第10讲 对数与对数函数·综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦对数与对数函数核心内容，通过多地区模拟题构建从概念运算到性质应用再到实际建模的递进训练体系 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|选择1-2、填空12-13|对数定义与运算性质|从指数与对数互化切入，强化运算规则推导| |性质应用|选择4-6、填空14、解答15|单调性、奇偶性及参数范围|结合函数图像分析，构建性质应用逻辑链| |实际情境|选择3、7|风力等级、文件处理等模型|以对数函数为工具，体现数学建模与数据应用| |综合探究|选择8、11，解答17-19|函数综合与不等式证明|整合函数性质与代数推理，发展逻辑思维与创新意识|

第10讲 对数与对数函数·综合测试 （考试时间：120分钟　试卷满分：150分） 注意事项 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·长沙雅礼·5月模拟）（ 　　） A. B. C. D. 2.（2026·宁波十校·3月联考）设是与的等差中项，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 3.（2026·福建龙岩·3月检测）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加（ 　　） A. 3min B. 6min C. 9min D. 24min 4.函数的单调递区间为（ 　　） A. B. C. D. 5.若函数在上单调，则的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 6.已知是方程的根，是方程的根，则的值为（ 　　） A. B. C. D. 7.（2026·百师联盟·5月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：）（ 　　） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（ 　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是（ 　　） A. B. C. D. 10.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则（ 　　） A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 11.（2026·南雅中学·检测）（多选）设，，，则有（ 　　） A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·山东泰安·二模）已知实数，且，若，则＿＿＿＿＿＿. 13.计算的值为＿＿＿＿＿＿. 14.若函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数. （1） 若，求的值； （2） 若对任意的，恒成立，求的取值范围. 16.（15分）已知. （1） 当时，求函数的值域； （2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 17.（15分）已知函数同时具有下列性质： ① ； ② 当时，单调递减； ③ 为偶函数. （1） 请写出一个符合条件的函数的解析式； （2） 证明你所写的函数满足上述三个性质. 18.（17分）已知函数. （1） 求函数在区间上的最小值； （2） 若对，使得，求实数的取值范围. 19.（17分）已知正实数满足：. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数与对数函数 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A C B B D 6 7 8 9 10 A B A BC BC 11 12 13 14 15 BCD （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）当时，当时，当时 （1）（答案不唯一） （2）证明见解析 （1） （2） （1）证明见解析 （2） 1.（2026·雅礼中学·5月模拟） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】. 【点拨】本题考查对数的运算性质以及二倍角的正弦公式. 2.（2026·宁波十校·3月联考）设是与的等差中项，则的值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵是与的等差中项，∴，即，∴. 【点拨】本题考查等差中项的性质及对数的运算. 3.（2026·龙岩市·3月检测）某云计算平台处理文件量（单位：GB）的所需时间（单位：），其中为常数.已知处理文件量从9GB增加到729GB时，处理时间增加12min；当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加 A. 3min B. 6min C. 9min D. 24min 【答案】B 【解析】由题意可得，解得， ∴当处理文件量从729GB增加到6561GB时，处理时间增加. 【点拨】本题考查对数函数模型在实际问题中的应用，先求出参数是解题关键. 4.函数的单调递区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 令，又在定义域内为减函数， 故只需求函数在定义域上的单调递减区间， 又∵函数在上单调递减， ∴的单调递增区间为. 【点拨】本题考查复合函数的单调性，注意复合函数“同增异减”的原则，求解时必须在定义域内进行.注：原卷题目“单调递区间”实为“单调递增区间”之误. 5.若函数在上单调，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】若在上单调递增，则，解得， 若在上单调递减，则，解得. 综上得. 【点拨】本题考查分段函数的单调性，需分单调递增和单调递减两种情况讨论，并注意分界点处的函数值大小关系. 6.已知是方程的根，是方程的根，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】方程可变形为方程，方程可变形为方程， ∵是方程的根，是方程的根， ∴是函数与函数的交点横坐标，是函数与函数的交点横坐标， ∵函数与函数互为反函数， ∴函数与函数的交点横坐标等于函数与函数的交点纵坐标， 即在函数图象上， 又∵图象上点的横纵坐标之积为，∴. 【点拨】本题考查反函数的性质及函数交点问题，将方程的根转化为函数交点是解题关键. 7.（2026·百师联盟·5月模拟）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 【答案】B 【解析】将代入方程，得， ∴，即风力等级约为11级. 【点拨】本题考查对数在实际问题中的应用，将已知数据代入模型进行对数运算即可. 8.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的解集是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，，∴， ∵函数是定义在上的奇函数，∴， ∴当时，， ∴， 要解不等式，只需或或， 解得或或， 综上，不等式的解集为. 【点拨】本题考查奇函数的性质及对数不等式的解法，利用奇偶性求出时的解析式是关键. 9.（2026·南京市·二模）已知，且，则下列不等式可能成立的是 A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】若，由，得，此时或（即）； 若，由，得，此时或（即）. 综上所述，可能成立的是B、C. 【点拨】本题考查对数函数的单调性，需分和两种情况讨论. 10.（2025·保定市·二模）若函数，则 A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 【答案】BC 【解析】∵，， ∴为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确； ，故选项B正确； ，故选项D错误. 【点拨】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，化简解析式时需注意定义域. 11.（2026·南雅中学·检测）设，，，则有 A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】由题设，则，定义域为，A错； 由，∴为偶函数，B对； 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， ∴在上单调递减，C对； 当时，令，则在定义域上单调递增， 原不等式等价于. 根据单调性，此不等式成立的条件为，即. ∵题设条件为，且对于任意实数都有，∴恒成立. 因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确. 【点拨】本题考查对数函数的定义域、奇偶性及单调性的综合应用，构造函数是判断D选项的关键. 12.（2026·泰安市·二模）已知实数，且，若，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，两边取以为底的对数，得，即，因为，所以，即，解得. 【点拨】本题考查对数的运算性质，两边取同底的对数是解题的关键. 13.计算的值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】原式. 【点拨】本题考查对数的换底公式及运算性质，熟练掌握公式是解题关键. 14.若函数有最小值，则的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当时，外层函数为减函数，对于内层函数，，则对任意的实数恒成立，由于二次函数有最小值，此时函数没有最小值； 当时，外层函数为增函数，对于内层函数，函数有最小值，若使得函数有最小值，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【点拨】本题考查复合函数的单调性与最值，需分和讨论，并注意真数大于0的条件. 15.（13分）已知函数. （1） 若，求的值； （2） 若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ∵，∴， 2 分 ∴，∴， 4 分 解得. 6 分 （2） 由，得，即， 即或. 8 分 当时，，则或， ∵，则不成立， 由可得，得； 10 分 当时，，则或， ∵，则不成立，∴，解得. 12 分 综上，的取值范围是. 13 分 【点拨】本题考查对数函数的性质及恒成立问题，换元法解一元二次不等式以及分类讨论底数是解题的关键. 16.（15分）已知. （1） 当时，求函数的值域； （2） 对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，当时，当时 【解析】（1） ∵， 令， 2 分 ∵，∴， 4 分 所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. 6 分 （2） 由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， 8 分 ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值，此时， 于是； 10 分 ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，； 12 分 ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 14 分 综上可得：当时，当时，当时，. 15 分 【点拨】本题考查对数函数的复合函数值域及恒成立问题，分离参数法和基本不等式的结合是解题关键. 17.（15分）已知函数同时具有下列性质： ① ； ② 当时，单调递减； ③ 为偶函数. （1） 请写出一个符合条件的函数的解析式； （2） 证明你所写的函数满足上述三个性质. 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明见解析 【解析】（1） 符合条件的函数解析式可以为（答案不唯一）. 6 分 （2） 证明： 对于性质①：，故满足性质①. 9 分 对于性质②：当时，，因为底数，所以在上单调递减，故满足性质②. 12 分 对于性质③：函数的定义域为，关于原点对称.且，所以为偶函数，故满足性质③. 15 分 【点拨】本题考查对数函数的抽象性质，根据性质特征构造具体的对数函数是解题关键. 18.（17分）已知函数. （1） 求函数在区间上的最小值； （2） 若对，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） ∵，其对称轴为， 4 分 ∴在上单调递增， ∴. 7 分 （2） ∵对，使得， ∴， 11 分 由（1）知， 又∵在上单调递增， ∴， 14 分 ∴，解得， 即. 17 分 【点拨】本题考查二次函数与对数函数的最值问题，理解“任意”与“存在”量词转化为最值关系是解题关键. 19.（17分）已知正实数满足：. （1） 证明：； （2） 求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1） 证明：由可得：， ∴， 即， 3 分 设，， ∴在上单调递增， 6 分 ∴， 则. 8 分 （2） 由（1）知，∴， ∴， 10 分 令，， 13 分 令，解得：；令，解得：； ∴在上单调递减，在上单调递增， 16 分 ∴. 故的最小值为. 17 分 【点拨】本题考查利用同构思想解决等式问题，以及利用导数求函数最值，构造合适的函数是解题关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $