2026年江苏省苏州市新区实验集团中考数学考前预测卷

**基本信息** 2026年中考数学预测卷以科创品牌、赵爽弦图、太阳能安装等情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础题、综合题、创新题梯度设计，考查抽象能力、推理意识和模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、中心对称图形、科学记数法等|以科创品牌图标考图形变换，体现数学眼光| |填空题|8/24|因式分解、概率、几何变换等|赵爽弦图考概率，融合文化传承与几何直观| |解答题|11/82|不等式组、统计分析、函数应用、几何证明等|太阳能电池板安装问题综合考查解直角三角形，商品促销题体现模型意识与应用能力|

2026年中考考前预测卷 数学 (考试时间：120分钟，分值：130分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷 一、选择题本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是() A B.π C.√9 D.-|-1川 2.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展以下四个科创品牌图标设计草图中，为 中心对称图形的是() 3.物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！将数据5020000 用科学记数法表示为() A.5.02×105 B.5.02×106 C.50.2×105 D.0.502×107 4.下列运算正确的是() A.3a+2b=5ab B.a8÷a2=a4 C.(-2ab)2=4a2b2D.a3.a4=a12 5.小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式s2_5-+2=)+5-P+4-关于这组数据，下 4 列说法错误的是() ①平均数是4：②中位数是5：③众数是5；④样本容量是3. A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 6.如图为两直线l、m与△ABC相交的情形，其中l、m分别与BC、AB平行.根据图中标示的角度，则∠B的度 数为() 第1页，共9页 A.55° B.60 C.65 D.70 1209 115 m 7.在平面直角坐标系中，已知下列变换： ①沿x轴翻折；②沿直线y=一x翻折：③绕原点0按逆时针方向旋转90°；④向右平移1个单位长度，再向 上平移3个单位长度， 其中，能使反比例函数y=的图象经过一种变换后过点P(-1,2)的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 8.已知抛物线y=4x2的顶点为坐标原点0，过0作两条互相垂直的直线分别与抛物线交y=4x2于点A、B, 连接AB.求AB边上的高的最大值为() A.2 B.4 C.5 D.6 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.分解因式：x2y-12xy+36y=· 10.已知点M(a+1,3)和点N(2,b-1)关于y轴对称，则a+b=· 11.如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程( 写一般式)一· ① ② ③ ④ -2.3 -1.1 0.1 1.3 2.5 12.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中， 四个直角三角形均全等，两条直角边之比为1：3若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的 概率为一· 第2页，共9页 13.如图，A,B,C是⊙0上的点，OA1BC,点D在优弧BC上，连接BD,AD.若∠ADB=30°，BC=2V3, 则⊙0的半径为 B 14.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,将△ABC绕点C逆时针旋转，得到△DEC.当点A的 对应点D落在边BC上时，连接BE,则线段BE的长为一· B D 15.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交AD于点M,交AB于点N,分别 以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线AP交DC于点E,DE=2CE,点F、G 分别是AE、BE的中点，若FG=6厘米，则四边形ABCD的周长为厘米. D E C M 16.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4.点E在线段DA上由D向A方向匀速运动，点F在线段BC上由B向C方 向匀速运动.点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍当点F到达C点时，点E也停止运 动.将矩形ABCD沿EF翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q,连接AP.在运动过程中，当AP最小时，tan ∠BAP的值为· 第3页，共9页 Q 、ED B C 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3x-5<X+1 17.(本小题5分)解不等式组： 3x-4一2x-1,并在数轴上表示不等式组的解集. 4≤2 5432-012345 18(本小题5分)计算：(-1)2024-1-+(-2)1+P. 19.(本小题6分)先化简(1-名)÷6十，其中x从1,2,3中选取自己喜欢的数代入求值. x2-6x+9 20.(本小题6分) 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点F是OD中点，延长线段AF至点E,使AF=EF,连接OE, CE,DE. (1)求证：四边形0CED为矩形， (2)若LBAD=120°，求∠DCE的度数. 0 B 第4页，共9页 21.(本小题6分) 为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现：可以通过计算标准体重指数m来评价，其中计算公式是 W =H-1os×100%,其中W表示体重（单位：kg),H表示身高（单位：cm). (1)某男生的身高是175cm,体重是80.5kg,则m= (2)现某中学在本校九年级学生中，随机抽取n名男生进行体质评价，评价结10果的统计表和条形统计图如 图： 体质评价结果统计表 标准体重指数 <80% 80%~90% 90%~110% 110%120% >120% m 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比 5% a 27% 40% ①n= ②分别求出a,b的值； ③若该校九年级共有男生600人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给 学校提一条合理性建议. 体质评价结果条形统计图 +人数 27 20 a 0 明显消瘦正常过重陪胖 评价结果 消瘦 第5页，共9页 22.(本小题8分) 2026年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱某班准备了15枚吉祥物徽章用于主题 班会抽奖，其中“琮琮”徽章有9枚，“宸宸”徽章有6枚，所有徽章除图案外完全相同. (1)若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率： (2)班会结束后，又补充了若干枚“琮琮”徽章，此时徽章总数变为25枚若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮” 徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章. 23.(本小题8分) 太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都 能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图， 其中第一块电池板的一端位于点A,另一端D安装支架DE,支架DE所在的直线垂直于水平线AC,垂足为G, 己知AE=100cm,DE=50cm,斜坡AB=16.8m,坡角∠BAC=20°，其余电池板的大小和形状都与第一块 相同，但位置待定.若太阳光线与水平线所成夹角a=25°.（结果保留整数.参考数据sin20°≈0.34，c0s20°≈ 0.94,tam20°≈0.36，sin25°≈0.42，c0s25°≈0.91，tan25°≈0.47，√2≈1.41 (1)求∠AFD的度数及GH的长； (2)在光线不受遮挡的情况下，斜坡面AB上最多可以放几块电池板？ 光线方向 D F B HC 第6页，共9页 24.(本小题8分) 新情境含30°三角板ABC按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中(LACB=90°，∠A=30),小东将该三角板 绕点C(0,-1)顺时针旋转90°，点A的对应点M(3,2)恰好落在反比例函数y=xk(x>0)图象上. (1)求反比例函数的表达式： (2)求点N的横坐标. 25.(本小题10分) 党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀 向未来某商店决定对某类商品进行降价促销活动.已知进价为每件6元，平时以单价12元的价格售出一天可 卖80件.根据调查单价每降低1元，每天可多售出40件，设商品售价x元（售价不低于进价，x为正整数），这批 商品的日利润为w元（利润=售价一成本），请解决以下问题： (1)设商品售价x元，则一天可以卖出件： (2)当商品的售价x为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ (3)若商店每卖一件就捐m元(m>0)给希望小学，该店发现售价为11元时可获得最大日利润，直接写出m的 取值范围。 第7页，共9页 26.(本小题10分) 己知⊙O的直径为7，弦AB=√21，作△ABC内接于⊙O,过AC的中点D作DE⊥BC于点E. (1)当边BC经过圆心0时（如图1）， ①求DE的长； ②过点A作AF1BC于点P(如图2，求票的值. (2)当边BC不经过圆心O时（如图3）， ①过点A作AF L BC于点F,连结AE,求tanLEAF的值： ②连结OE,请直接写出OE的最大值， D D D 0 B B E O 图1 图2 图3 27.(本小题10分) 如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C,连接AC,点P在抛 物线上运动，作点P关于x轴的对称点P',连接AP,CP,AP',CP'. (1)求抛物线的表达式： (2)如图①，在点P从抛物线上点A运动到点C的过程中（点P与点A,C不重合），记△ACP的面积为S1,记△AC P'的面积为S2,求S1+S2的最大值及此时点P的坐标； 第8页，共9页 (3)如图②，若PC//AB,连接P'P,求证：P'P平分LAP'C. y A B A ① ② 第9页，共9页 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 2.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展以下四个科创品牌图标设计草图中，为中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 3.物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢将数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 5.小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：关于这组数据，下列说法错误的是  平均数是；中位数是；众数是；样本容量是． A. B. C. D. 6.如图为两直线、与相交的情形，其中、分别与、平行根据图中标示的角度，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.在平面直角坐标系中，已知下列变换： 沿轴翻折；沿直线翻折；绕原点按逆时针方向旋转；向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 其中，能使反比例函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A. B. C. D. 8.已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接求边上的高的最大值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.分解因式：          ． 10.已知点和点关于轴对称，则        ． 11.如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程写一般式        ． 12.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比为：若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为        ． 13.如图，，，是上的点，，点在优弧上，连接，若，，则的半径为          ． 14.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到当点的对应点落在边上时，连接，则线段的长为        ． 15.如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点、分别是、的中点，若厘米，则四边形的周长为        厘米． 16.如图，矩形中，，点在线段上由向方向匀速运动，点在线段上由向方向匀速运动点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的倍当点到达点时，点也停止运动将矩形沿翻折，点、点的对应点分别为点、点，连接在运动过程中，当最小时，的值为        ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 18.本小题分计算：． 19.本小题分先化简，其中从，，中选取自己喜欢的数代入求值． 20.本小题分 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． 求证：四边形为矩形． 若，求的度数． 21.本小题分 为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现：可以通过计算标准体重指数来评价，其中计算公式是，其中表示体重单位：，表示身高单位：． 某男生的身高是，体重是，则______． 现某中学在本校九年级学生中，随机抽取名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如图： 体质评价结果统计表 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比 ______； 分别求出，的值； 若该校九年级共有男生人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． 22.本小题分 年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有枚，“宸宸”徽章有枚，所有徽章除图案外完全相同． 若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率； 班会结束后，又补充了若干枚“琮琮”徽章，此时徽章总数变为枚若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章． 23.本小题分 太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定若太阳光线与水平线所成夹角结果保留整数参考数据，，，，，， 求的度数及的长； 在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 24.本小题分 新情境含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． 求反比例函数的表达式； 求点的横坐标． 25.本小题分 党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来某商店决定对某类商品进行降价促销活动已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价元售价不低于进价，为正整数，这批商品的日利润为元利润售价成本，请解决以下问题： 设商品售价元，则一天可以卖出______件； 当商品的售价为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 若商店每卖一件就捐元给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出的取值范围． 26.本小题分 已知的直径为，弦，作内接于，过的中点作于点． 当边经过圆心时如图， 求的长； 过点作于点如图，求的值． 当边不经过圆心时如图， 过点作于点，连结，求的值； 连结，请直接写出的最大值． 27.本小题分 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． 求抛物线的表达式； 如图，在点从抛物线上点运动到点的过程中点与点，不重合，记的面积为，记的面积为，求的最大值及此时点的坐标； 如图，若，连接，求证：平分． 第4页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11. 答案不唯一  12.   13.   14.   15.   16.   17. ，数轴表示：   18.   19. ；．  20. 菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形    21.   ；，；估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为人，建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼  22.   补充了枚“琮琮”徽章  23. ，  斜坡面上最多可以放块电池板  24.    25.   当商品的售价为元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为元    26. ；  ；  27.   最大值为，  由，得抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， ， 点、关于对称轴对称， ，则， 设直线交轴于点，其函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线的函数表达式为， 当时，由，得， ， 又，轴， 垂直平分， ， ，即平分  【解析】 1. 解：、是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意． 故选：． 先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 本题考查的是无理数，算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2. 解：选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B.选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C.选项图形是中心对称图形，符合题意； D.选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义进行判断． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 3. 解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4. 解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5. 解：由题意知，这组数据为、、、，  所以这组数据的平均数为，正确；  中位数为，错误；  众数为，正确；  样本容量为，错误；  故选：． 由题意知这组数据为、、、，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义． 6. 解：、分别与、平行， ，两直线平行，同旁内角互补， ，， ， 则的度数为， 故选：． 由两直线平行同旁内角互补可得出、的度数，再根据三角形内角和可得出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行同旁内角互补可得出、的度数是解题的关键． 7. 解：由题知， 点沿轴翻折后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象沿轴翻折后，经过点， 故符合题意； 点沿直线翻折后所得点的坐标为， 因为， 所以点不在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象沿直线翻折后，不经过点， 故不符合题意； 点绕原点按顺时针方向旋转后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象绕原点按逆时针方向旋转后，经过点， 故符合题意； 点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，经过点， 故符合题意． 故选：． 根据题意，将点进行相应的变换，判断其是否在反比例函数的图象上即可． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化平移、坐标与图形变化旋转、坐标与图形变化对称及翻折变换折叠问题，熟知反比例函数、一次函数的图象与性质及平移、翻折、对称变换后点的坐标变化规律是解题的关键． 8. 解：如图： 设点，， 则：直线：， 直线：， 直线：， ， 过点，分别作轴垂线，交轴于点，， 则：∽， ， ， 则直线：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 故选：． 设出、两点的坐标，并表示出，，三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键． 9. 解：， 故答案为：． 提取公因式后用完全平方公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键． 10. 解：根据关于轴对称的点的坐标特征可知： ，， 解得，， ． 故答案为：． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再计算即可． 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 11. 解：由数轴可知段包含两个整数和，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 首先得到段包含两个整数和，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 12. 解：设两直角边分别为，，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为， 所以，， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比． 此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 13. 解：连接， ， ， ， 由圆周角定理得， ． 故答案为：． 根据垂径定理求出，由圆周角定理得到，再根据正弦的定义即可求出． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 14. 解：在中，，，， ， 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在上， ，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 由旋转知，，，则，再利用勾股定理可得的长． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ． 点、分别是、的中点， 为的中位线， 厘米， 厘米． ， 厘米． 厘米， 四边形的周长为厘米． 故答案为：． 由作图过程可知，为的平分线，可得由平行四边形的性质得，，，可得，则，即由题意得为的中位线，可得厘米，则厘米，可得厘米，则厘米，进而可得答案． 本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16. 解：连接交于点，连接，，，过点作于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且，， ，，，， 在中，， 由勾股定理得：， 点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的倍， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 点是上的定点， 点，是矩形的定点，也是定点， ，为定长， 由翻折的性质得：为定长， 即点始终在以点为圆心，以的长为半径的圆上， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 当点在线段上时，为最小， 此时， ， ， ∽， ， ， ，， ， 在中，， ， 在运动过程中，当最小时，的值为． 故答案为：． 连接交于点，连接，，，过点作于点，先求出，依题意得，证明和相似得，，由此得点是上的定点，进而得，为定长，由翻折的性质得为定长，根据“两点之间线段最短”得，则当点在线段上时，为最小，此时，再证明和相似得，，则，在中，，据此可得在运动过程中，当最小时，的值． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义及勾股定理是解决问题的关键． 17. 解： 解不等式得； 解不等式得； 综上所述，原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 18. 解：原式 ． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19. 解：原式 ； ，， ， 原式． 将括号内的式子通分并计算，然后算除法，最后将符合题意的的值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20. 证明：菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， 四边形为矩形， ， ． 首先是从平行四边形的判定条件入手．观察到点是中点且，这就满足了平行四边形对角线互相平分的判定条件，从而得出四边形是平行四边形； 根据菱形的性质，矩形的性质，以及平行线的性质即可得到结论． 本题考查矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21. 解：； 故答案为：； 明显消瘦的人数有，占比， 随机抽取的人数为人； 故答案为：； 肥胖的有人， ， ； 若该校九年级共有男生人， 估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为： 人， 该样九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占， 建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． 根据题中计算公式求解即可； 根据明显消瘦的人数有，占比，可求解； 先算出的值，再算的值即可； 用总数乘以评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占比即可，提出合理化建议． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 22. 解：某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有枚，“宸宸”徽章有枚， 小颖随机抽取一枚徽章，抽到“宸宸”徽章的概率为； 设补充了枚“琮琮”徽章， 由题意得：， 解得：， 答：补充了枚“琮琮”徽章． 直接由概率公式求解即可； 设补充了枚“琮琮”徽章，根据徽章总数变为枚，若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，列出方程，解方程即可． 本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 23. 解：由题意得， ， ， ， ，  ，   ； 如图，过点作交的延长线于点， 由得， 为等腰直角三角形， 由得， ， ， ， ，  ， 电池板的块数是整数， 斜坡面上最多可以放块电池板． 由题意得，在中，，在中， ，得出 ，即可求解． 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形，由得，在中，求得，，进而根据，即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 24. 解：是反比例函数图象上的点． ， 解得， 反比例函数的表达式为； 过点，分别作，垂直于轴分别于点，， ， ，， 又点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又， ∽， ， 在中，． ． 解得． 点的横坐标为． 将代入，即可求解； 过点，分别作，垂直于轴分别于点，，根据得出为等腰直角三角形，进而证明∽，在中，进而根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 25. 解：由题意，调查单价每降低元，每天可多售出件， 当售价为元时，一天的销量为：件， 故答案为：； 根据题意得：， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当商品的售价为元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为元； 根据题意得：， 对称轴为， 当售价为元时可获得最大日利润， ． ． 依据题意，由调查单价每降低元，每天可多售出件，则当售价为元时，一天的销量为件，进而可以得解； 根据数量关系列方程，根据二次函数图象的性质及最值的计算即可求解； 根据数量关系式列式，二次函数图象的性质，不等式的性质即可求解． 本题主要考查二次函数、不等式与实际问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键． 26. 解：当边经过圆心时，是直径， ，， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； 连结并延长，交于点，连结， 则，， 由与都是所对的圆周角得，， ， ，， ， ， 由同理可得：， ， 即． ， ， 又为定值， 如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点， ， ， ，则， ，， 在的垂直平分线上，则，，三点共线， 在中， ， ， 当在上时，取得最大值， 此时． 根据勾股定理求得，进而根据，代入数据，即可求解； 证明是的中位线，求得，，即可求解； 连结并延长，交于点，连结，则，由与都是所对的圆周角得，，根据，即可求解； 作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据可得，得出点的轨迹，进而分别求得，，的长，即可求解． 本题主要考查了圆的综合题型，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27. 解：抛物线与轴交于点和， ， 解得 抛物线的解析式为； 解：如图，连接，则轴， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时； 证明：由，得抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， ， 点、关于对称轴对称， ，则， 设直线交轴于点，其函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线的函数表达式为， 当时，由，得， ， 又，轴， 垂直平分， ， ，即平分． 利用待定系数法求解即可； 连接，则轴，设，则，利用坐标与图形得到，然后利用二次函数的性质求解即可； 先判断出点、关于对称轴对称，则，，然后求出直线的函数表达式为，进而求得，可判断垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一可得结论． 本题是二次函数与几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，解答的关键是利用数形结合思想把代数与几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，进而得到线段之间的关系． 第2页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前预测卷 数学 （考试时间：120分钟，分值：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数中，无理数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：、是有理数，不符合题意； B、是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意． 故选：． 先化简，再根据有理数、无理数的定义判断即可． 本题考查的是无理数，算术平方根，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 2.科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展以下四个科创品牌图标设计草图中，为中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：选项图形不是中心对称图形，不符合题意； B.选项图形不是中心对称图形，不符合题意； C.选项图形是中心对称图形，符合题意； D.选项图形不是中心对称图形，不符合题意． 故选：． 根据中心对称图形的定义进行判断． 本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是关键． 3.物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢将数据用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：． 故选：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 4.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：． 根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则分别计算判断即可． 本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 5.小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：关于这组数据，下列说法错误的是  平均数是；中位数是；众数是；样本容量是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题意知，这组数据为、、、，  所以这组数据的平均数为，正确；  中位数为，错误；  众数为，正确；  样本容量为，错误；  故选：． 由题意知这组数据为、、、，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义． 6.如图为两直线、与相交的情形，其中、分别与、平行根据图中标示的角度，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：、分别与、平行， ，两直线平行，同旁内角互补， ，， ， 则的度数为， 故选：． 由两直线平行同旁内角互补可得出、的度数，再根据三角形内角和可得出的度数． 本题主要考查了平行线的性质，由两直线平行同旁内角互补可得出、的度数是解题的关键． 7.在平面直角坐标系中，已知下列变换： 沿轴翻折；沿直线翻折；绕原点按逆时针方向旋转；向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度． 其中，能使反比例函数的图象经过一种变换后过点的个数是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由题知， 点沿轴翻折后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象沿轴翻折后，经过点， 故符合题意； 点沿直线翻折后所得点的坐标为， 因为， 所以点不在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象沿直线翻折后，不经过点， 故不符合题意； 点绕原点按顺时针方向旋转后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象绕原点按逆时针方向旋转后，经过点， 故符合题意； 点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后所得点的坐标为， 因为， 所以点在反比例函数的图象上， 即将反比例函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，经过点， 故符合题意． 故选：． 根据题意，将点进行相应的变换，判断其是否在反比例函数的图象上即可． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化平移、坐标与图形变化旋转、坐标与图形变化对称及翻折变换折叠问题，熟知反比例函数、一次函数的图象与性质及平移、翻折、对称变换后点的坐标变化规律是解题的关键． 8.已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接求边上的高的最大值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：如图： 设点，， 则：直线：， 直线：， 直线：， ， 过点，分别作轴垂线，交轴于点，， 则：∽， ， ， 则直线：， 直线必过点， 当与轴平行时，边上的高有最大值，为． 故选：． 设出、两点的坐标，并表示出，，三条直线的表达式，可以得出直线过定点，可知当与轴平行时，边上的高有最大值． 本题考查了最值问题，主要知识点有：求一次函数表达式、相似三角形，表示出直线的表达式是解题关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.分解因式：          ． 【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 提取公因式后用完全平方公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式和公式法分解因式是关键． 10.已知点和点关于轴对称，则        ． 【答案】  【解析】解：根据关于轴对称的点的坐标特征可知： ，， 解得，， ． 故答案为：． 根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再计算即可． 本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 11.如图，在数轴上包含四段，其中有一段包含两个整数，请写出一个以这两个整数为根的一元二次方程写一般式        ． 【答案】答案不唯一  【解析】解：由数轴可知段包含两个整数和，一元二次方程的根为，， 可以写出一个以这两个整数为根的一元二次方程为，化为一般式是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 首先得到段包含两个整数和，然后根据一元二次方程的解写出方程即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 12.汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝如图所示的弦图中，四个直角三角形均全等，两条直角边之比为：若向该图形内随机投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为        ． 【答案】  【解析】解：设两直角边分别为，，则斜边即大正方形的边长为，小正方形边长为， 所以，， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 针尖落在阴影区域的概率就是四个直角三角形的面积之和与大正方形面积的比． 此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比． 13.如图，，，是上的点，，点在优弧上，连接，若，，则的半径为          ． 【答案】  【解析】解：连接， ， ， ， 由圆周角定理得， ． 故答案为：． 根据垂径定理求出，由圆周角定理得到，再根据正弦的定义即可求出． 本题考查了圆周角定理，垂径定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 14.如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到当点的对应点落在边上时，连接，则线段的长为        ． 【答案】  【解析】解：在中，，，， ， 将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在上， ，，， ， 在中，由勾股定理得， ， 故答案为：． 由旋转知，，，则，再利用勾股定理可得的长． 本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 15.如图，在平行四边形中，以点为圆心，适当长度为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，，点、分别是、的中点，若厘米，则四边形的周长为        厘米． 【答案】  【解析】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，，， ， ， ． 点、分别是、的中点， 为的中位线， 厘米， 厘米． ， 厘米． 厘米， 四边形的周长为厘米． 故答案为：． 由作图过程可知，为的平分线，可得由平行四边形的性质得，，，可得，则，即由题意得为的中位线，可得厘米，则厘米，可得厘米，则厘米，进而可得答案． 本题考查作图复杂作图、角平分线的性质、三角形中位线定理、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16.如图，矩形中，，点在线段上由向方向匀速运动，点在线段上由向方向匀速运动点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的倍当点到达点时，点也停止运动将矩形沿翻折，点、点的对应点分别为点、点，连接在运动过程中，当最小时，的值为        ． 【答案】  【解析】解：连接交于点，连接，，，过点作于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且，， ，，，， 在中，， 由勾股定理得：， 点与点同时开始运动，点的运动速度为点运动速度的倍， ， ， ∽， ， ， ， ， ， 点是上的定点， 点，是矩形的定点，也是定点， ，为定长， 由翻折的性质得：为定长， 即点始终在以点为圆心，以的长为半径的圆上， 根据“两点之间线段最短”得：， ， 当点在线段上时，为最小， 此时， ， ， ∽， ， ， ，， ， 在中，， ， 在运动过程中，当最小时，的值为． 故答案为：． 连接交于点，连接，，，过点作于点，先求出，依题意得，证明和相似得，，由此得点是上的定点，进而得，为定长，由翻折的性质得为定长，根据“两点之间线段最短”得，则当点在线段上时，为最小，此时，再证明和相似得，，则，在中，，据此可得在运动过程中，当最小时，的值． 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义及勾股定理是解决问题的关键． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解不等式组：，并在数轴上表示不等式组的解集． 【答案】，数轴表示：   【解析】解： 解不等式得； 解不等式得； 综上所述，原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 分别求出两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握该知识点是关键． 18.本小题分 计算：． 【答案】  【解析】解：原式 ． 先化简各式，然后再进行计算即可解答． 本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 19.本小题分 先化简，其中从，，中选取自己喜欢的数代入求值． 【答案】；．  【解析】解：原式 ； ，， ， 原式． 将括号内的式子通分并计算，然后算除法，最后将符合题意的的值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.本小题分 如图，菱形的对角线、相交于点，点是中点，延长线段至点，使，连接，，． 求证：四边形为矩形． 若，求的度数． 【答案】菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形    【解析】证明：菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； 解：四边形是菱形， ，平分， ， ， ， 四边形为矩形， ， ． 首先是从平行四边形的判定条件入手．观察到点是中点且，这就满足了平行四边形对角线互相平分的判定条件，从而得出四边形是平行四边形； 根据菱形的性质，矩形的性质，以及平行线的性质即可得到结论． 本题考查矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 21.本小题分 为了对我国男性体质进行评价，经科学实验发现：可以通过计算标准体重指数来评价，其中计算公式是，其中表示体重单位：，表示身高单位：． 某男生的身高是，体重是，则______． 现某中学在本校九年级学生中，随机抽取名男生进行体质评价，评价结果的统计表和条形统计图如图： 体质评价结果统计表 标准体重指数 评价结果 明显消瘦 消瘦 正常 过重 肥胖 结果占比 ______； 分别求出，的值； 若该校九年级共有男生人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数，并给学校提一条合理性建议． 【答案】  ；，；估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为人，建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼  【解析】解：； 故答案为：； 明显消瘦的人数有，占比， 随机抽取的人数为人； 故答案为：； 肥胖的有人， ， ； 若该校九年级共有男生人， 估计该校九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生人数为： 人， 该样九年级体质评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占， 建议学校经常组织九年级学生参加体育锻炼． 根据题中计算公式求解即可； 根据明显消瘦的人数有，占比，可求解； 先算出的值，再算的值即可； 用总数乘以评价结果为“过重”和“肥胖”的男生占比即可，提出合理化建议． 本题考查条形统计图，正确进行计算是解题关键． 22.本小题分 年杭州亚运会吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”深受同学们喜爱某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有枚，“宸宸”徽章有枚，所有徽章除图案外完全相同． 若小颖随机抽取一枚徽章，求抽到“宸宸”徽章的概率； 班会结束后，又补充了若干枚“琮琮”徽章，此时徽章总数变为枚若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，求补充了多少枚“琮琮”徽章． 【答案】  补充了枚“琮琮”徽章  【解析】解：某班准备了枚吉祥物徽章用于主题班会抽奖，其中“琮琮”徽章有枚，“宸宸”徽章有枚， 小颖随机抽取一枚徽章，抽到“宸宸”徽章的概率为； 设补充了枚“琮琮”徽章， 由题意得：， 解得：， 答：补充了枚“琮琮”徽章． 直接由概率公式求解即可； 设补充了枚“琮琮”徽章，根据徽章总数变为枚，若随机抽取一枚徽章，抽到“琮琮”徽章的概率恰好为，列出方程，解方程即可． 本题主要考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 23.本小题分 太阳能是绿色能源，为了推广光伏发电，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究，将电池板的侧面摆放情况抽象成如图的示意图，其中第一块电池板的一端位于点，另一端安装支架，支架所在的直线垂直于水平线，垂足为，已知，，斜坡，坡角，其余电池板的大小和形状都与第一块相同，但位置待定若太阳光线与水平线所成夹角结果保留整数参考数据，，，，，， 求的度数及的长； 在光线不受遮挡的情况下，斜坡面上最多可以放几块电池板？ 【答案】，  斜坡面上最多可以放块电池板  【解析】解：由题意得， ， ， ， ，  ，   ； 如图，过点作交的延长线于点， 由得， 为等腰直角三角形， 由得， ， ， ， ，  ， 电池板的块数是整数， 斜坡面上最多可以放块电池板． 由题意得，在中，，在中， ，得出 ，即可求解． 过点作交的延长线于点，则为等腰直角三角形，由得，在中，求得，，进而根据，即可求解． 本题考查了解直角三角形的应用，关键是直角三角形性质的熟练掌握． 24.本小题分 新情境含三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，小东将该三角板绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在反比例函数图象上． 求反比例函数的表达式； 求点的横坐标． 【答案】   【解析】解：是反比例函数图象上的点． ， 解得， 反比例函数的表达式为； 过点，分别作，垂直于轴分别于点，， ， ，， 又点， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又， ∽， ， 在中，． ． 解得． 点的横坐标为． 将代入，即可求解； 过点，分别作，垂直于轴分别于点，，根据得出为等腰直角三角形，进而证明∽，在中，进而根据相似三角形的性质即可求解． 本题考查了反比例函数与几何图形综合，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 25.本小题分 党的二十大即将召开，各行各业的人们用拼搏奋斗凝聚起奋进新征程、建功新时代的磅礴力量，信心满怀向未来某商店决定对某类商品进行降价促销活动已知进价为每件元，平时以单价元的价格售出一天可卖件根据调查单价每降低元，每天可多售出件；设商品售价元售价不低于进价，为正整数，这批商品的日利润为元利润售价成本，请解决以下问题： 设商品售价元，则一天可以卖出______件； 当商品的售价为多少元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为多少？ 若商店每卖一件就捐元给希望小学，该店发现售价为元时可获得最大日利润，直接写出的取值范围． 【答案】  当商品的售价为元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为元    【解析】解：由题意，调查单价每降低元，每天可多售出件， 当售价为元时，一天的销量为：件， 故答案为：； 根据题意得：， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 当商品的售价为元时，销售这批商品的日利润最大，最大值为元； 根据题意得：， 对称轴为， 当售价为元时可获得最大日利润， ． ． 依据题意，由调查单价每降低元，每天可多售出件，则当售价为元时，一天的销量为件，进而可以得解； 根据数量关系列方程，根据二次函数图象的性质及最值的计算即可求解； 根据数量关系式列式，二次函数图象的性质，不等式的性质即可求解． 本题主要考查二次函数、不等式与实际问题的综合运用，掌握二次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键． 26.本小题分 已知的直径为，弦，作内接于，过的中点作于点． 当边经过圆心时如图， 求的长； 过点作于点如图，求的值． 当边不经过圆心时如图， 过点作于点，连结，求的值； 连结，请直接写出的最大值． 【答案】；  ；  【解析】解：当边经过圆心时，是直径， ，， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ． ，，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； 连结并延长，交于点，连结， 则，， 由与都是所对的圆周角得，， ， ，， ， ， 由同理可得：， ， 即． ， ， 又为定值， 如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点， ， ， ，则， ，， 在的垂直平分线上，则，，三点共线， 在中， ， ， 当在上时，取得最大值， 此时． 根据勾股定理求得，进而根据，代入数据，即可求解； 证明是的中位线，求得，，即可求解； 连结并延长，交于点，连结，则，由与都是所对的圆周角得，，根据，即可求解； 作的外接圆，连接，，，过点作于点，根据可得，得出点的轨迹，进而分别求得，，的长，即可求解． 本题主要考查了圆的综合题型，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27.本小题分 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点在抛物线上运动，作点关于轴的对称点，连接，，，． 求抛物线的表达式； 如图，在点从抛物线上点运动到点的过程中点与点，不重合，记的面积为，记的面积为，求的最大值及此时点的坐标； 如图，若，连接，求证：平分． 【答案】  最大值为，  由，得抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， ， 点、关于对称轴对称， ，则， 设直线交轴于点，其函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线的函数表达式为， 当时，由，得， ， 又，轴， 垂直平分， ， ，即平分  【解析】解：抛物线与轴交于点和， ， 解得 抛物线的解析式为； 解：如图，连接，则轴， 设，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为，此时； 证明：由，得抛物线的对称轴为直线， 当时，，则， ， 点、关于对称轴对称， ，则， 设直线交轴于点，其函数表达式为， 将代入，得，解得， 直线的函数表达式为， 当时，由，得， ， 又，轴， 垂直平分， ， ，即平分． 利用待定系数法求解即可； 连接，则轴，设，则，利用坐标与图形得到，然后利用二次函数的性质求解即可； 先判断出点、关于对称轴对称，则，，然后求出直线的函数表达式为，进而求得，可判断垂直平分，利用线段垂直平分线和等腰三角形的三线合一可得结论． 本题是二次函数与几何图形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、轴对称性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、坐标与图形等知识，解答的关键是利用数形结合思想把代数与几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，进而得到线段之间的关系． 第13页，共27页 学科网（北京）股份有限公司 $