黑龙江哈尔滨市五常市雅臣中学校2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试卷

参考答案 单选1．D2．A3．D4．C5．B.6．A7．B8．A 多选9答案：BD10．答案：ACD11．答案：CD 三填空12．答案：13．答案：114．答案： 四解答题15答案：（1）（2）证明见解析 解析：（1），.由已知得解得 （2）证明：设，则，令得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以，所以. 16答案：（1）156个（2）108个（3）284个 解析：（1）符合要求的四位偶数可分为两类. 第一类,0在个位时有个; 第二类,2或4在个位时,首位从1,3,4（或2）,5中选（有种情况）,十位和百位从余下的数字中选（有种情况）,于是有个. 由分类加法计数原理知,共有四位偶数（个）. （2）符合要求的数可分为两类:第一类:0在个位时有个; 第二类:5在个位时有个.故满足条件的四位数共有（个）. （3）符合要求的比1230大的四位数可分为四类: 第一类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共有个; 第二类:形如13□□,14□□,15□□,共有个;第三类:形如124□,125□,共有个; 第四类:形如123□,共有个.由分类加法计数原理知, 无重复数字且比1230大的四位数共有（个）. 17答案：(1)最大值为17，最小值为1；(2) 解析：（1）时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； （2），在上单调递增， 故在上恒成立，即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数a的取值范围为. 18．答案：(1)极大值为,极小值为(2) 解析：(1),,. 因为在处取得极值,所以,则. 所以,, 令得或1,列表得 x 1 + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以的极大值为,极小值为. (2). ①当时,,在上单调递增,的最小值,满足题意； ②当时,令,则或,在上单调递减,在上单调递增, 此时,的最小值为,不满足题意； ③当时,在上单调递减,的最小值为,不满足题意. 综上可知,实数a的取值范围时. 19.解　(1)f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a. ①当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，f(x)在R上单调递增，无极值. ②当a＞0时，令f′(x)＞0，得x＞ln a；令f′(x)＜0，得x＜ln a，所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减；在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)在x＝ln a处取极小值f(ln a)＝a(1－ln a)，无极大值. 综上所知，当a≤0时，f(x)无极值；当a＞0时，f(x)有极小值a(1－ln a)，无极大值. (2)因为F(x)＝ex＋sin x－bx－1(x∈R)，所以F′(x)＝ex＋cos x－b， 令g(x)＝F′(x)＝ex＋cos x－b，则g′(x)＝ex－sin x. ①当x≤－π时，由1≤b＜2，得－bx≥bπ≥π，所以F(x)≥ex＋sin x＋π－1＞π－1－1＞0， 故F(x)在(－∞，－π]上无零点. ②当x∈[0，＋∞)时，g′(x)＝ex－sin x≥1－sin x≥0，F′(x)在[0，＋∞)上单调递增； F′(x)≥F′(0)＝2－b＞0，F(x)在[0，＋∞)上单调递增，F(x)≥F(0)＝0， 所以F(x)在[0，＋∞)上有唯一零点x＝0. ③当x∈(－π，0)时，sin x＜0，g′(x)＝ex－sin x＞0， 所以F′(x)在(－π，0)上单调递增，F′(0)＝2－b＞0，F′(－π)＝e－π－b－1＜0， 所以存在t∈(－π，0)，使F′(t)＝0，当x∈(－π，t)时，F(x)单调递减； 当x∈(t，0)时，F(x)单调递增，又因为F(－π)＝e－π＋bπ－1＞0，F(t)＜F(0)＝0， 所以F(x)在(－π，t)上有唯一零点，在(t，0)上无零点， 即F(x)在(－π，0)上有1个零点. 综上，当1≤b＜2时，函数F(x)有2个零点 学科网（北京）股份有限公司 $ 五常市雅臣中学校高二第一次月考试卷（数学） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知函数的导函数是,且满足,则等于( ) A.1 B.-1 C.e D. 2．有2位老师和3名学生排成一队照相，老师不能分开，则不同的排法有(      ) A.48种 B.12种 C.36种 D.24种 3．函数的极值点为( ) A.. B.0 C. D 4．已知函数在定义域内可导,其图象如图所示.记的导函数为,则不等式的解集为(      ) A.. B. C D. 5．若函数是区间上单调函数,则实数m的值一定不是(      ) A. B. C.3 D.4 6．今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有 A.210种 B.162种 C.720种 D.840种 7．如图,一个地区分为4个区域,现给该地区着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有3种颜色可供选择,则不同的着色方法共有(      )种 A B C D A.12 B.18 C.24 D.30 8．已知定义域为R的函数的导函数为，且满足，若，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。） 9．已知函数,则下列结论正确的是(      ) A.有两个极值点 B.的极小值为 C.在上单调递减 D.函数无零点 10．下列说法正确的是(      ) A.将5封信投入3个邮筒,不同的投法共有种 B.有三张参观券,要在5人中确定3人去参观,不同方法的种数是60 C.从6男4女中选4人参加比赛,若4人中必须有男有女,则共有194种选法 D.甲、乙、丙、丁四人排成一排,则甲、乙两人不相邻共有12种排法 11．对于函数,下列说法中正确的是( ) A.存在有极大值也有最大值 B.有三个零点 C.当时,恒成立 D.当时,有3个不相等的实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．计算的值为______.（用数字作答） 13．若直线与曲线相切，则______. 14．若函数有两个零点,则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知函数，的图象在点处的切线方程为. （1）求a，b的值； （2）当时，求证：. 16．本小题分 用0,1,2,3,4,5这六个数字,能组成多少个符合下列条件数字?（运算结果以数字作答） （1）无重复数字的四位偶数; （2）无重复数字且为5的倍数的四位数; （3）无重复数字且比1230大的四位数. 17本小题分． 已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数a的取值范围. 18.本小题分． 已知函数. (1)若在处取得极值,求的单调区间； (2)若在上的最小值为,求a的取值范围. 19.本小题分 已知函数f(x)＝ex－ax，a∈R. (1)求f(x)的极值； (2)令F(x)＝f(x)＋ax＋sin x－bx－1，当1≤b＜2时，讨论F(x)零点的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $