精品解析：黑龙江大庆实验中学2025-2026学年高二下学期6月阶段考试数学试题

大庆实验中学2025—2026学年度下学期高二年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 设命题：任一实数的平方都不大于0，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】设命题：任一实数的平方都不大于0，则命题的否定是：，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集定义计算即可. 【详解】已知集合的元素是， 集合的元素是，则. 3. 若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，进而求出，换元法即可求出函数的最值. 【详解】设函数，由题意，故， 于是，则， 令，则，且， 故的最值可转化为函数的最值， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值3. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由可知正态分布曲线的对称轴为， 故由对称性可知，， ，因此. 5. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 6. 将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【详解】已知A、B必须在同一组，视为一个整体， 已知每组至少2人，则其余4人中可选0，1，2人加入A、B组，对应组合数为， 已知两组所在地点不同，共有2种选择， 故总的分配方案为：种． 7. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，根据函数单调性可得，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由，可知定义域为， 又， 即， 则， 所以， ， 因为在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递减，故在定义域内单调递增， 因为在定义域内单调递增，在定义域内单调递增， 由复合函数单调性可知，在定义域内单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，正实数，满足，， 若，则，不满足， 所以， 因为，所以可变形为, 又函数在上单调递增，故， 即，所以， 则，当且仅当时，取等号， 即的最小值为，故选项C正确. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 又， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，当，时，原式取得最小值. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分． 9. 下列命题中，错误的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量~，若方差，则 C. 若相关系数的值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率公式判断A的真假；根据二项分布的有关计算判断B的真假；根据线性相关系数的定义判断C的真假；根据线性回归方程必过样本中心点求，判断D的真假. 【详解】对A： ，所以相互独立，故A正确； 对B：因为，所以或， 当时，; 当时，，故B错误； 对C：由线性相关系数的定义可知相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，C错误； 对D：因为线性回归方程必过样本中心点，所以，故D错误. 10. 下列各式正确的有（ ） A. 已知，，则 B. C. 设，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数运算律结合换底公式计算判断A，D，应用指数运算律计算判断B，C. 【详解】因为，，则，A选项正确； ，B选项错误； 设，则，C选项正确； ，D选项正确； 11. 已知函数（m，），若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，设的两个根为，得到，再由，由求解. 【详解】令， 所以， 设的两个根为，则，即， 所以， 因为，，且， 所以，则，解得， 则，由韦达定理得，则， 即， 又， 所以， 则，解得， 又，即，即， 解得或，综上：. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】函数的图象关于直线对称，则函数的图象关于直线对称 故是定义在上的偶函数， 已知对任意，， 令,可得，解得， 故，即是一个周期为8的周期函数； ，， ． 13. 已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 【答案】240 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质及所有项的系数和求出，再求出展开式中项系数. 【详解】因为（）的展开式中第4项的二项式系数最大，所以可能为或, 又因为所有项的系数和为1， 令，得，则为偶数，所以,, 则有展开式的通项为， 令，解得，故展开式中的系数为. 14. 若存在实数，使得函数在区间上单调递减，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据，去绝对值符号化简，根据对勾函数的性质，判断的单调性，根据题意建立之间的等式关系，将消掉后化简可得，代入到方程组中可建立与和与的等式关系，通过移项变形，将两式形式化为统一，构造函数画出图象，列出不等式解出即可. 【详解】解：因为， 因为，所以，，所以， 取，根据对勾函数性质可知： 在上，单调递减，在上，单调递增， 所以在上，单调递增，在上，单调递减， 因为区间上单调递减，所以， 因为区间上单调递减，所以， 即，即， 即，化简可得， 因为，所以，代入中， 化简可得：， 当时方程组不成立，所以方程组可化为， 即在上与有两个不同交点， 因为，当时，， 当时，，当时，， 画出及的图象如下所示： 由图可知只需即可，即， 即，即. 故答案为： 【点睛】思路点睛：该题考查函数的综合问题，属于中难题，关于对勾函数的思路有： （1）定义域：，奇偶性：奇函数； （2）单调性：，单调递增，，单调递减； （3）最值：在上有最大值，无最小值，在上有最小值，无最大值； （4）渐近线：轴和. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【小问1详解】 因为命题为真命题，所以，解得 所以实数的取值范围是． 【小问2详解】 令，， 因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，解得， 综上所述，存在符合条件的实数，且实数的取值范围是． 16. 在疫情的特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取50名进行调查．知道其中有30人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图： （1）用样本频率估计概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关” 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） （2）能，高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关 【解析】 【分析】（1）根据等高图，应用古典概型的概率求法求概率即可； （2）由题意完善列联表，再求出卡方值，结合独立检验基本思想得到结论. 【小问1详解】 从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时， 但考试成绩超过120分的人数为人， ∴其概率为； 【小问2详解】 依题意，得列联表： 数学成绩 在线学习时长 分 分 合计 小时 18 12 30 小时 5 15 20 合计 23 27 50 零假设：高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长无关， ， ∴根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关，而且犯错误的概率不超过0.05． 17. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了200名学生调查了他们本次期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 80 40 120 不经常整理错题 40 40 80 合计 120 80 200 在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈． （1）用表示抽取的人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这名学生中恰有名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率． 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 ， （2） 【解析】 【小问1详解】 在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取10名学生， 根据的比例，可知这10名学生中有6人是“经常整理错题”，有4人是“不经常整理错题” 再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，用表示抽取的3人中经常整理错题的人数， 则的可能取值有0，1，2，3， 即，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则， ； 【小问2详解】 设“这3名学生中含有经常整理错题的有1人”，“这3名学生中含有经常整理错题的有2人”，“这3名学生中含有经常整理错题的有3人”，“这3名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀” 则，， ，， 根据全概率公式可得： 所以抽取的这3名学生中恰有1名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率为． 18. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图， 并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； （2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 【答案】（1） （2）当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值 【解析】 【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出、的值，即可得出关于的回归方程； （2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值． 【小问1详解】 令，则y关于u的线性回归方程为， 由题意可得， ， 则， 所以，y关于x的回归方程为. 【小问2详解】 由可得， 年利润， 当时，年利润M取得最大值，此时， 所以，当年技术创新投入为40千万元时，年利润的预报值取最大值 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学有A，B，C三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天就餐时选择A，B，C三个餐厅的概率分别为，，，若他在A餐厅就餐，则下一天在A，B餐厅就餐的概率均为；若他在B餐厅就餐，则下一天在A，C餐厅就餐的概率分别为，；若他在C餐厅就餐，则他下一天到A，B餐厅就餐的概率均为． （1）求小丁同学第2天在B餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第n（）天在B餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前n（）天到B餐厅就餐的天数为，求数学期望．（设为第天是否在B餐厅就餐，表示在，表示不在，则） 【答案】（1）； （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）事件第二天在B餐厅就餐包含了第一天在A第二天在B，第一天在C第二天在B两个随机事件，利用概率的乘法公式进行计算即可． （2）根据第天去餐厅情况，利用全概率公式和乘法公式计算第天去B餐厅的概率，由递推式通过构造等比数列得到第n（）天在B餐厅就餐的概率． （3）根据所给出的公式以及（2）中得到的概率，利用所给公式计算即可． 【小问1详解】 设“第i天去A餐厅用餐”，“第i天去B餐厅用餐”， “第i天去C餐厅用餐”， 则，，两两互斥，，2，…，n， 由题意可得，，，， ，，， ，，， 所以 ； 【小问2详解】 记第（）天他去A，B，C餐厅用餐的概率分别为，，， 则，，， 由全概率公式可得 故①， 同理可得②， ③，④， 由①②可得⑤ 由④-⑤可得，即， 且， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 即，所以； 【小问3详解】 设为第天是否在B餐厅就餐，表示在，表示不在； 则，且；由（2）知； 故，， ， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆实验中学2025—2026学年度下学期高二年级阶段考试 数学试题 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求． 1. 设命题：任一实数的平方都不大于0，则命题的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数的图象经过点，则函数的最小值为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.6 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.35 5. 已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 将A、B、C、D、E、F六名志愿者分配到两个不同的地点开展工作，要求A、B必须在同一组，且每组至少两人，则不同的分配方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 7. 已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，至少有一个符合题目要求，每道题全对得6分，部分选对得2分或3分． 9. 下列命题中，错误的命题是（ ） A. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 B. 随机变量~，若方差，则 C. 若相关系数的值越大，则两个变量的线性相关性越强 D. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是4 10. 下列各式正确的有（ ） A. 已知，，则 B. C. 设，则 D. 11. 已知函数（m，），若非空集合，，且，则下列说法中正确的是（ ） A. 的取值与有关 B. 为定值 C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分．把答案填在答题卡的相应位置． 12. 已知是定义在上的函数，若对任意，都有，且函数的图象关于直线对称，，则_____． 13. 已知（）的展开式中第4项的二项式系数最大，且所有项的系数和为1，则展开式中的系数为_____． 14. 若存在实数，使得函数在区间上单调递减，且在区间上的取值范围为，则的取值范围为__________. 四、解答题：本大题共5小题，其中15题满分13分，16、17题满分15分，18、19题满分17，共70分．把答案填在答题卡的相应位置． 15. 已知命题：“关于的方程有一正根一负根”为真命题． （1）求实数的取值范围； （2）命题：，是否存在实数使得是的充分不必要条件，若存在，求出实数的取值范围：若不存在，说明理由． 16. 在疫情的特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习．复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取50名进行调查．知道其中有30人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图： （1）用样本频率估计概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率； （2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关” 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 为了研究学生数学成绩与整理数学错题是否有关，某课题组在某中学生中随机抽取了200名学生调查了他们本次期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，将所得数据整理如下表： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 经常整理错题 80 40 120 不经常整理错题 40 40 80 合计 120 80 200 在该中学生中按“经常整理错题”与“不经常整理错题”用等比例分层抽样随机抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈． （1）用表示抽取的人中经常整理错题的人数，求的分布列和数学期望及方差； （2）求抽取的这名学生中恰有名学生经常整理错题且数学成绩优秀的概率． 18. 2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划（2021-2035年）》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展，加快建设汽车强国.同时为了推广新能源替代传统非绿色能源，除了财政补贴、税收优惠等激励性政策外，可间接通过前期技术研发支持等政策引导能源发展方向.某企业多年前就开始进行新能源汽车方面的研发，现对近10年的年技术创新投入和每件产品成本（，2，3，…，10）的数据进行分析，得到如下散点图， 并计算得：，，，，. （1）根据散点图可知，可用函数模型拟合y与x的关系，试建立y关于x的回归方程； （2）已知该产品的年销售额m（单位：千万元）与每件产品成本y的关系为.该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本10千万元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入x为何值时，年利润的预报值最大?（注：年利润年销售额年投入成本） 参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，. 19. 大学吸引广大学子，不仅仅靠知识的海洋，还有美味的餐厅．已知某大学有A，B，C三个餐厅，小丁同学每天都在学校餐厅就餐，已知小丁第1天就餐时选择A，B，C三个餐厅的概率分别为，，，若他在A餐厅就餐，则下一天在A，B餐厅就餐的概率均为；若他在B餐厅就餐，则下一天在A，C餐厅就餐的概率分别为，；若他在C餐厅就餐，则他下一天到A，B餐厅就餐的概率均为． （1）求小丁同学第2天在B餐厅就餐的概率； （2）求小丁同学第n（）天在B餐厅就餐的概率； （3）若小丁同学前n（）天到B餐厅就餐的天数为，求数学期望．（设为第天是否在B餐厅就餐，表示在，表示不在，则） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $