黑龙江哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二下学期第四次测试数学试题

**基本信息** 以统计与概率、导数应用为核心，通过科技公司团队组建、零件加工工时等真实情境，考查数据意识、模型观念与逻辑推理，适配高二下学期阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|回归方程、函数极值、排列组合|基础概念辨析，如第4题线性回归预测| |多选题|3|正态分布、导数切线、条件概率|多维度能力考查，如第10题导数几何意义与最值| |填空题|3|二项式系数、函数零点、抽奖概率|情境化应用，如第14题盲盒抽奖概率计算| |解答题|5|线性回归、独立性检验、概率分布、导数不等式|综合探究，如第18题分组与概率分布列，第19题导数与不等式证明|

高二下学期第四次数学测试 一、单选题 1．若随机变量，之间存在回归方程，则（） A．，正相关 B．，负相关 C．一定有样本点 D．一定没有样本点 2．若函数的极大值为1，则函数的极小值为 A． B． C． D． 3．某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 4．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了多次试验，得到了试验数据的线性回归方程为，其中x（单位：个）表示加工零件的个数，y（单位：小时）表示加工零件所花费的时间，又已知试验数据的样本中心点为，估计加工1500个零件所花费的时间为（   ） A．540小时 B．542小时 C．548小时 D．600小时 5．的展开式中的系数为160，则（   ） A．-2 B． C． D．2 6．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为6”，事件“三次抽到的号码都是2”，则 A． B． C． D． 7．已知数据、、、的平均数，方差为．设，数据、、、的方差为，数据、、、、、、、的方差为，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 8．已知直线与函数的图象相切，若，则实数的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知随机变量，均服从正态分布，它们的密度函数曲线大致如图所示，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是. B．曲线在处的切线方程为 C．若过点至少可以作曲线的三条切线，则 D．若点是曲线上的动点，则点到直线距离的最小值为 11．景区在春节期间推出两种游玩套餐，已知某游客第一次选择两种游玩套餐的概率分别为和，若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为；若该游客第一次选择套餐，则第二次选择套餐的概率为，则下列说法正确的是（   ） A．该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐的概率为 B．该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小 C．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 D．若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为 三、填空题 12．在的展开式中项的系数为__________ 13．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是________. 14．某商场为回馈顾客举行抽奖活动，规则如下：消费每满元可参与抽奖一次，每次可随机抽取盲盒一个，每个盲盒内有一个小球，颜色是黑色、白色或灰色中的一种，且抽中每种颜色的概率都相等，集齐三种颜色的小球即可获得一个高压锅奖品．小陈共消费了元，则他能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为_______． 四、解答题 15．一个车间为了规定工时定额需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下： 实验顺序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 零件（个） 60 70 80 90 100 加工时间（分钟） 95 104 108 116 122 （1） 求出y关于x的线性回归方程， 参考公式如下： （2）关于加工零件的个数及加工时间由（1）问你能得出什么结论？ 16．已知函数． 当时，求函数的单调区间； 若对任意恒成立，求a的取值范围． 17．为研究某校高三年级学生的身高是否与性别有关，现从学生群体中，随机测量了50名学生的身高，然后按“身高低于170cm”与“身高不低于170cm”分成两组，统计整理各组人数如下列联表（单位：人）． 性别 身高 合计 低于170cm 不低于170cm 男 8 24 32 女 12 6 18 合计 20 30 50 (1)依据的独立性检验，能否认为该学校高三年级学生的身高与性别有关联？ (2)若从男生样本和女生样本中各选取一人，求两名学生身高不在同一组的概率． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18．某学校田径队有甲、乙等8名运动员，现将这8人平均分成两组进行集训．每天训练前，两组分别从本组队员中随机选出一人担任组长． (1)求甲、乙两人同在组的概率； (2)求甲在三天内至少担任一次组长的概率； (3)记为连续两天中至少担任一次组长的人数，求的概率分布列和数学期望． 19．已知（） (1)设函数,讨论函数的单调性； (2)当,时,证明：. (3)当时,,求实数a的取值范围. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年6月14日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C B D A C D ABC ABD 题号 11 答案 BCD 1．A 【详解】回归方程为，回归斜率，故，为正相关，A正确，B错误. 将代入回归方程，. 回归直线仅过样本中心点，不一定经过任意单个样本点，无法确定是否存在样本点，故C，D错误. 2．A 【详解】试题分析：,由得，又因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以函数在处取得极大值，且，即，函数在处取得极小值，且，故选A. 考点：导数与函数的极值. 3．C 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 4．B 【详解】将样本中心点代入线性回归方程，得，解得， 所以线性回归方程为，当时，. 所以估计加工1500个零件所花费的时间为542小时. 5．D 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，则可得展开式中的系数为，所以，解得. 6．A 【详解】试题分析：由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式. 考点：条件概率的计算. 7．C 【分析】利用方差的性质可判断A选项；求得，代入代数式可判断B选项；利用方差公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，根据方差的性质可得，A对； 对于B选项，根据平均数的性质可得， 所以，B对； 对于C选项，由平均数的性质可知， 数据、、、的平均数为， 所以数据、、、、、、、的平均数为， ，所以， ，C错； 对于D选项， ，D对. 8．D 【分析】求导，根据导数的几何意义可得，由题意得，根据函数单调性计算可解. 【详解】由，设切点， 则切线方程为：， 所以， 因为，所以，解得 显然，在单调递增， 所以，时，. 9．ABC 【详解】对A：因为，所以，故A正确； 对B：，所以，又，所以，故B正确； 对C：因为， ， 所以，故C正确； 对D：根据正态分布的概念可知，故D错误. 10．ABD 【分析】对函数求导得出单调性可求得其值域，利用导函数几何意义可求得在处的切线方程，设出切点坐标并根据切线条数构造函数，结合函数图象交点个数可求得，将距离最小值转化为平行直线与曲线相切问题即可. 【详解】由函数可得， 令可得，当时，，当时，， 因此可知在上单调递增，在上单调递减； 所以在处取得极大值，也是最大值，又， 因此函数的值域是，即A正确； 易知，又，所以切线方程为，即，因此B正确； 设过点作切线的切点为， 则斜率为，切线方程为， 代入点坐标整理可得， 令，则， 由可得或， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因此在处取得极小值，在处取得极大值， 且时，，时，， 因为过点至少可以作曲线的三条切线，所以与函数的图象有三个交点，因此，即C错误； 设与直线平行的切线的切点为， 因为直线斜率为1，所以， 即，又因为函数在上单调递增，可得，即切点为， 因此点到直线距离的最小值即为到该直线距离， 即，所以D正确. 11．BCD 【分析】设相应事件，利用全概率公式求，即可判断B，结合条件概率公式判断ACD. 【详解】设该游客第一次选择套餐为事件，第二次选择套餐为事件， 则，，且，， 可得，. 对于选项A：该游客第一次选择套餐，第二次也选择套餐为事件， 其概率为，故A错误； 对于选项B：因为， 即，所以该游客第一次选择套餐的概率比第二次选择套餐的概率小，故B正确； 对于选项C：因为， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故C正确； 对于选项D：因为，则， 所以若该游客第二次选择套餐，则他第一次选择套餐的概率为，故D正确. 12（改编题不显示解析）．20 13． 【分析】由函数零点的定义，结合单调性可得，构造函数，求出直线与函数的图象有两个公共点的范围. 【详解】函数，令， 则，显然函数在R上单调递增，而， 由，得，于是，即，令， 依题意，函数有两个不同零点，即方程有两个不等的正根， 亦即直线与函数的图象有两个公共点，由，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 因此，且，当时，恒成立， 从而当时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14． 【分析】这道题的解题核心是先确定抽奖次数，再用对立事件与补集思想简化计算：先算出小陈可参与次抽奖，再计算次抽奖的总结果数，接着通过 “减去只抽到种或种颜色的情况”，间接得到集齐三种颜色的结果数，最后求出对应概率． 【详解】因为，所以小陈可以参与4次抽奖， 因为每次抽奖种颜色（黑、白、灰），次抽奖的总结果数为， 而次抽奖只抽到种颜色的结果数为， 次抽奖只抽到种颜色的结果数为， 所以小陈能参与抽奖活动从而获得高压锅奖品的概率为． 15．（改编题不显示解析） (1)0.66x+56.2（2）由回归直线方程可知，说明加工零件个数x与加工时间y呈正线性相关， 零件数每增加一个，加工时间平均增加0.66min 16．（1）函数的单调增区间为，单调减区间为；（2） 【分析】当时，求函数的单调区间；求的导数，利用导数研究函数在的单调性，然后讨论a的取值，从而确定的最值，即可确定实数a的取值范围 【详解】由，则． 由，得；由，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为； 由，则． 当时，对，有， 所以函数在区间上单调递增， 又，即对恒成立． 当时，由，单调递增区间为，单调递减区间为， 若对任意恒成立，只需， 令，， 即在区间上单调递减，又， 故在上恒成立， 故当时，满足的a不存在． 综上所述，a的取值范围是． 【点睛】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查导数在研究函数的单调性和最值中的应用，考查恒成立问题的解决方法．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数． 17．(1)可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． (2) 【分析】（1）计算卡方，即可与临界值比较求解. （2）根据全概率公式即可求解. 【详解】（1）， 依据的独立性检验，可以认为该学校高三年级学生的性别与身高有关联． （2）从男生样本和女生样本中各选取一人，则两名学生身高不在同一组的概率 18．(1). (2) (3) 2 3 4 数学期望 【分析】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法,甲、乙两人同在组有种不同方法，利用古典概型公式求解即可； （2）甲每天担任组长的概率为，利用对立事件的概率公式即可求解； （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4，分别求出对应的概率，结合期望公式即可求解. 【详解】（1）8名运动员分成两组共有种不同方法． 记事件为“甲、乙两人同在组”，则事件共有种不同方法， 所以． （2）甲每天担任组长的概率为，记事件为“甲在三天内至少担任一次组长”， 则， （3）根据题意可得的可能取值为2，3，4， 第一天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 第二天选组长： 组从人中选人有种， 组从人中选人种，总选法为种， 的含义：两天的组长完全相同，即 组两天选同一个人， 组两天也选同一个人， 所以 的含义：组两天选同一人，组两天选不同的人或组两天选同一人，组两天选不同的人， 所以 的含义：两天的组长完全不重复，总人数为 4，即 组两天选不同的人， 组两天也选不同的人， 所以 所以的分布列为 2 3 4 19．(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)分和两种情况讨论的正负，结合导数与原函数的单调性求解即可； （2）将问题转化为证明恒成立，，利用导数研究的单调性和最值即可证明结论； （3）分和两种情况讨论，当，将问题转化为恒成立，然后分、、三种情况利用导数研究的单调性和最值即可求解. 【详解】（1）由题意，，定义域为求导得： ， 当时，恒成立，因此在上单调递增， 当时，当 时，，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，， 当时，，故， 所以要证， 即证明：， 即证 即证， 令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，取得最大值， 因此对任意，，即，原不等式得证. （3）原不等式 ， 当时，当时，， 所以，不合题意； 当时， 原不等式 ， 设， 则， 令， ， ， 当时，，所以在单调递减， 所以，所以在单调递增，，不合题意； 当时，，所以，所以在单调递增， 所以，所以在单调递减，； 当时，令，得，所以， 所以在单调递减，所以， 所以在单调递增，，不合题意； 综上，实数a的取值范围为. 答案第10页，共10页 答案第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $