第10讲 对数与对数函数·分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦对数运算、函数性质及综合应用，通过分类考法系统覆盖高频题型，注重数学应用与核心素养培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点一：对数运算及对数方程、对数不等式|25题|以化简求值、方程求解、不等式求解为主，含风电、溶液pH等实际应用|从对数运算法则、换底公式到方程不等式求解，再到实际问题建模，构建“运算-求解-应用”逻辑链| |考点二：对数函数的图像与性质|14题|涵盖图像识别与变换、定点求解、单调性、比较大小及最值问题|围绕对数函数概念，从图像特征到性质应用，形成“图像-性质-应用”认知路径| |考点三：对数函数的综合应用|19题|包括图像解不等式、恒成立求参、指对交点、同构思想及复合函数应用|整合函数性质与代数推理，体现“性质综合-方法迁移-复杂问题解决”的递进关系|

第10讲 对数与对数函数 · 分类练习 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值 1.（2026·山东淄博·一模）已知，则 A. B. C. D. 2.（2026·广东中山·二模）已知函数且，若，则 A. 3 B. 2 C. 4 D. 3.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知，则 A. B. C. D. 4.（2026·湖南·3月联考）化简 A. B. C. 5 D. 3 5.（2026·河南百师联盟·5月联考）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到 32 ，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：） A. 9 级 B. 11 级 C. 13 级 D. 15 级 6.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）若，，则 A. B. C. D. 7.（2026·河南湘豫联盟·4月检测）已知正数均不等于 1，且，则＿＿＿＿＿＿. 8.＿＿＿＿＿＿． 9.（2026·湖北十堰·一模）已知函数，则＿＿＿＿＿＿ . 考法2：解对数方程及求参数 10.（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则 A. B. C. D. 1 11.（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数 A. B. C. D. 12.已知，则＿＿＿＿＿＿． 13.方程的解集为＿＿＿＿＿＿． 14.设，满足，则＿＿＿＿＿＿． 考法3：利用单调性解对数不等式 15.（2026·湖南·5月联考）已知函数是定义在上的增函数.若，则的取值范围是 A. B. C. D. 16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）若，则的取值范围是 A. B. C. D. 17.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是 A. B. C. D. 18.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）（多选）若，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 19.（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 20.解关于的不等式解集为＿＿＿＿＿＿． 考法4：对数模型在实际情境中的应用 21.（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是 A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 22.（2026·河北石家庄一中·一模）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则 A. B. C. D. 23.（2026·蚌埠·二模）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即 625 个点）大小的二维码，若“黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码，1 万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，） A. 172 万年 B. 260 万年 C. 万年 D. 万年 24.（2025·江西鹰潭·二模）在 2019 年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为 128 比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为 128 比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 25.（2026·福建厦门·适应性测试）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: ) A. B. C. D. 考点二：对数函数的图像与性质 考法5：对数函数图像的识别与变换 26.已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 27.将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数的图象，则 A. B. C. D. 考法6：求对数型函数过定点 28.函数的图象恒过定点 A. B. C. D. 考法7：对数型函数的单调性及比较大小 29.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是 A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 30.（2025·江西上进联考·3月联考）函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 31.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知，则 A. B. C. D. 32.已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为 A. B. C. D. 33.（多选）若，则 A. B. C. D. 34.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿. 考法8：对数型函数的最值与值域 35.已知函数，则 A. 在单调递减，在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 有最小值，但无最大值 36.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则 A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 37.已知函数在上的最大值是 2，则等于＿＿＿＿＿＿ 38.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿ 39.若函数且在上的最大值为 2，最小值为，函数在上是增函数，则的值是＿＿＿＿＿＿． 考点三：对数函数的综合应用 考法9：利用图像解对数不等式 40.已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 41.（多选）当时，，则的值可以为 A. B. C. D. 42.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿． 考法10：对数不等式恒成立求参数范围 43.已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 44.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 45.已知函数，，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 46.已知函数. （1）若，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 47.已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意 ，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 考法11：指对函数交点与反函数对称性 48.（2025·河南H20高中联盟·4月联考）已知函数是的反函数，则 A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 49.若满足，满足，则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 50.已知，分别是方程和的根，若，实数，则的最小值为 A. 1 B. C. D. 2 51.（多选）已知，，，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 考法12：利用指对同构解方程或比较大小 52.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）若，则 A. B. C. D. 无法确定 53.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则 A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 54.（2026·河北金科大联考·2月联考）若，则 A. B. 1 C. 2 D. 55.（2026·山东日照·二模）已知正实数满足，则＿＿＿＿＿＿. 56.正数满足，则与大小关系为＿＿＿＿＿＿． 57.已知正实数满足：，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 考法13：对数型复合函数的综合应用 58.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）（多选）设，，且，则有 A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 对数与对数函数 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 D C B A B 6 7 8 9 10 C C 11 12 13 14 15 A B 16 17 18 19 20 B ACD BCD 21 22 23 24 25 C C C B B 26 27 28 29 30 D B A A B 31 32 33 34 35 A B ABD C 36 37 38 39 40 BC B 41 42 43 44 45 ABC 46 47 48 49 50 （1） （2） （1） （2）当时，当时，当时， C D D 51 52 53 54 55 ABD A C B 56 57 58 BCD 考点一：对数运算及对数方程、对数不等式 考法1：利用对数运算法则及换底公式化简求值 1.（2026·山东淄博·一模）已知，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，故选D. 【点拨】本题考查对数的运算性质及指数与对数的互化. 2.（2026·广东中山·二模）已知函数且，若，则 A. 3 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】由题意知，所以，即得. 【点拨】利用换底公式将对数化为同底数，再结合对数的运算法则求解. 3.（2026·湖南师大附中·5月模拟）已知，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，，，，. 【点拨】利用对数换底公式的推论进行转化，再利用对数的加法法则求解. 4.（2026·湖南·3月联考）化简 A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】. 【点拨】利用对数的加法法则和指数的运算法则进行化简，注意的应用. 5.（2026·河南百师联盟·5月联考）风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）.我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到 32 ，则该瞬时风速对应的风力等级约为（注：） A. 9 级 B. 11 级 C. 13 级 D. 15 级 【答案】B 【解析】将代入方程，得，所以，即风力等级约为11级.故选B. 【点拨】将已知数据代入关系式，结合对数运算性质及已知近似值计算即可. 6.（2026·湖南衡阳八中·适应性测试）若，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由可得：.则. 【点拨】先将指数式化为对数式，再利用换底公式将不同底的对数化为同底数计算. 7.（2026·河南湘豫联盟·4月检测）已知正数均不等于 1，且，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由，得，则；由，得，则. 【点拨】利用对数与指数的互化，将未知对数转化为已知对数的运算. 8.＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】. 【点拨】利用对数恒等式、指数幂的运算以及对数的性质进行化简求值. 9.（2026·湖北十堰·一模）已知函数，则＿＿＿＿＿＿ . 【答案】 【解析】因为函数，且，所以，故. 【点拨】根据分段函数的解析式，由内向外逐层代入计算即可. 考法2：解对数方程及求参数 10.（2026·浙江台州·二模）已知实数，，若，，则 A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】，故，，故，，，故，所以，因为，所以，所以. 【点拨】利用对数的定义将对数式化为指数式，求出的值，再代入目标式计算. 11.（2026·山东泰安·一模）已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数. 方程即，所以，解得，即或. 设四个实根从小到大依次为，则. 因为成等差数列，所以，即. 两边同乘，得，即，所以. 【点拨】利用换元法和绝对值的性质求出方程的根，再根据等差数列的性质列式求解. 12.已知，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题设，则且，所以，即，故. 【点拨】将指数式化为对数式，利用换底公式统一底数，构造关于的方程求解. 13.方程的解集为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，则，解得，所以方程的解集为. 【点拨】解对数方程时，必须保证真数大于0，转化为代数方程组求解. 14.设，满足，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】令，则，所以，整理得，解得（负值舍去），所以. 【点拨】利用设法将对数方程转化为指数方程，再通过齐次式的处理方法求比值. 考法3：利用单调性解对数不等式 15.（2026·湖南·5月联考）已知函数是定义在上的增函数.若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的增函数，由，得，即，所以，解得，即的取值范围是. 【点拨】利用函数的单调性脱去函数符号“”，转化为对数不等式求解，注意对数的真数大于0. 16.（2026·稳派智慧上进教育联考·3月检测）若，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，若，则，即，无解；若，则，即，恒成立；所以；由，且，得，解得；由，且，得，解得；综上所述，的取值范围是. 【点拨】分类讨论对数函数的底数，结合指数函数与对数函数的单调性解不等式组. 17.（2026·江苏南京·二模）（多选）已知，且，则下列不等式可能成立的是 A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由，即，当时，，又，所以或；当时，，又，所以或.综上可知，或或或. 【点拨】根据对数函数的单调性，对底数进行分类讨论，得出的大小关系. 18.（2026·湖南长郡二十校联盟·第二次联考）（多选）若，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，，则，当时，，则，故A错误；对于B，因为，所以，且，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误. 【点拨】利用对数函数的单调性判断对数值的符号及范围，结合基本不等式和绝对值的性质进行判断. 19.（2025·福建宁德·三模）设函数，则满足的的取值范围是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由可得，则，解得，所以定义域为，当时，，由可得，即，无解；当时，，由可得，即，即，解得，又，所以，即不等式的解集为. 【点拨】先求出函数的定义域，再分段去绝对值，将绝对值不等式转化为对数不等式求解. 20.解关于的不等式解集为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化为，有，解得，因此，所以不等式解集为. 【点拨】将不等式转化为同底数对数不等式，利用对数函数的单调性脱去对数符号，转化为指数不等式求解. 考法4：对数模型在实际情境中的应用 21.（2026·广东汕头·一模）溶液酸碱度用值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是 A. 已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B. 已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C. 溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D. 溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【解析】对于A，令，则摩尔/升，故A错误；对于B，胃酸的，故B错误；对于C，当摩尔/升时，根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确；对于D，当摩尔/升时，根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小，故D错误. 【点拨】根据对数函数的单调性及值的定义，分析氢离子浓度与酸碱性的关系. 22.（2026·河北石家庄一中·一模）在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知：，，联立方程组，消去可得：. 【点拨】利用对数的运算法则将音分差表达式展开，通过消元法找到与的线性关系. 23.（2026·蚌埠·二模）二维码又称二维条码，通常根据某种特定的几何图形和规律，在二维平面上利用黑白相间的图形来记录数据信息，因其信息容量比普通条码约高几十倍，而成为目前移动设备上的主流编码方式．某二维码生成器可以生成（即 625 个点）大小的二维码，若“黑点”表示 1，“白点”表示 0，根据 0 和 1 的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们 1 秒用掉 1 万个二维码，1 万年约为秒，那么该二维码生成器生成的二维码大约可以用（，） A. 172 万年 B. 260 万年 C. 万年 D. 万年 【答案】C 【解析】依题意，该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年，，因此，所以该二维码生成器生成的二维码大约可以用万年. 【点拨】利用常用对数估算大数的值，将指数运算转化为对数运算. 24.（2025·江西鹰潭·二模）在 2019 年中共政治局第十八次集体学习中，习近平总书记提出：“把区块链作为核心技术自主创新的重要突破口”，“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中．在区块链技术中，若密码的长度为 128 比特，则密码一共有种可能性，因此为了破译此密码，最多需要进行次运算．现在有一台机器，每秒能进行次运算，假设这台机器一直正常运转，则这台机器破译长度为 128 比特的密码所需要的最长时间约为（参考数据：） A. 秒 B. 秒 C. 秒 D. 秒 【答案】B 【解析】设所需时间为秒，则，则，即，秒. 【点拨】根据题意列出指数方程，两边取常用对数，利用对数运算法则进行估算. 25.（2026·福建厦门·适应性测试）某工厂的产量(单位:件)与资本投入(单位:万元)、劳动投入(单位:人)满足柯布—道格拉斯生产函数(其中为常数).在劳动投入不变的前提下,要使该工厂的产量提升,资本投入需增加,则该工厂资本产出的弹性系数约为(参考数据: ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意知，，当劳动投入不变时，产量提升，资本投入增加，则，即，所以，即，两边取常用对数，得，即，所以，代入数据得，解得. 【点拨】根据题意列出变化前后的函数关系式，作商后两边取对数，利用对数运算法则求解参数. 考点二：对数函数的图像与性质 考法5：对数函数图像的识别与变换 26.已知函数( 为常数，其中且 ) 的图象如图所示，则下列结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点，所以，解得． 【点拨】根据对数函数的单调性确定底数的范围，再代入特殊点求出平移量. 27.将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数的图象，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】将函数的图象向上平移 1 个单位长度，得到函数. 【点拨】利用函数图象平移规律“上加下减，左加右减”直接写出解析式. 考法6：求对数型函数过定点 28.函数的图象恒过定点 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，即函数图象恒过. 【点拨】利用对数函数恒过定点的性质，令真数等于1求解. 考法7：对数型函数的单调性及比较大小 29.（2026·广东东莞·一模）设且，下列各项中，能推出的一项是 A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】A 【解析】或，观察选项，只有A能推出. 【点拨】利用对数函数的性质，同大同小则对数值为正. 30.（2025·江西上进联考·3月联考）函数的单调递增区间为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由，得，即或.由二次函数的单调性，可得的单调递增区间为. 【点拨】先求出复合函数的定义域，再根据“同增异减”法则确定单调区间. 31.（2025·江西九师联盟·5月检测）已知，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】，. 【点拨】利用对数函数的单调性及基本不等式放缩，判断对数式的大小. 32.已知函数，若在上为减函数，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设函数，因为在上为减函数，所以在上为减函数，则解得，又因为在恒成立，所以解得，所以的取值范围为. 【点拨】根据复合函数的单调性“同增异减”法则，结合内层函数在区间上恒大于0求解. 33.（多选）若，则 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】因为，所以，则，选项A，，故A正确；选项B，因为，且，所以，故B正确；选项C，因为，故C错误；选项D，因为，故D正确. 【点拨】将指数式化为对数式，利用对数的运算性质和基本不等式进行比较. 34.（2025·河北衡水中学·综合素质评价）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】函数的图象与的图象关于直线对称，则函数，所以，令，解得，由于，所以在上单调递增，在上单调递减，又是增函数，所以函数的递增区间是. 【点拨】先求出反函数的解析式，再利用复合函数的单调性法则求单调区间. 考法8：对数型函数的最值与值域 35.已知函数，则 A. 在单调递减，在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图像关于直线对称 D. 有最小值，但无最大值 【答案】C 【解析】由题意可得函数的定义域为，则，因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递减，A，B错误；由于，故的图像关于直线对称，C正确；因为在时取得最大值，且在上单调递增，故有最大值，但无最小值，D错误. 【点拨】先求出函数的定义域，化简解析式后，利用复合函数的性质分析单调性、对称性和最值. 36.（2025·河北保定·二模）（多选）若函数，则 A. 为减函数 B. C. 的值域为 D. 【答案】BC 【解析】因为，，所以为增函数，的值域为，故选项A错误，选项C正确；，故选项B正确；，故选项D错误. 【点拨】利用对数运算法则化简解析式，注意保持定义域不变，再分析函数的性质. 37.已知函数在上的最大值是 2，则等于＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】当时，函数在上单调递增，则，解得，当时，函数在上单调递减，则，无解，综上，等于2. 【点拨】对底数进行分类讨论，根据对数函数的单调性求出最值点并解方程. 38.（2025·江西三新教研共同体·3月联考）已知函数在上的最小值是 1，则＿＿＿＿＿＿ 【答案】 【解析】令，由于在上单调递增，所以在上的最小值为 2.其对称轴为，当时，，解得；当时，，无解；当时，，解得（舍去）.综上，. 【点拨】利用复合函数的单调性，将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，分类讨论对称轴的位置求解. 39.若函数且在上的最大值为 2，最小值为，函数在上是增函数，则的值是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】当时，函数是正实数集上的增函数，而函数在上的最大值为2，因此有，解得，所以，此时在上是增函数，符合题意，因此；当时，函数是正实数集上的减函数，而函数在上的最大值为2，因此有，，所以，此时在上是减函数，不符合题意.综上所述，. 【点拨】分类讨论对数函数的底数，求出最值后，再代入另一个函数检验单调性. 考点三：对数函数的综合应用 考法9：利用图像解对数不等式 40.已知函数，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，不等式，即，等价于在上的解，令，，则不等式为，在同一坐标系下作出两个函数的图象，可得不等式的解集为. 【点拨】将不等式转化为两个基本初等函数的大小比较，利用数形结合思想求解. 41.（多选）当时，，则的值可以为 A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】分别记函数，由图1知，当时，不满足题意； 当时，如图2，要使时，不等式恒成立，只需满足，即，即，解得. 故选ABC. 【点拨】利用数形结合思想，结合指数函数与对数函数的图象，将恒成立问题转化为临界点的不等式求解. 42.不等式的解集为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由，在同一直角坐标系内画出函数的图象， 因为，所以由函数的图象可知：当时，有，故答案为：. 【点拨】分离变量，构造两个函数，画出函数图象，利用数形结合法求不等式的解集. 考法10：对数不等式恒成立求参数范围 43.已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得. 【点拨】将存在性与任意性问题转化为两个函数最值之间的不等关系，分别求出极值后再求解. 44.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，不等式恒成立，所以对恒成立.记，，只需.因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递减，所以，所以. 【点拨】分离参数，将恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用函数的单调性求解. 45.已知函数，，对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】函数在上单调递增，在上单调递增，，，对任意的有恒成立，，即，解得，实数的取值范围是. 【点拨】将任意性问题转化为两个函数的最值比较，分别求出各自区间上的最值即可. 46.已知函数. （1）若，求的值； （2）若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为，所以，所以，所以，解得. （2）由，得，即，即或. 当时，，则或，因为，则不成立，由可得，得； 当时，，则或，因为，则不成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 【点拨】利用换元法解一元二次不等式，再结合对数函数的单调性分类讨论求解参数范围. 47.已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意 ，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，当时，当时， 【解析】（1）因为，， 令， ，，所以当，即时取最大值，当或2，即或时取最小值， 函数的值域为. （2）由得， 令，，， 对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ，当且仅当，即时取等号，即的最小值为，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时，. 【点拨】通过换元法将问题转化为二次函数在闭区间上的最值问题，再利用参变分离法处理恒成立问题. 考法11：指对函数交点与反函数对称性 48.（2025·河南H20高中联盟·4月联考）已知函数是的反函数，则 A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】因为，所以，所以.故选C. 【点拨】根据对数函数与指数函数互为反函数的关系，求出反函数的解析式再代入计算. 49.若满足，满足，则等于 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】由题意，故有，故和是直线和曲线、曲线交点的横坐标.根据函数和函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，故曲线和曲线的图象交点关于直线对称.即点和点构成的线段的中点在直线上，即，求得，故选D. 【点拨】利用互为反函数的两个函数图象关于直线对称，结合直线方程求交点坐标的和. 50.已知，分别是方程和的根，若，实数，则的最小值为 A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】；.函数与函数的图象关于直线对称，由解得，设，则，即，，令，则，则，当且仅当时等号成立.故选D. 【点拨】利用反函数的对称性求出两根之和，再通过代数代换和基本不等式求出目标式的最小值. 51.（多选）已知，，，则以下结论正确的是 A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数图象交点的横坐标， 由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，所以的图象也关于对称，又两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，所以，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，所以在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，即不等式取不到等号)，故D正确． 【点拨】构造函数，利用反函数图象的对称性找到交点坐标的关系，再结合导数和基本不等式进行判断. 考法12：利用指对同构解方程或比较大小 52.（2024·江西上饶六校联盟·5月模拟）若，则 A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】令，则，即，因为，当时，，单调递增，所以，即，故选A. 【点拨】构造函数，利用函数的单调性将方程转化为自变量相等，再比较大小. 53.（2026·山东泰安·二模）实数满足，则 A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】设，则，设，则，因为，所以，因为在上单调递增，所以，即，所以.故选C. 【点拨】通过构造函数，发现两个函数之间的复合关系，利用单调性得出变量间的等式，再代入求值. 54.（2026·河北金科大联考·2月联考）若，则 A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】易知，且，由，得，即，所以，即，因为函数单调递增，所以，所以，即.故选B. 【点拨】将对数方程转化为指数方程，构造单调递增的函数，利用单调性得出变量关系. 55.（2026·山东日照·二模）已知正实数满足，则＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知正实数满足，即，则，即，则，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，所以，即，解得，所以. 【点拨】通过代数变形构造同构函数，利用导数分析函数的单调性与最值，结合等式成立的条件求出参数值. 56.正数满足，则与大小关系为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，所以，设，则，所以，又因为与在上单调递增，所以在上单调递增，所以. 【点拨】将等式变形为两边结构相同的形式，构造函数利用单调性比较大小. 57.已知正实数满足：，则的最小值为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由可得：, 所以，设，所以在R上单调递增，所以，则，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故的最小值为. 【点拨】通过对数与指数的互化构造同构函数，利用单调性得出变量关系，再利用导数求最值. 考法13：对数型复合函数的综合应用 58.（2026·湖南长沙南雅中学·适应性保温训练）（多选）设，，且，则有 A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】由题设，则，定义域为，A错，由，所以为偶函数，B对，由题设，定义域为，由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，C对，当时，令，则在定义域上单调递增，原不等式等价于.根据单调性，此不等式成立的条件为，即.因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立.因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确. 【点拨】利用对数函数的定义域、奇偶性定义判断A、B；结合复合函数的单调性判断C；将不等式转化为函数值大小比较，利用单调性脱去函数符号判断D. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $