第11讲 函数的图像·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦函数图像核心考法，整合图像识别、变换、性质及应用，构建从直观观察到逻辑推理的知识网络，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像识别判断|选择1-2、4-5|结合奇偶性、单调性辨析图像|解析式到图像特征转化，体现几何直观| |图像性质变换|选择3、7、9-11|奇偶性、周期性、平移综合|性质推导与变换的逻辑关联，培养推理能力| |应用与综合|选择6、17、18-19|实际建模、方程解与零点问题|图像与实际问题联系，发展模型意识|

第11讲 函数的图像 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A C C B C 6 7 8 9 10 C A A ABD ACD 11 12 13 14 15 BCD 16 17 18 19 （1） （2） （1）和 （2）见解析 （1）无解 （2） 1.（2026·栖霞联盟·一模）函数的部分图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以的图象关于原点中心对称，所以 CD 错误. 当时，，所以 B 错误. 【点拨】判断函数图象，通常从奇偶性、单调性、特殊点、函数值符号等方面入手. 2.（2024·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得，所以为偶函数，故排除 BD. 当时，，排除 A. 【点拨】本题考查函数图象的识别，利用函数的奇偶性以及特殊点的函数值符号进行排除是常用的方法. 3.（2025·青桐鸣·5月联考）定义域为的偶函数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】依题意，是偶函数，且， 令，得，解得. 令，得，令，得， 以替换，得， 结合，可知， 所以，所以是周期为的偶函数， 所以，C 选项正确. ，D 选项错误. 构造函数， 此时，是偶函数， ， 所以符合题意. ，与的值有关，AB 选项错误. 【点拨】本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，通过赋值法求出特殊点的函数值，并利用递推关系求出周期是解题关键. 4.（2024·贵州遵义·模拟）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数图象关于轴对称，函数为偶函数，选项 D 中函数满足，为奇函数，排除 D； 又选项 C 中函数满足，与图象不符，排除 C； 选项 A 中函数满足，与图象不符，排除 A， 只有 B 可选. 【点拨】根据函数图象的对称性判断奇偶性，再结合特殊点的函数值排除错误选项. 5.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于轴对称， 所以函数的图象恒过定点，故选项 A、B 错误； 当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减， 又在和上单调递减，故选项 D 错误，选项 C 正确. 【点拨】本题考查对数函数与反比例函数的图象与性质，需分类讨论底数与的大小关系. 6.列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离(单位：km)与行驶时间(单位：h)的函数图象为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题可知列车的运行速度为， 列车到达C地的时间为， 故当时，. 【点拨】根据实际物理情境，列车到达C地时距离为0，且匀速运动对应一次函数图象（绝对值函数）. 7.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同， 当时，所求函数图象与时图象关于轴对称， 即所求函数为偶函数且时与相同，故 BD 不符合要求， 当时，，，故 A 正确，C 错误. 【点拨】本题考查函数图象的翻折变换，注意与图象的生成规律. 8.（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，且，所以函数的定义域为. 设，，则是直线的斜率. 点是半圆上的动点. 如图，设点，则. 设切线的方程为，即. 由圆心到切线的距离，解得（舍去）或. 由图可知，即的值域为， 则. 【点拨】将函数解析式转化为两点连线的斜率，利用数形结合思想求解值域. 9.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在内单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】ABD 【解析】由图可知，，则， 则，所以， 又，所以， 所以， 由，得， 结合图象知，，所以， 由图可知，，即，所以， 所以，所以，故 A 正确； 对于 B，因为， 所以的图象关于中心对称，故 B 正确； 对于 C，，所以， 所以在上不单调，故 C 错误； 对于 D，将函数的图象向左平移个单位长度得，故 D 正确. 【点拨】由图象求三角函数解析式，注意利用特殊点求和，再结合三角函数性质逐项判断. 10.（2026·山东东营·一模）（多选）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ 　　） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】由可得，所以曲线的图象由四个分别在四个象限的半圆组成. A选项：由于方程中均带有绝对值且地位对称，所以曲线关于轴、轴、直线、直线对称，共有4条对称轴，A正确； B选项：表示点到直线的距离的倍，由于曲线在第三象限的部分是圆心为，半径为的半圆，圆心到直线的距离为，所以点到直线的最小距离为，所以的最小值为，B错误； C选项：曲线围成的图形面积为四个半圆面积加上中间的正方形面积，即，C正确； D选项：表示点与点连线的斜率，由于曲线在第一象限的部分是圆心为，半径为的半圆，设过点的切线方程为，即，圆心到切线的距离，解得或，结合图象可知最大值为，D正确. 【点拨】本题考查曲线方程与几何图形的对应关系，利用绝对值的对称性画出图形，结合几何意义求解最值问题. 11.（2025·河北沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】设为函数的图象上任意一点，则. 设关于直线的对称点为，则，则，所以，即. 易知，即，所以 A 选项不正确，B 选项正确； 则，即成立，所以 C 选项正确； 又，当时等号成立，，当时等号成立， 则（等号不能同时成立），所以，即，所以 D 选项正确. 【点拨】求出对称函数的解析式是解题的基础，再利用导数或经典不等式和进行放缩证明. 12.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】显然. 当时，由单调性得，方程有且仅有一解. 因此当时，方程也恰有一解. 即为函数的切线， ， 令得， 故当时，， 得，即 从而. 【点拨】将方程根的个数问题转化为函数图象的交点问题，结合切线条件求解参数. 13.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为当时，，所以， 因为，当时，即时， 由，所以， 同理可得， 依此类推，作出函数的图象， 由图象知：当时，令，则， 对任意，都有，则， 故的取值范围为. 【点拨】利用递推关系求出函数在各区间上的解析式，画出图象，数形结合求解不等式恒成立问题. 14.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】令，则有， 所以， 当时，则有， 即， 在同一坐标系中作出与的图象， 由图可得此时两函数的图象有两个交点， 即当时，有个零点； 当时，则有， 即， 在同一坐标系中作出与的图象， 由图可得此时两函数的图象有两个交点， 即当时，有个零点； 当时，， 此时，有个零点为， 综上所述，共有个零点. 【点拨】将函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题，分类讨论的符号，结合对数函数与一次函数的图象交点个数进行判断. 15.（13分）已知函数的图象如图所示.判断实数的符号或值，并说明理由. 【答案】 【解析】由图象观察可得函数图象关于轴对称，即函数为偶函数， 2 分 所以得：； 4 分 由图象可知； 8 分 因为定义域不连续，所以有两个根可得，即异号， 11 分 所以. 13 分 【点拨】由函数图象的对称性判断参数，由特殊点的函数值符号判断参数，由垂直渐近线的存在性判断参数. 16.（15分）已知函数的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式； （2） 求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由图象知，的两根为，且过点， 4 分 所以， 6 分 解得， 8 分 所以； 10 分 （2） 所以 13 分 . 15 分 【点拨】根据函数图象的垂直渐近线确定分母的根，再结合图象经过的特殊点列出方程组求解参数. 17.（15分）（2026·湖南株洲·一模）已知一个正方形的四个顶点均在曲线上，求该正方形的面积. 【答案】 【解析】设正方形，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， 则， 得与全等，得， 4 分 得点的纵坐标与点的横坐标相等， 设点，，得点， 由四个顶点均在曲线上， 得， 7 分 得， 两式相减得，， 得， 由于，得， 10 分 两式相加得，， 得， 13 分 由点，点， 得， 得正方形的面积为：. 15 分 【点拨】利用正方形的几何性质和曲线的中心对称性，设出顶点坐标并利用对称性得到坐标间的关系，从而列出方程组求解. 18.（17分）（2024·河北·模拟）已知函数. （1） 求函数的零点； （2） 判断函数在区间和上的符号. 【答案】（1）和 （2）见解析 【解析】（1） 令，即， 2 分 解得或. 由得. 4 分 由得，，解得，. 所以函数的零点为和. 7 分 （2） 当时，. 若，则，此时，所以. 9 分 若，则，此时，所以. 12 分 当时，. 若，则，此时，所以. 14 分 若，则，此时，所以. 16 分 综上所述，在和上符号为负，在和上符号为正. 17 分 【点拨】求解函数零点即解方程，判断函数符号需根据各因式的符号特征进行分类讨论. 19.（17分）已知函数. （1） 当时，解关于的方程； （2） 若关于的方程恰有三个不相等的实数解，求实数的取值集合. 【答案】（1）无解 （2） 【解析】（1） ， 当时，， 2 分 此时无解，不满足题意； 5 分 （2） 当时，设，则与的图象大致如下， 则对应的2个根为， 此时方程均无解， 即方程无解，不满足题意； 8 分 当时，设，则与的图象大致如下， 则对应的2个根为， 若方程恰有三个不相等的实数解， 则与函数的图象共有3个不同的交点， 11 分 ①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点， 则，所以，解得； 13 分 ②当时，与函数的图象共有2个交点， 所以与函数的图象只有1个交点， 则，与矛盾，不合题意； 15 分 ③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示， 所以与函数的图象只有1个交点， 则，所以，解得； 综上，的取值集合为. 17 分 【点拨】处理复合方程的问题，通常采用换元法，令，先求出外层方程的根，再结合函数图象分析内层方程的根的个数，通过分类讨论参数的取值范围来确定交点情况. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 函数的图像·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·栖霞联盟·一模）函数的部分图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 2.（2024·山东烟台·二模）函数的部分图象大致为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·青桐鸣·5月联考）定义域为的偶函数满足，则（ 　　） A. B. C. D. 4.（2024·贵州遵义·模拟）已知函数在上的大致图象如下所示，则的解析式可能为（ 　　） A. B. C. D. 5.在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ 　　） A. B. C. D. 6.列车从A地出发直达500km外的B地，途中要经过离A地300km的C地，假设列车匀速前进，5h后从A地到达B地，则列车与C地距离(单位：km)与行驶时间(单位：h)的函数图象为（ 　　） A. B. C. D. 7.已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·湖南湘潭·二模）已知函数的值域是，则（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽铜陵·模拟）（多选）函数的部分图象如图所示，则（ 　　） A. B. 的图象关于中心对称 C. 在内单调递增 D. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 10.（2026·山东东营·一模）（多选）已知曲线，点在曲线上，则下列结论正确的是（ 　　） A. 曲线有4条对称轴 B. 的最小值是 C. 曲线围成的图形面积为 D. 的最大值是 11.（2025·河北沧州·二模）（多选）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则（ 　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数＿＿＿＿＿＿. 13.定义在上的函数满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 14.若函数，，则函数的零点个数为＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数的图象如图所示.判断实数的符号或值，并说明理由. 16.（15分）已知函数的部分图象如图所示. （1） 求函数的解析式； （2） 求的值. 17.（15分）（2026·湖南株洲·一模）已知一个正方形的四个顶点均在曲线上，求该正方形的面积. 18.（17分）（2024·河北·模拟）已知函数. （1） 求函数的零点； （2） 判断函数在区间和上的符号. 19.（17分）已知函数. （1） 当时，解关于的方程； （2） 若关于的方程恰有三个不相等的实数解，求实数的取值集合. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $