精品解析：江苏苏州市新区实验中学集团2026年初中毕业暨升学考试模拟试卷数学

2026届初中毕业暨升学考试模拟试卷 数学2026.6 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　） A. 左拐 B. 左拐 C. 右拐 D. 右拐 6. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 8. 如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：__________． 10. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 11. 在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第__________象限． 12. 若，则______． 13. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为12，则圆锥的半径长为______． 14. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 15. 如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）． 16. 如图，在沙漠中有一条东西向的公路，一个人在公路上点的位置，要走到沙漠中的目的地，已知地到公路的距离，，且人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为，则此人从走到的最短时间是______h． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 21. 为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 22. 如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的边的长． 23. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 24. 如图，平面直角坐标系中，第一象限内点、、． （1）若反比例函数经过点，求的值； （2）若反比例函数的图象与的边有交点，求的取值范围． 25. 如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，设的面积是，的面积是，且，求的正切值． 26. 点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”．如图①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E，F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”． （1）如图②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为________m； （2）矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四面都是垂直于地面的平面．在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE，PF与被投射面相交于点E，F，PF在PE关于点P的逆时针方向上． ①如图③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”； ②如图④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由． 27. 如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． （1）如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； （2）如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； （3）如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届初中毕业暨升学考试模拟试卷 数学2026.6 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个实数中，最小的数是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算． 根据负数小于0和正数比较两负数大小即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵正数大于0，0大于负数， ∴最小的数是． 故选：A． 2. 是人工智能研究实验室新推出的一种由人工智能驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：∵ 科学记数法要求，原数， 将小数点向左移动11位，得到， ∴ ． 3. 如图所示的支架（一种小零件）的两个台阶的高度和宽度相等，则它的左视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【详解】解：从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示： 故选D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘法，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方逐项计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了幂的乘法，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方，掌握幂的乘法，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，积的乘方运算法则是解题的关键． 5. 如图，某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东，若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为（　　） A. 左拐 B. 左拐 C. 右拐 D. 右拐 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线性质即可求出，再根据题意即可判断在处的实际拐弯方向. 【详解】解：由题意得，过点作，如图所示， 某人骑自行车自沿正东方向前进，至处后，行驶方向改为南偏东， . ， . 若行驶到处仍按正东方向行驶，则他在处的实际拐弯方向为向左拐. 故选：B. 【点睛】本题考查了平行线的性质.解题的关键在于熟练掌握两直线平行，同位角相等. 6. 如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 7. 如图，杆秤是利用杠杆原理来称物品质量的简易衡器，其秤砣到提钮的水平距离 ycm与所挂物重 xkg之间满足一次函数关系，如表为记录几次数据之后所列表格：若不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是（ ） x/kg 1 2 3 … y/cm 8 13.5 19 … A. 2.5cm B. 4cm C. 5.5cm D. 1cm 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、得出函数关系式是关键； 根据题意可设，待定系数法求出函数的解析式，即可得到答案. 【详解】解：根据题意可设：， 把和代入得： ， 解得：， ∴， 则当时，， 即不挂重物时，秤跎到提钮的水平距离是2.5cm； 故选：A. 8. 如图，反比例函数的图象和二次函数图象交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由，当时整理得，结合函数图象即可求解． 【详解】解：当时，若，整理得， 由图象知，时，反比例函数的图象在二次函数的图象的下方， 当时，反比例函数的图象与二次函数的图象没有公共点， 则不等式的解集为． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式直接进行因式分解即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查因式分解，常用的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法． 10. 若使代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】x≤3且x≠0 【解析】 【分析】由二次根式及分式有意义的条件，即可得到答案． 【详解】解：要使代数式有意义，则有： ，解得且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 11. 在一次函数中，的值随着值的增大而增大，则点在第__________象限． 【答案】一 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性判断出的符号，再根据象限内点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：在一次函数中，的值随着值的增大而增大， ， 点的横坐标，纵坐标， 点在第一象限． 12. 若，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴ . 13. 已知圆锥的母线长为6，侧面积为12，则圆锥的半径长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=底面半径×母线长×π，进而求出即可. 【详解】∵母线为6，设圆锥的底面半径为x， ∴圆锥的侧面积=π×6×x=12π 解得x=2， 故答案为2. 【点睛】主要考圆锥的侧面积公式，熟识侧面积公式是解题关键. 14. 关于x的一元二次方程的两根是、，若，则m= _____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得，，则，然后解方程即可． 【详解】根据根与系数的关系得：，， ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数关系表达式，并会熟练计算． 15. 如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S（单位：）与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了_________秒（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t=2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理列式求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】解：由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化， ∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4-2=2秒， ∵动点P的运动速度是1cm/s， ∴AB=2cm，BC=2cm． 如图，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F， 则四边形BCFE是矩形， ∴BE=CF，BC=EF=2cm， ∵∠A=60°， ∴BE=ABsin60°=2×， AE=ABcos60°=2×=1， ∴×AD×BE=3， 即×AD×=3， 解得AD=6cm， ∴DF=AD-AE-EF=6-1-2=3， 在Rt△CDF中，CD=， 所以，动点P运动的总路程为AB+BC+CD=2+2+2=4+2， ∵动点P的运动速度是1cm/s， ∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+2）÷1=4+2（秒）． 故答案为：4+2． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据图②的三角形的面积的变化情况判断出AB、BC的长度是解题的关键，根据梯形的问题中，经常作过梯形的上底边的两个顶点的高线作出辅助线也很关键． 16. 如图，在沙漠中有一条东西向的公路，一个人在公路上点的位置，要走到沙漠中的目的地，已知地到公路的距离，，且人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为，则此人从走到的最短时间是______h． 【答案】 【解析】 【分析】假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间，则，整理得， 两边平方整理得，再根据求出即可求解． 【详解】解：假设从上点处开始从公路进入沙漠，连接，设，此人从走到的时间， ∴走公路的路程为，走沙漠的路程为， ∵人在公路上走的速度为，在沙漠里走的速度为， ∴， 整理得， 两边平方得， 整理得， ∵关于的方程有解， ∴， 整理得， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， 解得， ∴最小， 此时代入方程得，整理得，解得，符合题意， ∴此人从走到的最短时间是． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 得：， 解得； 把代入①，解得， ∴方程组的解为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】先利用分式的运算规则将分式进行化简，然后将x值带入即可． 【详解】解：原式 代入 原式 【点睛】本题考查分式的基础运算，掌握运算规则且细心是本题关键． 20. 某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． 【小问1详解】 解：抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． 21. 为了解居民学习“2026年全国两会”精神情况，某街办针对“两会热点议题”对某小区部分居民进行了随机抽样调查，选取其中五个热点议题的关键词分别为：“A．乡村振兴；B．质量强国；C．科技自立自强；D．依法治国；E．数字化生活”．每人只能从中选一个最关注的议题．根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：     （1）补全条形统计图； （2）求议题A所在扇形的圆心角度数； （3）若这个小区居民共有1800人，根据抽样调查的结果，估计该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有多少人？ 【答案】（1）见解析 （2） （3）270人 【解析】 【分析】（1）先求出调查的总人数，然后求出A项和C项的人数，再补全条形统计图即可； （2）用乘以议题A所占的百分比，即可得出答案； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：调查的总人数为：（人）， C项的人数为：（人）， A项的人数为：（人）， 补全条形统计图，如图所示： 【小问2详解】 解：议题A所在扇形的圆心角度数为： ． 【小问3详解】 解：该小区居民中最关注的议题是“科技自立自强”的大约有： （人）． 22. 如图，已知是矩形的对角线，的垂直平分线分别交、于点和，交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求矩形的边的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴， ∴， ∵的垂直平分线分别交、于点和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，中垂线的性质，推出，即可得证； （2）根据菱形的性质，勾股定理求出的长，等积法求出的长即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵矩形， ∴， ∴菱形的面积， ∴， ∴. 23. 如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图2，此时测得点到所在直线的距离，；停止位置示意图如图3，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与平面平行，图3中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．（参考数据：，，，） （1）求的长； （2）求物体上升的高度（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）解即可求解； （2）在中，由勾股定理得，，解求得，由题意得，，故，则． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∵，， ∴在中，由， 得：， ∴, 答：； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理得，， 在中，， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， ∴， 答：物体上升的高度约为． 24. 如图，平面直角坐标系中，第一象限内点、、． （1）若反比例函数经过点，求的值； （2）若反比例函数的图象与的边有交点，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）因为点C在反比例函数上，所以将点C的坐标代入表达式即可求解k． （2）首先明确的三条边的范围：边，y取值为2到6；边，x取值为1到3；边先求出其直线解析式，x取值为1到3．分别分析反比例函数与三条边有交点时k的取值范围，取上述范围的公共部分，即为k的最终取值范围． 【小问1详解】 解：已知反比例函数经过点， 将代入解析式得： ，即． 【小问2详解】 解：由坐标、、，可知是直角三角形，直角在点，为竖直线段，为水平线段． 设直线的解析式为， 代入、得： ， 解得， 所以直线的解析式为． 若交点在或边上：的范围是； 若交点在斜边上：， 这是开口向下的二次函数，， 在时，k的最大值为8， 在时，k的最小值为6， ． 综上，反比例函数图象与的边有交点时，． 25. 如图，是的弦，交于点，过点的直线交的延长线于点，且． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为4，，设的面积是，的面积是，且，求的正切值． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，等腰三角形两底角相等，证明即可； （2）过C点作，等角的正切值相等，得到 ，利用面积之比得出，进行联立求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过C点作，如图所示， 由题可知， ∵，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， 即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【点睛】证明圆的切线，连接切点与圆心，角的正切值一定在直角三角形中进行求解． 26. 点光源发出的光束呈扇面垂直投射到一个面上，光线在投射面的水平投射线长称为“光带长”．如图①，从光源P发射的光束边界与被投射曲面交于点E，F，则曲线EF的长就是该光束在曲面上的“光带长”． （1）如图②，在内直径为6 m的圆筒内壁上的点光源呈60°角扇面垂直投射到圆筒内壁上时，“光带长”为________m； （2）矩形大厅ABCD的宽AB为20 m，长AD为40 m，四面都是垂直于地面的平面．在墙面AD上的光源P呈90°角扇面的光束垂直投射到其它墙面上，光束边界PE，PF与被投射面相交于点E，F，PF在PE关于点P的逆时针方向上． ①如图③，若光源P到点A的水平距离为10 m，光束的边界PE与墙面PA的夹角为30°，求此时的“光带长”； ②如图④，若光源P在墙面AD中点处，试判断“光带长”是否变化，并说明理由． 【答案】（1）2π （2）①30＋；②无论∠EPF怎样运动，满足条件的“光带长”皆为40 m 【解析】 【分析】(1)根据圆周角为60°角，可得对应的圆心角的度数，根据弧长公式可得结果． （2）①根据三角函数先求出AE的长，然后分别求出PH，BE的长度． ②构造全等三角形△PAE≌△PHF，将光带转化为AB+BH． 【小问1详解】 解：∵圆周角∠EPF＝60°， ∴所对的圆心角度数为：120°， ∴的长为＝2π(m)， ∴“光带长”为2π 【小问2详解】 ①过点P作PG⊥BC于点G，过F作FH⊥AD于点H． ∵AP＝10 m，∠APE＝30°， ∴在△AEP中，tan ∠APE＝，AE＝， ∴BE＝AB－AE＝20－，∠APE＝30°，∠EPF＝90° ∴∠FPH＝180－∠APE－∠EPF＝60°． 在△PHF中，tan ∠FPH＝，PH＝， ∴GF＝，∴“光带长”＝EB＋BF＝20－＋10＋＝30＋ ②若光源P在墙面AD中点处时，“光带长”不变． 分为3种情形：当点E在边AB上时，点F在BC上(如图①)，此时“光带长”＝EB＋BF.易得△PAE≌△PHF，所以HF＝AE， ∴“光带长”＝EB＋BF＝EB＋BH＋HF＝AB＋BH＝40 m； 当点E在边BC上时，点F在CD上(如图②)，同理可得“光带长”＝40 m； 当点E与B重合时，点F恰好与点C重合，此时，“光带长”＝BC＝40 m． 综上所述，无论∠EPF怎样运动，满足条件的“光带长”皆为40 m． 【点睛】本题考查了弧长公式、三角函数、全等三角形等有关知识，综合性较强，属于中考压轴题．解题的关键是正确画出图形并能灵活运用相关知识点解决问题． 27. 如图1所示，点与分别为两个抛物线的顶点，与、与分别为两个抛物线上的点，若与关于点位似且位于点的同侧，则称这两条抛物线为位似抛物线，其中点为两抛物线的位似中心，与的相似比为两抛物线的位似比． （1）如图2所示的两抛物线和，点、为抛物线上两点，连接、分别交于点、，判断和是否为位似抛物线，并说明理由； （2）如图3所示抛物线，试直接写出抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式________； （3）如图4，已知抛物线和为位似抛物线，点、为他们的顶点，试仅用无刻度直尺和圆规作图，找出它们的位似中心的位置（保留必要的作图痕迹，不需要说明理由），并直接写出抛物线和的位似比________（结果用、、、、中的某些字母表示）． 【答案】（1）解：和是位似抛物线，理由如下： ∵、， ∴设直线的解析式为，则，解得， ∴， 联立，解得或， ∴； 同法可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵三点共线，三点共线，点是两条抛物线的共用顶点， ∴和关于点位似，且在点的同侧， ∴抛物线和是位似抛物线； （2） （3）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）求出两点坐标，进而证明和关于点位似，且在点的同侧，即可得出结论； （2）根据题意，求出位似抛物线的顶点坐标，设另一条抛物线的解析式为，再设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上，将点代入进行求解即可得出结果； （3）①连接，作平行四边形交抛物线于点，作射线，交于点，点即为所求；②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为，得到位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比，即可得出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，设其顶点坐标为 则， ∵两条抛物线关于点为位似抛物线，且位似比为， ∴另一条抛物线的顶点坐标为， ∴设另一条抛物线的解析式为， 设抛物线任意一点的坐标为，则其关于原点位似的对应点的坐标为，该点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线关于原点位似，按照位似比放大后开口向上的抛物线解析式为； 【小问3详解】 解：①略 ②过点作轴的平行线，交两条抛物线的交点分别为， 则位似抛物线的位似比为，即两条抛物线的开口大小之比， 又∵抛物线的开口大小只由二次项的系数决定， ∴抛物线和的位似比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $