1.7 位似 课件 2026-2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦位似图形的定义、性质、画法及平面直角坐标系中的位似变换，通过对比相似图形引入，搭建从相似到特殊位似的学习支架，帮助学生明确知识脉络。 其亮点是以“逐点导讲练”贯穿教学，结合判断位似图形、坐标系中坐标变换等例题，培养几何直观与推理能力。通过放映机原理等实际应用，渗透应用意识，课堂小结系统梳理知识，助力学生发展数学思维，也为教师提供丰富教学资源。

1.7 位似 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 位似图形的定义 位似图形的性质 位似图形的画法 平面直角坐标系中的位似变换 知识点 位似图形的定义 知1－讲 1 位似图形 的定义 取定一个点O，把一个图形上每一个点P 对应到射线OP (或射线OP 的反向延长线)上的点P'，使得=|k|，其中k 是非零常数，当k>0 时，点P′在射线OP 上，当k<0 时，点P' 在射线OP 的反向延长线上，特别地，点O 对应到它自身. 我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点O叫作位似中心，常数k 叫作位似比 感悟新知 知1－讲 归纳 如果两个图形的对应点连线交于一点，并且对应点到这点的距离成比例，那么这两个图形叫作位似图形，这一点叫作位似中心 感悟新知 知1－讲 图示 △ ABC 与△ A'B'C' 是以O1 为位似中心的位似图形；四边形 ABCD 与四边形A'B'C'D' 是以O2 为位似中心的位似图形；五边形ABCDE 与五边形A'B'C'D'E' 是以O3 为位似中心的位似图形 感悟新知 知1－讲 注意 (1)两个位似图形的位似中心一般只有一个. (2)位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形的内部或边上或某一个顶点处. 常见位 似图形的类形如图1.7-1 所示. 感悟新知 知1－讲 特别解读 位似与相似的关系： (1)相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线所在直线相交于一点； (2)如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，因此，位似是相似的特殊情况. 感悟新知 知1－练 判断如图1.7-2 所示的各图中的两个图形是不是位似图形，如果是，请指出其位似中心. 例1 感悟新知 知1－练 解题秘方：首先看两个图形是否相似，然后看这两个图形的对应顶点的连线是否交于一点. 解：(1)是位似图形，位似中心为点A；(2)不是位似图形； (3)是位似图形，位似中心为点O. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1.下列各选项中的两个相似图形不是位似图形的是( ) D 知2－讲 知识点 位似图形的性质 2 若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行(或在同一条直线上). 结合位似图形的定义，还可以得到位似图形的以下性质： 感悟新知 知2－讲 (1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； (2)位似图形的对应线段互相平行(或在同一条直线上)； (3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比的绝对值(适用于对应点到位似中心的距离不等于0 的情况)； (4)位似图形是特殊的相似图形，它具有相似图形的一切性质. 感悟新知 知2－讲 示例图 如图1.7-3 ，△ABC与△DEF位似. ＝＝＝k； 直线AD，BE，CF交于一点O； AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF； △ABC∽△DEF， 位似比为k. 相等 感悟新知 知2－练 找出如图1.7-4 所示的位似图形的位似中心. 解题秘方：紧扣“位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心”确定位似中心. 例2 感悟新知 知2－练 解：如图1.7-5，点P1，P2，P3即为所求的位似中心. 感悟新知 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，正方形网格图中的△ ABC与△ A′B′C′是位似图形，则位似中心是(　　) A. 点D B. 点E C. 点F D. 点G A 感悟新知 知2－练 如图1.7-6，△ ABC与△ A′B′C′关于点O位似，AO=3，A′O=6. (1)若AC=5，求A′C′的长； (2)若△ABC的面积为7，求△A′B′C′的面积. 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：位似图形一定是相似图形，所以位似图形的有关计算问题大多转换为相似图形的计算问题来解决. 知2－练 感悟新知 解：(1)因为△ABC与△A'B'C'是位似图形，AO∶A'O=3∶6=1∶2， 所以△ABC∽△A'B'C'，且相似比为. 所以=，即=，解得A'C'=10. (2)根据题意，得=()2=，即=， 所以S△A′B′C′=7×4=28. 知2－练 感悟新知 3-1. 如图， △ ABC和△ A1B1C1 是以点 O为位似中心的位似三角形，若C1 为OC 的中点，且△ A1B1C1的面积为3，求△ A BC 的面积. 知2－练 感悟新知 解：因为△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形，C1为OC的中点， 所以△A1B1C1∽△ABC，且相似比为， 所以=()2=. 又因为S△A1B1C1=3，所以S△ABC=4×3=12. 知3－讲 知识点 位似图形的画法 3 1. 位似变换：利用位似图形的性质将一个图形进行放大或缩小叫作位似变换. 注意 当位似比|k|>1 时，图形扩大为原来的|k| 倍；当位似比|k|<1 时，图形缩小为原来的|k|. 感悟新知 知3－讲 2. 画位似图形的一般步骤 (1)确定位似中心； (2)确定原图形的关键点(一般是顶点)，分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长(或截取)； (3)根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置； (4)顺次连接各点，得到放大或缩小后的图形. 感悟新知 知3－讲 注意 (1)画位似图形时要弄清位似比，即分清是已知图形与新图形的位似比，还是新图形与已知图形的位似比； (2)一般情况下，已知位似中心和位似比，已知图形的位似图形不唯一. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1. 一般情况下，位似中心要使画图方便且符合要求. 2. 以一点为位似中心画位似图形时，符合要求的图形往往不唯一，一般情况下，同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形. 感悟新知 知3－练 [母题教材P46 练习T2]如图1.7-7，已知点P 和△ABC，请以点P为位似中心将△ ABC 放大为原来的2 倍. 例4 感悟新知 知3－练 思路导引： 感悟新知 知3－练 解：如图1.7-7，(1)画射线AP，BP，CP； (2)在射线 AP，BP，CP 上分别取点 A'，B'，C'， 使PA'=2PA，PB'=2PB，PC'=2PC； (3)依次连接点 A'，B'，C'，则△ A'B'C' 即 为所求图形. 同理作出△ A"B''C''. 所以以点P为位似中心将△ ABC 放大为 原来的2 倍为△ A'B'C' 或△ A"B"C". 感悟新知 知3－练 感悟新知 4-1. 如图，已知四边形ABCD，以点A 为位似中心，把四边形ABCD放大为原来的2 倍. 知3－练 解：当原图形与新图形在点A同侧时，如图①，四边形AB1C1D1就是所求作的图形；当原图形与新图形在点 A 异侧时，如图②，四边形 AB2C2D2就是所求作的图形 . 感悟新知 知4－讲 知识点 平面直角坐标系中的位似变换 4 1. 平面直角坐标系中的位似图形：在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点)分别扩大或缩小至原来的k倍(k>0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k. 感悟新知 知4－讲 2. 平面直角坐标系中位似变换的规律：在平面直角坐标系中，把一个多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k 倍(k>0)，则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的k 倍的图形. 感悟新知 知4－讲 3. 位似与平移、轴对称、旋转变换的对比 名称 规律 变换方式 平移 对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度 全等变换 轴对称 若以x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；若以y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 感悟新知 知4－讲 名称 规律 变换方式 旋转 若一个图形绕原点旋转 180°，则旋转前后的两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数 全等变换 位似 若以原点为位似中心，则变换前后两个图形对应点的横坐标和纵坐标之比等于位似比 相似变换(扩大、缩小或不变) 感悟新知 知4－讲 特别解读 在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k. 当位似图形在原点同侧时，其对应顶点坐标的比为k，此时k>0; 当位似图形在原点两侧时，其对应点坐标的比为k，此时k<0. 感悟新知 知4－练 [母题 教材 P48 例]如图1.7-8，已知O是坐标原点， B，C两点的坐标分别为(3，－1)，(2，1). (1)以 O 为位似中心，作△ OBC 的位似图 形，位似比为 -2(点 B与点 B' 对应， 点 C 与点 C' 对应)； (2)分别写出 B，C 两点的对应点B'，C' 的坐标； (3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y)，试写出点 M 的对应点 M'的坐标 . 例5 感悟新知 知4－练 解题秘方：先根据位似中心及位似比作图，再利用位似变换时对应点的坐标变化规律求对应点的坐标. 感悟新知 知4－练 (1)以 O 为位似中心，作△ OBC 的位似图形，位似比为 -2(点 B与点 B' 对应，点 C 与点 C' 对应)； 解：如图3.6-10，延长BO到点B′，使OB′＝2OB. 延长CO到点C′，使OC′＝2OC，连接B′C′，则 △OB′C′就是要作的图形. 感悟新知 知4－练 (2)分别写出 B，C 两点的对应点B'，C' 的坐标； (3)如果△ OBC 内部一点 M 的坐标为(x，y)，试写出点 M 的对应点 M'的坐标 . 解：点B′，C′的坐标分别为(－6，2)，(－4，－2). 点M(x，y)的对应点M′的坐标为(－2x，－2y). 感悟新知 知4－练 感悟新知 5-1. 如图，在边长为 1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ ABC 的三个顶点均在格点(网格线的交点)上，以原点 O 为位似中心，将△ ABC 缩小为原来的，则点 B 的对应点 B1的坐标是_________________. (1， )或(-1，- ) 位 似 位似图形 定义 性质 画法 位似 平面直角坐标系中的位似变换 课堂小结 题型 用定义法判定图形位似 1 如图 1.7-9，图中的小方格都是边长为 1 的正方形，△ ABC 与△ A′B′C′的顶点都在格点上， △ A′B′C′与△ ABC 是位似图形吗？ 如果是，在图中画出位似中心， 并求出位似比 . 例6 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：由勾股定理，得AB= = ， BC= = 5 ，AC= =2 ， A'B'= =2，B'C'= 42+22 =2 ， A'C'= 42+82 =4 .因为 =2，=2，=2， 所以 == . 所以△ABC∽△A'B'C'. 综合应用创新 如图1.7-9，连接 A'A，B'B，C'C并延长相交于一点O，因 此△A'B'C' 与△ABC是位似图形，点O为位似中心 . 因为OA'=12，OA=6， 所以位似比为==2. 综合应用创新 特别警示 在判断△A′B′C′与△ABC是不是位似图形时，容易出现只考虑两个三角形的对应顶点的连线所在直线相交于一点，而没有证明两个三角形相似的情况 . 综合应用创新 题型 利用位似比法解位似中心不是坐标原点的位似变换问题 2 如图 1.7-10 所示，矩形 EFGO 的两边在坐标轴上，点 O 为平面直角坐标系的原点，以 y 轴 上的某一点为位似中心，作矩形EFGO 的位似图形矩形 ABCD，且点 B，F 的 坐标分别为(-4，4)，(2，1)，则位似中 心的坐标为( ) A.(0，3) B.(0，2.5) C.(0，2) D.(0，1.5) 例7 综合应用创新 解题秘方：作出辅助线，确定位似中心，结合题意，根据相似三角形的判定和性质求出位似中心的坐标 . 综合应用创新 解：如图 1.7-10，连接BF交 y 轴于点P， 则点P为位似中心 . 因为四边形 ABCD 和四边形 EFGO 是矩 形，点 B，F 的坐标分别为(-4，4)，(2，1)， 所以BC=4，GF=2，OC=4，OG=1. 所以CG=3. 易知BC∥GF，所以△BCP∽△FGP. 所以 = ，即 =. 所以GP=1. 所以OP=2. 所以点P的坐标为(0，2). 答案：C 综合应用创新 知识拓展 位似图形中坐标的变化规律： 将一个图形按照一定的位似比(k)放大或缩小，设位似中心的坐标为(a，b)，如果图形中某个点的坐标为 A(m，n)，那么变换后对应点 A′的横 坐标为 k(m-a)+a 或k(a-m)+a，纵坐标为 k(n-b)+b 或 k(b-n)+b. 综合应用创新 题型 利用位似变换解决实际问题 3 [新视角 条件开放题]我们都看过电影，其实放映机的原理就是利用了位似图形的知识 . 如图 1.7-11，光源可以看成位似中心，胶片与屏幕的距离是 6 m，光源到胶片的距离是 0.5 m，胶片上的四边形的面 积是25 cm2，周长是 20 cm，那么屏幕上 的四边形的面积是多少？周长是多少？ 例8 综合应用创新 解题秘方：由题意知，胶片上的四边形与屏幕上的四边形是位似图形，先求出相似比，然后由相似比得到面积的比、周长的比 . 综合应用创新 解：由题意知，胶片上的四边形与屏幕上的 四边形是位似图形，相似比为=. 设屏幕上的四边形的面积为 x cm2，周长为 y cm， 则=()2，=，解得 x=4 225，y=260. 经检验，x=4 225，y=260 分别是对应方程的解 . 答：屏幕上的四边形的面积是4 225 cm2，周长是260 cm. 综合应用创新 技巧点拨 位似图形的应用主要是位似图形性质的应用，解题时，需从实际问题中抽象出位似模型，利用位似图形(位似图形也是相似图形)的性质列方程求解 . 综合应用创新 易错点 位似中心不确定时忽略分类讨论而出错 3 如图 1.7-12，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似图形，点F 的坐标为(-1，1)，点 C 的坐标为(-4，2)，求 这两个正方形位似中心的坐标 . 例9 综合应用创新 解：由题意可知，大正方形的边长为2，小正方形的边长为1，大正方形与小正方形的相似比为 2. 如图 1.7-12，分两种情况: ①两个正方形位于位似中心的同侧， 连接CF并延长，交 x 轴于点M1， 则位似中心为点M1，此时 =2，即=2，所以OM1=2，所以M1 ( 2，0). 综合应用创新 ②两个正方形位于位似中心的异侧，连接OC，ED交于点M2，则位似中心为点M2，过点M2作M2N⊥ x 轴于点N，则M2N∥CD. 易得 = =2.又因为DN+NO=4，所以ON=. 综合应用创新 因为M2N∥CD，所以△OM2N∽△OCD. 所以 = = = ， 所以M2N= CD= ，所以M2 (- ，). 综上可知，位似中心的坐标是(2，0)或 (- ，). 综合应用创新 诊误区： 本题中位似的两个正方形的位似中心不确定，两个正方形可能在位似中心的同侧，也可能在位似中心的异侧 . 需要先分别确定位似中心，再利用位似的性质求解 . 综合应用创新 考法 利用位似变换求对应点的坐标 1 [中考·郴州] 如图1.7-13，在平面直角坐标系中，将△ AOB 以点O 为位似中心，为位似比作位似变换，得到△ A1OB1，已知A(2，3)，则点A1 的坐标是_________． 例10 (， 2) 中考风向标 试题评析：本题考查位似变换中点的坐标的变化规律，由已知点的坐标和位似比用乘法计算即可. 解：由题意得点A1的坐标是(×2，×3)， 即A1 (， 2). 中考风向标 考法 利用位似变换作图 2 [中考·安徽] 如图1.7-14，在由边长为1 个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ ABC 的顶点和A1 均为格点(网格线的交点)．已知点A 和A1 的坐标分别为(-1，-3)和(2，6)． 例11 中考风向标 试题评析：本题考查位似作图，掌握位似变换的性质是解题关键. 中考风向标 (1)在所给的网格图中描出边AB 的中点D，并写出点D 的坐标； 解：如图1.7-14，点D即为 边AB 的中点. 易得B(-3，1)，因为A(-1，-3)， 所以点D的坐标为(-2，-1)． 中考风向标 (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△ A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△ A1B1C1． 解：如图1.7-14，△A1B1C1 即为所求作的三角形. 中考风向标 1. 如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是(　　) A. △DEF B. △DFH C. △GEH D. △GDJ C 综合素养训练 2. 如图，以点O为位似中心，把△ABC的各边长扩大为原来的2 倍得到△ A'B'C'，下列说法中，错误的是(　　) A. AO∶AA'=1∶2 B. AC∥A'C' C. S△ABC∶S△A′B′C′=1∶4 D. A，O，A' 三点在同一条直线上 A 综合素养训练 3. [期末·衡阳雁峰区]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)，B(2，1)，C(3，2)，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△ A'B'C'，则顶 点C' 的坐标是(　　) A.( 2，4) B.( 4，2) C(. 6，4) D(. 5，4) C 综合素养训练 4. 在平面直角坐标系中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△ A'B'C'．若点A和它的对应点A' 的坐标分别为(3，7)，(-9，-21)，则位似比为________． -3 综合素养训练 5. 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将△ABC放大为原来的2 倍得到△ A'B'C'，若点A的坐标为(2，3)，则点A'的坐标为_______________． (4，6)或(-4，-6) 综合素养训练 6. 如图，△ ABC 和△ A'B'C 是以点C 为位似中心的位似图形，且△ A'B'C 和△ ABC 的面积之比为1∶4，点C 的坐标为(1，0)，若点A 的对应点A' 的横坐标为-2，则点A 的横坐标为________. 7 综合素养训练 7. 如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3，2)，B(-1，3)，C(-1，1)，请按如下要求画图： 综合素养训练 (1)以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1； 解：如图，△A1B1C1即为所求. 综合素养训练 (2)以坐标原点O为位似中心，作△ABC的位似图形△A2B2C2，位似比为-2. 解：如图，△A2B2C2即为所求. 综合素养训练 $