D.a 3.在复平面内，复数的虚部为3，复数2满足条件2-1+2=1，则2-的最小值 为() A.0 B.4 c.5 D.6 4.已知向量m=(a-1,a-5),i=(-l,a-2),则“a=-1”是“m/1m”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5,人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方 法.假设二维空间中有两个点A(:,),B(x,y2),O为坐标原点，定义余弦相似度 为cos(A,B)=cos<OA,OB>(其中<OA,OB>为向量OA,OB的夹角)，余弦距离 为1-co(么.已知(o.ina),M0,，小若M,N的余弦距离为号，则n受-2a）- () A器 c品 D. 25 6.△ABC内角4B,C的对边分别为a,b,c,满足2a2-3b2+c2)=bc,且cos42- 4,则 sinB为() A. B. 2 C. D. 7.已知△ABC,AM=3AB,A=3AC,点P是四边形BCNM内（含边界）的一点， 若亚=xAB+yAC(x,y∈R),则(x+1)2+0y+1)的最大值与最小值之差为（) A.12 B.9 c. D号 8.在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的外接圆半径为R, 若△ABC的面积S=8R'sin BsinC,则2的取值范围为() A(层引 B.(目+ c层 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知复数，z2,则下列结论正确的是() A.1 B.名12=名22 z21z2 C.若=2l,则z=z攻 D.若z+号=0，则名=23=0 10.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是() A若而-西+c,则 B.若 AB AC BC=0,则△ABC为等腰三角形 C.若AD=入 AB AC (2∈R),则点D的轨迹经过△ABC的内心. AB sin B ACsinC D.若DA.DB=DB.DC=DC.DA,则D为△ABC的垂心 11.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2 bsinC.则（) A.△ABC的面积为女 1 11 B.. anB*tanC=2 65 C.若c=√5b,则tanC=√2+1 D.名+片的取值范围为 c b 5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数z=3-1,则复数 13.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由 卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花.图2中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的 圆心为该正六边形的中心，圆O的半径为2，MN为圆O的直径，点P在正六边形的边 上运动，则PM.PN的取值范围为 图2 14.已知平面向量、6、c满足：ā与6的夹角为锐角.同=4,5=2，同=3，且5+ 的最小值为5，向量-却(e-列的最大值是一 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证 15.(本小题满分13分) 设a是实数，复数名=1-2i,2=(a+01-2i0(i是虚数单位). (1)若z2在复平面内对应的点在第二象限，求a的取值范围： (2)求|云+z2的最小值. 16.(本小题满分15分) 在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c, (sin A+sin B)(sin A-sin B)=sin C(sin B+sin C). (1)求角A的大小： (2)若D为BC上一点，且AD为∠A的角平分线，4b+c=27,求AD的最大值. 3 17.(本小题满分15分) 松江方塔，又称兴圣教寺塔，是上海地区现存最古老的砖木结构古塔之一，承载着深厚 的历史文化底蕴.如图，某同学在测量塔高AB时，选取与塔底在同一水平面内的两个测 量基点C和D.测得∠BCD=a,∠B0C=P,在点C测得塔顶4仰角为0，已知血a=手 osB=,tan0=00,且CD=s6米 100 (1)求sin∠CBD; (2)求塔高AB(结果保留整数). D 18.(本小题满分17分) “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点.对于每个给定的三角形，都 存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，使 ∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.已知△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,b,c,acosC+√5 asinC-b-c=0,a=2,点P是△ABC的“费马点”. (1)求角A: (2)若PA.PB+PB.PC+PC.PA=-1,求△ABC的周长； (3)若AC⊥BC,IPA+|PB=|PCl,求实数的值. 19.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c· (1)已知sin4=cow2B-cos2 ,求∠C: sin A-sin B (2)若△ABC是锐角三角形，∠C为(I)中所求，H为△ABC的垂心，且CH=3, 求5CH-但的取值范围： BH (3)若b=5a,令1= sin B ,试求1的最大值. 3cosA+√3cosB重庆八中高2028级高一（下）数学练习(4) 参考谷案与试题解析 题号 4 6 10 11 答案 C B AB ABD ACD 1.【解答】解：由cz=1-i506i2=计1，故虚部为1，故选：C 2.【解答】解：由题意，问=-1ā6=子 3,则a-b在a上的投影向量为 恒-}aa=8-a6a--}a= ,故选：A 3.【解答】解：由复数2的虚部为3，可知复数z,对应的点在直线y=3上，又复数z,满足条件 1z2-1+2=1，即1z2-Q-2)=1,得复数z,表示的点在以C1,-2)为圆心， 半径为1的圆上.如图：而12-云日0Z,-0ZHZ,乙，HZ,Z2I,其几何意义 为直线y=3上的点到圆(x-1)2+(y+2)2=1的点的距离.当点C,Z2,Z,共 线（亿2在C,Z,之间）且CZ,与直线y=3垂直时距离最小，可得最小值为 1z2-名lm=3-(-2)-1=4.故选：B. 4.【解答】解：当m/m时，满足(a-1(a-2)+1×(a-5)=0,即(a-3)(a+1)=0, 解得a=3或a=-1,所以必要性不成立：当a=-1时，向量m=(-2,6),元=(-1，-3)，则m=2n, 即m/1m,故充分性成立：所以“a=-1”是“m/1”的充分不必要条件.故选：A. 5.【解答】解：因为M(cosa,sina),N(0,1),所以OM=(cosa,sina),O=(0,1),所以 1-cos(M,N)=1-cos<OM,ON>=1-- 孤-血a}放a子所以 IOMIONI s写-2a)=6os2a=1-2sa=1-2x=号放选：C 6.【解答】解：a2=b2+c2-2 bccosA,又r2a2-3(62+c2)=bc, ∴.2(b2+c2-2 bccos A)-3b2+c2)=bc,整理得：(1+4cosA)bc+(b2+c2)=0, cos4=-6+Cbc,6r+6≥2bc,eosA=+ccs2c-e=-2,当且仅当 4bc 4bc 4bc 4 b=c时等号成立，又：co42-寻co4=-号4bB=C=2血8=血， 3 3 2 2 即8-c号7w-是-是2m登1，帮得：o号-车，n8-号做选：8。 24 7.【解答】解：如图，过点P作EF11BC交AM,AN于点E,F,设4E=t,所以正=1B, AB AF=tAC,因为点P在四边形BCNM内部，且AM=3AB, AN=3AC,所以te[1,3],因为E,P,F三点共线，所 以AP=AE+1-)AF=t几AB+I-)AC=xAB+yAC, 所以下=几 =-'且x,ye0,小，所以x+y=, M ,3],所以c+P+0+1P=c+P+e+1-=22-2a++2+1=20-分+写+2+2， 所以当 时，+旷+0+1：当成x0时，a+++妙L7,员 t=1 t=3 ++0+的最大位与最小值之差为17-号=空.故选：C 8.【解答】解：由正弦定理得sinB=b 血C=京，所以5-号血85血C=c,又三角形面 5 积公或5=，可知A导，所以加A-学又0cA<受，所以m 2 亏，由正弦定 理得1=-sinB_sin[r-(M+C】-sin(A+C c sinCsinC sinC sinAcosC+cosAsinC sinA 4 +cosA= +,在锐角aABC中，有0<”-A<C<,因 sinC tanC 5tanC 5 2 sin 3 为正切西数y=amx在(0引上单调递撞，所以mc>径A 飞A cos4_互-3 cos sinA 44 2 5 从而<= 4 34.35 十 .故选：A 5 5tanC 5 3+5 5× 2 9.【解答】解：对于A,因为1色日色=凸三-，选项A正确：对于B,设3=a+, 22 222|32l22||z21 z2=c+di,a、b、c、d∈R,则z'z2=(a+bi(c+d=(ac-bd)-(ad+bc)i, 名，3=(a-bi(-d=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以z2=1·z2,选项B正确：对于C,当a=1+i, 2=1-i,则|名日z2但z2=2i,z22=-2i,z2≠z2,选项C错误.对于D,乙1=1+i,2=1-i 时，Z2+z2=2i+(-2)=0,但z≠z2≠0，选项D错误.故选：AB, 10.【解答】解：A,过点D作DEIIAC,DF11AB,分别交AB,AC于点E,F,则四边形AEDF为 平行四边形，SoE=Soe,AD=AE+AF,因为 而-而+4c,故正=，=4c,即 D AB=3A正，AC=2AF,不妨设SoE=S4oF=1,故 S。BD=3S.ADe=3L,S。AcD=2S。Aoe=2t,因为DF11AB,F A E B 为AC的中点，所以D到AB的距离为C到AB的距离的 所以54ac=25o=61,则S.m=S.c-S40m-540=6t-21-3=1, 1 则='=1， AB AC ，A正确：B, 该向量为AB,AC方向上的单位向量之和，位于∠BAC SACD 2t2 A Ac 的平分线上，又 AB AC BC=0,即∠BAC的角平分线与BC垂直，则△ABC为等腰三角形， B正确：C,过点A作AW⊥BC,垂足为N,设BC的中点为M,则 AB AC AB AC 丽+正_，则 AB sin B ACsinc ANAN AB AC AD=入 _2(aeR),则么，D,M三点共线，点D的轨迹经过aABC的 4BsinB ACsinc AN 重心，C错误：D,DADB=DB·DC,则(DA-DC)·DB=CADB=0,则AC⊥BD,同理可得 AB⊥CD,BC⊥AD,则D为△ABC的垂心，D正确， 1.【解答】对于A,由a=2nc,所以S-obsi血C-》 6·6年，故A正确：对于B,由 a=2 bsinC,可得sinA=2 sin BsinC,所以 1 +1=osB+0sC-s如BcosC+cossinC_sin(B+C-,sm4=2,故B错误：对 tanB'tanC sinB sinC sin Bsin C sinBsinC sin BsinC 于C,c2=a2+b2-2 abcosC,又c=√56，a=2 bsinC,所以3b2=4b2sin2C+b2-4b2 sinCcosC, 即4sin2C-4 sinCcosC-2=0,所以21-cos2C)-2sin2C-2=0,即sin2C=-cos2C,所以 an2C=-1,即2anC=-1,所以am2C-2tanC-1=0,由C为锐角知tamC>0,故解得 1-tan2C tanC=1+反，故c正确：对于D,因为a=2 bsinC,所以bsinC=9=BC,作M⊥BC于M, 22 过A作EFIIBC,且EB=AM=FC=号，如图所以A点的轨迹为线段EF(不包含端点及中点， 2 否则三角形为直角三角形，不符合题意)，由图形可知 +a2 5,且+1， +a2 2 B M 令1名、515且1，则7-4+片在]上单调瑞减在轧列上单调造境，又当1 时，y=2,当1=5或5时，y=5+5_65,所以2<y<65,即9+的取值范围为 5 5 5 故D正确。 12.【解答】根据题意，‘=，1=0-①-1+3 z3+i9+110'10 13.【解答】解：由题可知，OM=2,所以PM.P=(PO+OM)·(P而+O)=(PO+OM)(PO-OM) =P62-OM=PO2-4:由图可知，当点P为正六边形各边的中点时，PO1取得最小值，即 西L=×4=25:当点P位于正六边形8CDEF的某个顶点时，IPO取得最大值4，所以 1P而[2√5,4]，从而PM.Pm[8,12].故答案为：[8,12]. 14.【解答】=4，=2，则5+a=+2a.6+121=162+2ā-+4，由5+最小值为5， 且由二次西数分折可知，当=-语味，5÷时取得最小值，所以5+风。- 16 16 +4=3 解得a5=4,又与5的夹角为锐角，则后5=4，此时1=-所以5+-+6-25， 设0-侵a+6,又=3，所(e-e-)--{合a+e+6-1-65cos0,因 cos8e-l,故c-0e-6)=1l+65. 15.【解答】解：（1)已知z2=(a+01-2)=a+2+1-2a)i,若z2在复平面内对应的点在第二象 限，则a+2<0,解得a<2,则a的取值范围是（∞，-2）： (2)由z1=1-2i,得云=1+2i,则云+z2=a+3+(3-2a)i,所以 1月5上a+6-2四.6-6a8=+受25，即1g+1的最小值为25 5 16,【解答】解：（1)因为(sinA+sinB)(sinA-sinB)=sinC(sinB+sinC),由正弦定理得 G+ba-b)=cb+9,即e2+B-e2=bc,所以cosA=护+g-2-》又Ae0网，所 2bc (2)因为∠BAD=∠CMD-∠BAC-号因为5c=Sum+So·所以 2 n行-分00油号0：05，即加=0e+,所以D= +6’又46+c=27, 即-2-0所以06号9，所以0-架7-绍智1=9-6，则6=9-4 则e29,所以0=9-0X4-9-15-+5-号29=3，当且仅当=，甲：=号 31 3 时，等号成立，所以AD的最大值为3 .【解答1据，1在△BC0中，因为csB-音所以血月=吕则血>如a,所以C>0, 5 4531256 所以6>a,又sina,所以cosa=,则sin∠CBD=sim(a+m3 一X 5 51351365 56× 12 (2)在△BCD中，因为BC= CD ,所以BC= CDsin B 13=60米， sinB sin∠CBD sin∠CBD 56 的 则RL△ABC中，AB=BCan0=60x72≈47米，所以塔高AB为47米. 100 18.【解答】解：（1)根据acosC+√3 asinC-b-c=0,结合正弦定理得 sin AcosC+√5 sinAsinC-sinB-sinC=0,因为△ABC中， sin B=sin(+C)=sin AcosC+cos AsinC,3 sin Asin C-cos Asin C-sinC=0, 结合血C*0,化简得5恤4-c0s4=1,可得24-爱=1，即(4-爱-克所以4-若-若， 62 可得A=行： (2)设1P顶xP丽卡yPc2,可得顶.历=yc0s120°=-，丽.c=zcos120=之2， P元及=g6cs120=,结合风-丽+丽.元+元.风=-l,可得-+g+a)=-l, 所以y+z+x2=2, 由Sw+8ne+8xc=及ac可得9sn12p+分gs油12oP+方as血120=方cs如号， 2 g+z+)号bcsn-Bbc,解得6c=2,由余弦定理得a2=62+c2-2bcos 4 a2=(b+c)2-3bc,可得则4=(b+c)2-3×2,解得b+c=V0,所以△ABC的周长 a+b+c=2+√10： （3)不妨设|PA=mPC|,IPB=n|PC1，,IPC=x,则m+n=·由余弦定理得： 14a=m+r2-2mm2cos120=r0m2++m-90, 14cf=+m2-2 o120=r0+m+m）=分…@，Bcf=0+n+=4…国，因为 AB AC+BC,x2(m2+n2+mn)=x2(m2+m+1)+x2(n2+n+1),m+n+2=mn, 6 则n+2。由回国，生十g=，则30+m+m)=+n+1，即 m-1 0+m+m-子+导+1-@+2+m2%-*a-业.D， m-1 (m-1)2 (m-102 结合m2+m+1≠0，可得(m-1)2=1,解得m=2,n=4,所以元=m+n=6. 19.【解答】解：(1)因为cos2B=1-sin2B,cos2C=1-sin2C,所以 sin2A-sin Asin B=sin2C-sin2B,由正弦定理，得a2-ab=c2-b2,即c2=a2+b2-ab,由余弦 定理，得cosC=02b之-i}因为Ce0m,所似cs, 3 (2)延长AH交BC于E,延长BH交AC于F,设∠BCH=B,B∈(0，)，所以∠ACH=F-日， 3 在Rt△CEH中，EH=CH sin6=3sinB,在△CFB中，∠FCB=T, ∠BrC=,所以∠FBC=, 2 6 在Rt△BEH中，BH= EH=6sin0,同理可得在R:△AFH中， sin 6 MH=2FPH=6sin写-)，所以 BCH-AH 3-6sin(-0)-cos0+sing BH 6sine 2sin =50-cos)+1_ 2W5in2 2 +片5m片，固为0a0导，所以号=0爱，所以 -tan- 2sin0 日22 22 2 一号5.所以9号，即BC的率值瓶里为吃0： tan- 2 3 2 BH (3)由余弦定理，可得cosA=+c-·=2a+c,所以m4=1-casA=1-2a+c,由 2bc 2√5ac 12a2c2 b=5a,可得sinB=V5sinA,所以1=，sinB sin'A 3cos A+3 cos B 3sin Acos A+sin Acos B sin'A _sinA-已sinA,故 sin BcosA+sinAcos B sinC c F-0-m0-g2w心-g心+白g-旷s安所以：s安当且仅当 c2 12a2c243c 0==时等号成立，即4=C=名B=智时，e分 1 7