精品解析：湖北省武汉市江汉区2026年中考二模数学试卷

江汉区2026年中考二模数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 随着科技的发展，新能源汽车的市场占比逐渐增大，下列为新能源汽车车标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意； 选项B是中心对称图形不是轴对称图形，故不符合题意； 选项C既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； 选项D是轴对称图形不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷两颗质地均匀的骰子，得到的点数之和不小于2 B. 把一块铁放入水中，铁块浮起来 C. 买一张体育彩票，中大奖 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数有5次 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵质地均匀的骰子最小点数为，掷两颗骰子的最小点数和为， ∴点数之和不小于一定发生，A是必然事件； ∵铁块密度大于水，把铁块放入水中一定会下沉， ∴铁块浮起来是不可能事件，排除B； 买一张体育彩票中大奖，可能发生也可能不发生，是随机事件，排除C； 抛掷次硬币，正面朝上次数不一定为次，是随机事件，排除D；因此选A． 3. 在下列几何体中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图相同的几何体即可． 【详解】解：A、主视图是两个有公共边的长方形，左视图是一个长方形，不合题意，错误； B、主视图是两个有公共边的三角形，左视图是一个三角形，不合题意，错误； C、主视图是一个长方形，长方形内有两条实线，左视图也是一个长方形，但长方形内只有一条实线，不合题意，错误； D、主视图与左视图都是相同的正方形，符合题意，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解决问题的关键是掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图． 4. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度约为万，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据整式运算法则逐一判断：幂的乘方法则：；同底数幂乘法法则：；完全平方公式： 【详解】解：对A选项：，A错误． 对B选项：，计算符合法则，B正确． 对C选项：，C错误． 对D选项：，D错误． 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平角的性质求出，再根据，推出，结合题意推出的值，然后根据，推出，最后根据平角的性质即可求解． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余都相同，随机抽出其中两张，抽出的卡片为“中”“华”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：列表如下， 爱 我 中 华 爱 爱我 爱中 爱华 我 我爱 我中 我华 中 中爱 中我 中华 华 华爱 华我 华中 ∴总共有种等可能的结果，其中抽出卡片组成“中”“华”的结果有种，根据概率公式得，所求概率． 8. 某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（ ）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】先设商品每件的原价为元，根据题意可得超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为：，由图像可知，过点，代入求解即可． 【详解】设商品每件的原价为元， 超过件时，付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系为： ， 由图像可知，过点， ∴， 解得：， 答：商品每件的原价为元． 9. 如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为，设的半径为，分别根据勾股定理求得，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，过点分别作的垂线，垂足分别为， 设的半径为， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，，即， ∵， ∴， 在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴的半径是． 10. 已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，根据规律得出，对比系数即可得出的值． 【详解】解：根据规律可得： 令， ∴ ∴ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置． 11. 如果河水的警戒水位记为，汛期时水位高于警戒水位，记为；旱季时水位低于警戒水位，记为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反意义的量，根据高于警戒水位为正，则低于警戒水位为负，进行作答即可． 【详解】解：由题意，水位低于警戒水位，记为； 故答案为： 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先设反比例函数解析式，将点代入求值和反比例函数的解析式，最后代入，即可求解电阻的值． 【详解】∵电流与电阻是反比例函数关系， ∴设， ∵由图象可知，点在反比例函数上， ∴，即， ∵， ∴． 13. 计算：=____________ ． 【答案】 【解析】 【详解】原式=. 14. 周末，小红来到蛇山脚下的黄鹤楼公园游玩，她面前矗立着一座历史悠久的古塔（胜像宝塔），经过测量，测得小红所在位置地与古塔相距米，眼睛处观古塔的顶端的仰角为，已知小红视线高度为米，则宝塔的高度为__________．（结果保留一位小数，，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作交于点，先由题意可得，，，，，再证明四边形为矩形，推出，，最后结合解直角三角形即可求解． 【详解】如图，过点作交于点， 由题意可得，，，，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴． ∴宝塔的高度为：米． 15. 如图，在中，，，，是线段上一动点，连接，以为边，在上方作等边，线段与线段交于点，则的长是__________，线段的最大值是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作与交于点，先设，，根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半求出，再根据勾股定理，推出线段关系，，解出，即可求出的长，然后根据线段有最大值，推出线段有最小值，即当时有最小值，根据等边三角形与三线合一的性质，推出，即，即点与点重合，并求出长，最后根据勾股定理即可求出的最小值和的最大值． 【详解】解：如图，过点作与交于点， ∵， ∴设，， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中， ∴根据勾股定理，， 即：，解得，（舍）， ∴，， ∴， ∵， 又∵有最大值， ∴有最小值，即当时有最小值， ∵等边， ∴， ∵， ∴，即点与点重合， 如图， ∴， ∴， ∵在中，， ∴根据勾股定理，， ∴， ∴线段的最大值是． 16. 探究函数数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号） ①该函数图象一定过原点； ②若，，则随增大而增大； ③若，，则函数有最大值； ④若大于时随增大而减小，则； ⑤若，则函数图象与直线仅有一个交点． 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①根据过原点，判断时对应的方程，即可求解； ②分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的增减性，当时，将，的值代入，再根据二次函数的性质判断即可； ③分情况讨论，当时，，则可判断一次函数的最大值，当时，根据，的取值范围，判断开口方向和对称轴的大小，最后根据二次函数的性质判断即可； ④若大于时随增大而减小，判断开口方向，对称轴的取值范围即可求解； ⑤分情况讨论，当时，与没有交点，当，，再根据，分别画出，，与的草图，即可判断． 【详解】①当时，，则该函数图象一定过原点，故符合题意； ②∵当时，，，则随增大而增大， 又∵当时，若，，，对称轴为轴，且，则随增大而增大， ∴综上，无论取任何值，随增大而增大，故符合题意； ③∵当时，，，当时，存在最大值， ∵当时，若，，开口向下，那么对称轴直线，则在存在最大值， ∴综上，函数有最大值为，故符合题意； ④若大于，则，当随增大而减小，那么对称轴直线，解得，故不符合题意； ⑤∵若，当时，此时， 即当时，与没有交点； ∵当时，，， ∴（）如图，， （）， （）， 综上，若，则函数图象与直线仅有一个交点． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 解不等式组． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得：，解得：， 由②得：，解得：， ∴不等式组解集为． 18. 如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵为中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平行性质证明，再证明，推出，结合，即可证明四边形是平行四边形； （2）添加的条件为：，先根据，，证明四边形是平行四边，再由（1）得证明结果推出，最后根据，即，推出，即可证明四边形为菱形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 添加的条件为：， ∵，， ∴四边形是平行四边， ∵由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 19. 为了训练九年级学生参加体育中考，智慧学案（讲义）+智慧课堂（作业）学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是__________人，中位数所在的球类项目是__________； （2）在扇形统计图中，A，B，C，D对应的圆心角最大的比最小的大__________度； （3）已知该学校共有500名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 【答案】（1）100 B（乒乓球） （2）72 （3）130人 【解析】 【分析】（1）直接利用排球的人数除以其所占百分比即可求得总人数，再利用中位数的定义解答即可； （2）根据题意可得，占比最大的是A（），最小的是D（），据此求解即可； （3）用总人数乘以选择篮球的人数所占的比例即可解答． 【小问1详解】 解：本次调查的学生人数是（人）， 本次调查的学生中选择B（乒乓球）的人数为（人）， 共100个数据，中位数是第50、51个数据的平均数，项目共人，B项目有30人， 因此第50、51个数据都在B项目，即中位数所在项目是B（乒乓球）． 【小问2详解】 解：圆心角和项目占比成正比，占比最大的是A（），最小的是D（）， 圆心角的差为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计全校选择篮球的人数是130 人． 20. 如图，的半径为，，是上的一点，连接．是的中点，的垂直平分线与交于点，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆的性质证明，根据平行线的性质证明，继而得证结论． （2）作于点，设，根据勾股定理得到，通过证明四边形为矩形，得到，继而根据勾股定理得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，作于点， ， ， 设，则在中根据勾股定理可得， 由（1）可知， 四边形为矩形， ， ， ， 在中，由，得，解得， ， ． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，都是格点，是延长线上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不超过四条． （1）在图中，先将绕点逆时针旋转得到线段，画线段；再将绕点逆时针旋转得到线段，画线段． （2）在图中，先将平移得到线段（点与对应），画线段；再在上画点，使． 【答案】（1）如图所示 （2）如图所示 【解析】 【分析】（1）找格点使得，连接；延长至点，使得，过点作，为关于的对称点，连接并延长与交于点； （2）找格点，使得，连接，连接，与交于点，找的中点，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点． 【小问1详解】 如图，找格点使得，连接； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，延长至点，使得，过点作，连接，连接并延长与交于点，设与的交点为； ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵ ∴ 【小问2详解】 如图，找格点，使得，连接，连接，与交于点，找的中点，连接并延长与交于点，连接并延长与交于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22. 跳跳球是小朋友很喜爱的一项活动．抛掷后的跳跳球与地面接触，会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．小星在公园玩跳跳球，跳跳球在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．跳跳球第一次与地面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：，跳跳球在地面上弹起后第二次与地面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：． （1）如图，跳跳球第一次与地面接触前，当水平距离为米时，小球达到最大高度米，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水平地面上有一个截面宽米，高米的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时跳跳球沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷跳跳球时，若的顶点在一个正方形区域内（包括边界），第一次接触地面弹起后恰好越过截面宽米，高米的矩形的障碍物，点的坐标为，且第二次与地面接触点在和之间（包括这两点），其中，，，直接写出的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内） 【答案】（1） （2）解：此时跳跳球沿抛物线运动时不能越过障碍物，理由如下： ， 可得， ∵点的坐标为米，高米， ， 将代入 得， ∴跳跳球不能越过障碍物； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后将代入求解判断即可； （3）首先求出第一次与地面接触点在和，之间（包括这两点），根据正方形的性质可得，然后由越小开口越大，越大开口越小，进而可得当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小，然后分别利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵当水平距离为米时，小球达到最大高度米， ∴设 ∵点坐标为 ∴ ∴ ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点的坐标为，米， ∴， ∵ ∴， ∵第二次与地面接触点在和，之间（包括这两点） ，代入得， 解得： ∴ ∴对称轴为直线， 设坐标为，则，解得：， 则对应的点为 ，代入得， 解得： ∴ ∴对称轴为直线， 设坐标为，则，解得：， 则对应的点为 ∴第一次与地面接触点在和，之间（包括这两点） ∵正方形， ∴ ∴如图所示， ∵抛物线开口向下 ∴ ∵越小开口越大，越大开口越小，点在和，之间（包括这两点） ∴由图象可得，当抛物线顶点为点，且经过点时，开口最大，此时最小，取得最大值， ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时最大，取得最小值， ∴设的表达式为 将代入得， 解得； ∴的取值范围为． 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，于点． （1）如图，求证：； （2）①连接，点为上的点，如图，若，求证：； ②如图，点为延长线上的点，连接并延长交于点，连接，若于点，请直接写出的值． 【答案】（1）证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵由（1）得， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）结合正方形的性质和，证明，即可求证； （2）先根据正方形的性质结合解直角三角形，推出，根据（1）得，根据等量代换推出，再证明，最后运用相似的性质等量代换即可求证； （2）先结合正方形的性质和、，推出四点共圆，四点共圆，再连接，以的中点为圆心，为半径作圆，同理，以的中点为圆心，为半径作圆，根据圆周角的性质和对顶角的性质推出，然后根据，推出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略； ②∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴四点共圆， 如图，连接，以的中点为圆心，为半径作圆，同理，以的中点为圆心，为半径作圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴． 24. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． （1）如图1，求抛物线的顶点的运动轨迹的函数解析式； （2），，分别是轴，轴上的点，若抛物线与的三边共有3个不同的公共点时，请直接写出的取值； （3）如图2，当时，点是轴右侧抛物线上的一动点，过点，的直线交于点，过点的直线分别与，交于点，，直线，，与抛物线都只有一个公共点，当时，请求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把抛物线化为顶点式可得顶点坐标，进一步可得答案． （2）分情况讨论：当抛物线过时，当直线与抛物线只有1个交点时，再进一步求解即可． （3）当时，抛物线为：，求解，求解直线，直线；可得，如图，作轴于点轴于点，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∴顶点； ∴， 【小问2详解】 解：如图， 当抛物线过时， ∴， 解得：， ∵，，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当直线与抛物线只有1个交点时，如图， ∴有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：， ∵对称轴为直线， ∴， 综上：或． 【小问3详解】 解：当时，抛物线为：， 令，则， 解得：，， ∴， 设过的直线为， 令， 整理得：， ∵直线与抛物线都只有一个公共点， ∴， 解得：， ∴直线， 抛物线中，当，， ∴， 设过的直线为， 同理：有两个相等实数根， 整理：， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴，解得：， ∴， 如图，作轴于点轴于点， ∴，而， ， ， ， ∴， ， 设直线为：， 同理：有两个相等的实数根， 整理得：， ∴， 解得：（不符合题意舍去）， ∴直线为：， ∴， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江汉区2026年中考二模数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑． 1. 随着科技的发展，新能源汽车的市场占比逐渐增大，下列为新能源汽车车标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）． A. B. C. D. 2. 在下列事件中，必然事件是（ ） A. 掷两颗质地均匀的骰子，得到的点数之和不小于2 B. 把一块铁放入水中，铁块浮起来 C. 买一张体育彩票，中大奖 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数有5次 3. 在下列几何体中，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星的高度约为万，将数据万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 7. 将分别标有“爱”“我”“中”“华”汉字的四张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余都相同，随机抽出其中两张，抽出的卡片为“中”“华”的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 某玩具店销售某种玩具时，顾客一次购买件以内的（含件）按原价付款，超过件的，超出部分按原价的九折付款．若付款总数（元）与顾客一次购买数量（件）之间的函数关系如图所示，则这件商品每件的原价为（ ）． A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 9. 如图，过的顶点，，，且圆心在边上，若，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，通过观察我们发现它们各项的系数符合杨辉三角的结构，指数也按一定规律排列，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卷指定的位置． 11. 如果河水的警戒水位记为，汛期时水位高于警戒水位，记为；旱季时水位低于警戒水位，记为____________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当时，电阻的值为__________． 13. 计算：=____________ ． 14. 周末，小红来到蛇山脚下的黄鹤楼公园游玩，她面前矗立着一座历史悠久的古塔（胜像宝塔），经过测量，测得小红所在位置地与古塔相距米，眼睛处观古塔的顶端的仰角为，已知小红视线高度为米，则宝塔的高度为__________．（结果保留一位小数，，，） 15. 如图，在中，，，，是线段上一动点，连接，以为边，在上方作等边，线段与线段交于点，则的长是__________，线段的最大值是__________． 16. 探究函数数图象的性质，下列结论正确的有__________（填写序号） ①该函数图象一定过原点； ②若，，则随增大而增大； ③若，，则函数有最大值； ④若大于时随增大而减小，则； ⑤若，则函数图象与直线仅有一个交点． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷指定位置写出文字说明、证明过程、计算步骤或作出图形． 17. 解不等式组． 18. 如图，在中，为上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，请添加一个与有关的条件，____________________使四边形为菱形． 19. 为了训练九年级学生参加体育中考，智慧学案（讲义）+智慧课堂（作业）学校准备开设以下四个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一项，并将选择项目的抽样调查结果绘制成如下不完整的统计图，请你结合图中信息解答下列问题： （1）本次调查的学生人数是__________人，中位数所在的球类项目是__________； （2）在扇形统计图中，A，B，C，D对应的圆心角最大的比最小的大__________度； （3）已知该学校共有500名学生，请根据样本估计全校选择篮球的人数是多少？ 20. 如图，的半径为，，是上的一点，连接．是的中点，的垂直平分线与交于点，． （1）求证：是的切线； （2）求的长． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．，，都是格点，是延长线上一点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不超过四条． （1）在图中，先将绕点逆时针旋转得到线段，画线段；再将绕点逆时针旋转得到线段，画线段． （2）在图中，先将平移得到线段（点与对应），画线段；再在上画点，使． 22. 跳跳球是小朋友很喜爱的一项活动．抛掷后的跳跳球与地面接触，会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．小星在公园玩跳跳球，跳跳球在空中飞行的高度与水平距离之间的关系如图所示．跳跳球第一次与地面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：，跳跳球在地面上弹起后第二次与地面接触于点，运动路径近似为抛物线，且：． （1）如图，跳跳球第一次与地面接触前，当水平距离为米时，小球达到最大高度米，若点坐标为，求抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，若，在水平地面上有一个截面宽米，高米的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时跳跳球沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由； （3）小星在抛掷跳跳球时，若的顶点在一个正方形区域内（包括边界），第一次接触地面弹起后恰好越过截面宽米，高米的矩形的障碍物，点的坐标为，且第二次与地面接触点在和之间（包括这两点），其中，，，直接写出的取值范围．（在抛掷过程中正方形与抛物线在同一平面内） 23. 如图，在正方形中，，分别为边，上的点，于点． （1）如图，求证：； （2）①连接，点为上的点，如图，若，求证：； ②如图，点为延长线上的点，连接并延长交于点，连接，若于点，请直接写出的值． 24. 抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），交轴于点． （1）如图1，求抛物线的顶点的运动轨迹的函数解析式； （2），，分别是轴，轴上的点，若抛物线与的三边共有3个不同的公共点时，请直接写出的取值； （3）如图2，当时，点是轴右侧抛物线上的一动点，过点，的直线交于点，过点的直线分别与，交于点，，直线，，与抛物线都只有一个公共点，当时，请求出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $