第13讲 函数模型及其应用 讲义-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数模型及其应用专题，涵盖一次、二次、分段、指数、对数、幂函数等核心模型，按考情分析、知识清单、典题精练（分三大考点）的逻辑架构系统梳理，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节帮助学生突破参数求解、最值分析等难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以数学思维和数学语言为导向，创新采用“模型识别-工具应用-综合迁移”教学策略，如考点二通过待定系数法确定指数模型参数，结合对数运算求解实际问题，培养学生建模能力。设置基础考法到综合创新的分层例题，配合方法总结，确保高效突破，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

第13讲 函数模型及其应用 · 讲义 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 几种常见的函数模型 2 2. 解函数应用问题的步骤 2 三、典题精练 3 考点一：常见的几类确定性函数模型 3 考点二：指数、对数与幂函数模型 4 考点三：函数模型的综合与创新应用 6 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 第6题 单选题 5分 间接 以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性质，考察参数范围的求解 2025 - - - - 2026 第6题 单选题 5分 间接 给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究其最值并反求参数 近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最值）的深度剖析. 命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函数模型进行动态分析与参数求解. 试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻辑推理和代数变形能力要求较高. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与解析式性质. · 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难点. · 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉的函数模型并求解. 二、知识清单 1. 几种常见的函数模型 · 一次函数模型： · 反比例函数模型： · 二次函数模型： · 指数函数模型： · 对数函数模型： · 幂函数模型： 【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不能单纯按照代数解析式的要求来确定. 【防坑警示】 在指数函数模型 中，底数 决定了模型是增长型（）还是衰减型（）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据题意准确判断并求解底数. 2. 解函数应用问题的步骤 ·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； ·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； ·解模：求解数学模型，得出结论； ·还原：将数学问题还原为实际问题。 三、典题精练 考点一：常见的几类确定性函数模型 考法1：一次、二次函数模型 例1.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 考法2：分段函数模型 例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 考法3：分式函数模型 例3.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 A. B. C. D. 【考点一 方法总结】 · 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值. · 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具. · 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内. 考点二：指数、对数与幂函数模型 考法1：指数函数模型 例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：） A. B. C. D. 考法2：对数函数模型 例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则 A. B. C. D. 考法3：幂函数模型 例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了(参考数据:) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【考点二 方法总结】 · 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类. · 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值. · 求解指数型函数模型时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧. · 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数. 考点三：函数模型的综合与创新应用 考法1：几何背景下的函数模型 例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度. （1） 求关于的函数关系式； （2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值． 考法2：新定义函数模型 例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则 A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个 【考点三 方法总结】 · 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解. · 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数模型及其应用 · 讲义（解析卷） 一、考情分析 1 二、知识清单 2 1. 几种常见的函数模型 2 2. 解函数应用问题的步骤 2 三、典题精讲 2 考点一：常见的几类确定性函数模型 2 考点二：指数、对数与幂函数模型 5 考点三：函数模型的综合与创新应用 7 一、考情分析 1. 考查频次与题型 年份 题号与题型 分值 考察类型 考察内容与方式 2024 第6题 单选题 5分 间接 以分段函数模型为载体，结合二次函数与超越函数的性质，考察参数范围的求解 2025 - - - - 2026 第6题 单选题 5分 间接 给出具体的指数分式复合函数模型，利用导数工具研究其最值并反求参数 近三年全国一卷中，以实际生活为背景的函数模型应用题出现频次相对较低，多以纯数学形式的函数模型（如分段函数、指数型函数）为载体，结合导数、单调性等知识进行间接考查. 2. 命题角度与特色 核心考点：侧重于对分段函数、指数型函数等常见数学模型的性质（如单调性、最值）的深度剖析. 命题趋势：淡化了简单的代入模型计算，更加注重利用导数等高等数学工具对复杂函数模型进行动态分析与参数求解. 试题特点：综合性强，常将函数模型与不等式、方程、导数等知识点交汇命题，对逻辑推理和代数变形能力要求较高. 3. 备考策略 · 熟练掌握各类基础函数模型（如二次函数、分段函数、指数函数等）的图象特征与解析式性质. · 强化利用导数工具研究复杂函数模型单调性与最值的能力，突破参数分类讨论的难点. · 培养数学建模意识，遇到实际应用题时，能够准确提取关键数据，将其转化为熟悉的函数模型并求解. 二、知识清单 1. 几种常见的函数模型 · 一次函数模型： · 反比例函数模型： · 二次函数模型： · 指数函数模型： · 对数函数模型： · 幂函数模型： 【易错提醒】 在构建和求解实际问题的函数模型时，必须高度关注自变量的取值范围（即函数的定义域）.实际问题中的定义域往往受到具体物理意义或生活常识的限制，不能单纯按照代数解析式的要求来确定. 【防坑警示】 在指数函数模型 中，底数 决定了模型是增长型（）还是衰减型（）.在处理如人口增长、资金复利、放射性物质衰变等问题时，需根据题意准确判断并求解底数. 2. 解函数应用问题的步骤 ·审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； ·建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型； ·解模：求解数学模型，得出结论； ·还原：将数学问题还原为实际问题。 三、典题精讲 考点一：常见的几类确定性函数模型 考法1：一次、二次函数模型 例1.绍兴某乡村要修建一条米长的水渠，水渠的过水横断面为底角为的等腰梯形(如图)水渠底面与侧面的修建造价均为每平方米元，为了提高水渠的过水率，要使过水横断面的面积尽可能大，现有资金万元，当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为 A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【思路】分析题意，引入合适的变量表示等腰梯形的底和高.利用总造价限制求出截面周长定值，进而建立截面面积关于侧边长的二次函数模型，通过二次函数配方求得最值. 【解析】如图设横截面为等腰梯形，于，. 要使水横断面面积最大，则此时资金万元都用完， 则，解得米. 设，则，故，且. 梯形的面积. 当时，， 此时. 即当过水横断面面积最大时，水果的深度(即梯形的高)约为米. 【规律】解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值. 考法2：分段函数模型 例2.（2026·合肥一六八·一模）城市地铁可为市民出行带来便利，提升城市形象，更是一张亮丽的城市名片. 安徽省合肥市于2016年开通了地铁1号线，该条线路通车后，列车的发车时间间隔（单位:分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时，载客量会逐渐增加，载客量与成一次函数关系，且发车时间间隔为分钟时的载客量为人，当时，列车为满载状态，载客量为人，记列车载客量为. （1） 求的表达式，并求当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量； （2） 若该线路每分钟的净收益为:（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）， （2）， 【思路】第一问利用待定系数法，根据已知点坐标求出二次函数解析式，并写成分段函数形式.第二问将载客量代入净收益公式，得到净收益的分段函数，分别在各段上利用基本不等式和单调性求出最大值，最后比较各段最大值确定全局最大值. 【解析】（1） 由题设，当时，令，又发车时间间隔为分钟时的载客量为人，分钟时的载客量为人， ∴， ∴； 当时，， ∴； 故时，， 所以当发车时间间隔为分钟时，列车的载客量为人； （2） ∵， ∴由（1）可得：； 当时，， 当且仅当等号成立， 则时，（元）； 当时，在递减， 则（元）； 综上，发车时间间隔为分钟时，该线路每分钟的净收益最大为元. 【规律】处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具. 考法3：分式函数模型 例3.某企业投入万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】根据等差数列求和公式计算出年的总维护费用，然后构建年平均费用的分式函数模型，利用基本不等式求出最小值及对应的年数. 【解析】设该企业需要更新设备的年数为，设备年平均费用为万元. 则年后的设备维护费用为. ∴年的平均费用为（万元）， 当且仅当时，等号成立. 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为. 故选B. 【规律】涉及“平均费用最低”问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内. 【考点一 方法总结】 · 解决几何优化问题时，关键是根据几何关系合理选取自变量，将目标量表示为自变量的函数.若为二次函数，则利用对称轴和定义域区间求最值. · 构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.处理分段函数最值问题，必须分段求最值，最后作比较.在求各段最值时，常结合二次函数性质、基本不等式或导数工具. · 涉及“平均费用最低”等问题，通常会构建形如的分式函数模型.利用基本不等式求最值时，务必检验等号成立的条件是否在定义域内. 考点二：指数、对数与幂函数模型 考法1：指数函数模型 例4.（2024·华附·三模）某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为：（其中，是正常数）.已知经过，设备可以过滤掉的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】A 【思路】利用初始条件代入指数衰减模型求出衰减系数，再根据目标要求列出指数方程，两边取常用对数，结合已知对数近似值解出时间. 【解析】由题意可得，当时，，∴. 设过滤一半的污染物需要的时间为，则，即. ∴，两边取常用对数得， 即，解得，最接近. 故选A. 【规律】求解指数型函数模型的问题，通常分为两步：一是利用已知数据求出参数或；二是代入目标值解指数方程，常需两边取对数进行近似计算. 考法2：对数函数模型 例5.昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用．研究发现，某昆虫释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得的信息素浓度满足，其中为非零常数．已知释放信息素秒后，在距释放处米的地方测得信息素浓度为；若释放信息素秒后，距释放处米的位置，信息素浓度为，则 A. B. C. D. 【答案】B 【思路】将两次测量的浓度和距离数据分别代入对数型函数模型，得到两个等式.通过两式相减消去未知常数，即可解出目标距离. 【解析】由题意，. ∴， 即.又，∴. ∵，∴. 故选B. 【规律】对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数. 考法3：幂函数模型 例6.（2025·江西盟校·二联）遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自己记忆个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间(单位:小时)的函数关系式为，当记住的单词仅剩个时，则离初次记忆经过了(参考数据:) A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】C 【思路】将目标剩余单词数转化为记忆率并代入幂函数模型，化简得到幂方程.两边取常用对数，利用对数的运算性质解出时间. 【解析】由题意得，∴，即. 两边同时取以为底的对数，得. ∴，. 故选C. 【规律】解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧. 【考点二 方法总结】 · 在解题时要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、银行利率、放射性衰变等有关的问题多属于此类. · 解决指数型、对数型、幂函数模型问题时，一般先通过待定系数法（代入初始条件或已知数据）确定函数解析式中的参数，再借助函数性质或方程求解目标值. · 求解指数型函数模型时，常需两边取对数进行近似计算；解底数未知或指数为小数的幂方程时，两边取常用对数将其转化为一次方程是常用的代数变形技巧. · 对于含有多个参数的对数型或指数型模型，若只需探求变量间的相对关系，常通过代入两组数据作差或作商的方法消去无关参数. 考点三：函数模型的综合与创新应用 考法1：几何背景下的函数模型 例7.砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分．已知扇环周长为，大扇形半径，设小扇形半径，弧度. （1） 求关于的函数关系式； （2） 若雕刻费用关于的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值． 【答案】（1） （2） 【思路】结合扇形周长公式，可将圆心角转化为关于半径的函数.进一步构建面积与费用的比值表达式，面对复杂的分式结构，借助换元法将其转化为熟悉的对勾函数形式，进而利用基本不等式求解最大值. 【解析】（1） 由题意可知，，，， ∴弧，，弧. 扇环周长为弧弧， 解得，. （2） 砖雕面积即为图中环形面积，记为， 则弧弧 . 即雕刻面积与雕刻费用之比为， 则. 令，则， ∴ ， 当且仅当时（即）取等号. ∴砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为. 【规律】处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解. 考法2：新定义函数模型 例8.（2025·青岛·一模）（多选）已知狄利克雷函数 设函数 ，则 A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的值域是 D. 在区间上的有理数零点恰有个 【答案】ABD 【思路】紧扣狄利克雷函数的定义，分有理数和无理数两种情况讨论.结合三角函数的奇偶性、周期性和值域，逐一验证各个选项. 【解析】对于A，的定义域为，当为有理数时，是有理数，则；当为无理数时，是无理数，则，即为偶函数.故，是奇函数，故A正确； 对于B，对于任意的整数，当为有理数时，也是有理数，则；当为无理数时，也是无理数，则，即函数是周期函数，故B正确； 对于C，函数的值域为，当为无理数时，；当为有理数时，，由于不能取到一个周期内的所有实数（例如时无有理数解），∴取不到的全部，故C错误； 对于D，令，当为有理数时，，解得，在区间上有这个有理数零点，故D正确. 故选ABD. 【规律】解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略. 【考点三 方法总结】 · 处理复杂的有理分式函数最值时，换元法是降次和分离常数的有效手段.将分母整体换元，可将原函数转化为的形式，进而利用基本不等式求解. · 解决新定义函数问题，核心是剥去新定义的外衣，转化为熟悉的初等函数问题.遇到分段特征明显的新函数，分类讨论是基本策略. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $