14.2三角形全等的判定11题型4重难（培优讲义）新八年级数学新教材人教版

14.2 三角形全等的判定（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 4 题型1全等三角形判定的条件 4 题型2 利用“边边角边”直接判定两三角形全等 5 题型3 利用“角边角”直接判定两三角形全等 7 题型4 利用“角角边”直接判定两三角形全等 8 题型5 利用“边边边”直接判定两三角形全等 9 题型6 利用“斜边直角边”直接判定两三角形全等 11 题型7 判定三角形的全等求线段长 12 题型8 判定三角形的全等求角度 13 题型9 利用三角形全等证明两直线的位置关系 14 题型10 尺规作图---作一个角等于已知角 16 题型11 三角形全等的开放探究题 18 释疑惑·重难拓展 20 题型1 三角形全等的判定与性质的综合题 20 题型2 一线三等角模型 23 题型3 截长补短模型 26 题型4 倍长中线模型 28 知中考·真题探源 31 练好题·提分培优 33 课标要点 1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）。 2.证明定理：两角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。 3.探索并掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。 4.能利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等，并借助全等推导线段相等、角相等，规范书写几何推理过程。 5.经历观察、操作、猜想、验证、证明的探究过程，发展几何直观、逻辑推理核心素养。 析知识·讲要点 知识点01 利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】 1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 知识点02 利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). 知识点03 利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 3、 “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可以互相转化. 知识点04 利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 知识点05 利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 剖题型·讲技巧 题型1全等三角形判定的条件 方法技巧 判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备 SSA 时一般是不能判定三角形全等的． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 题型2 利用“边边角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 找准两组对应边及两边的夹角相等，注意SSA 不能判定普通三角形全等，书写条件保证边、角对应顺序一致。 1．（2026·山西朔州·一模）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 3．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，． 求证：(1)； (2)． 题型3 利用“角边角”直接判定两三角形全等 方法技巧 确定两组对应角以及两角之间的夹边相等，按 “角 — 边 — 角” 的顺序书写判定条件。 1．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 3．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 4．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 题型4 利用“角角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 找到两组对应角和其中一组角的对边相等，借助三角形内角和，可与 ASA 判定方法相互转化使用。 1．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 2．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作， 与的垂线交于点E．求证：． 3．（2026·湖北荆州·二模）如图，已知，求证：． 4．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 题型5 利用“边边边”直接判定两三角形全等 方法技巧 证明两个三角形的三组对应边全部相等，即可依据 “边边边” 判定三角形全等。 1．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 2．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 3．如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 题型6 利用“斜边直角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，． 求证：． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 4．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 题型7 判定三角形的全等求线段长 方法技巧 先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解. 1．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 3．如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 题型8 判定三角形的全等求角度 方法技巧 先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 4．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 题型9 利用三角形全等证明两直线的位置关系 方法技巧 先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）. 1．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F． （1）求证：△ABC≌△ECD； （2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 2．如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE． （1）求证：△AOC≌△BOD． （2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由． 3．如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证： （1）AC∥BD； （2）AB∥CD． 4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 题型10 尺规作图---作一个角等于已知角 方法技巧 先画一条起始射线；以已知角顶点为圆心取固定半径画弧，交角两边两点；再以新射线端点为圆心、同等半径画弧截取交点；接着以该交点为圆心、两点间弦长为半径画弧，相交得到第三个点；过端点与交点作射线，所得角与已知角相等，依据 SSS 全等。 1．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知直线和直线外一点，利用尺规作图操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上操作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 题型11 三角形全等的开放探究题 方法技巧 三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 释疑惑·重难拓展 题型1 三角形全等的判定与性质的综合题 4．如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）判断：∠1 　 ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）； （2）探究：PA与AQ之间的关系； （3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 2． 已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 题型2 一线三等角模型 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 2．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 题型3 截长补短模型 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 题型4 倍长中线模型 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 知中考·真题探源 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 2．（2025•西藏）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：△ABC≌△DCB． 2．（2025•云南）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D． 求证：△AOC≌△BOD． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 5．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 6．（2025•内江）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 8．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 练好题·提分培优 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 2．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 4．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 5．已知，如图，，，，，，DE与AC的延长线交于点F，若，求 ．      6．如图，在中，，，的平分线与相交于点，过点作交的延长线于点．分别延长 相交于点．判断的数量关系．____.    7．（2026·湖北孝感·二模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 8．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，延长交于．，，． (1)求证：． (2)若，，求和． 10．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 11．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 12．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.2 三角形全等的判定（培优讲义） 目 录 析知识·讲要点 2 剖题型·讲技巧 4 题型1全等三角形判定的条件 4 题型2 利用“边边角边”直接判定两三角形全等 7 题型3 利用“角边角”直接判定两三角形全等 9 题型4 利用“角角边”直接判定两三角形全等 12 题型5 利用“边边边”直接判定两三角形全等 15 题型6 利用“斜边直角边”直接判定两三角形全等 17 题型7 判定三角形的全等求线段长 20 题型8 判定三角形的全等求角度 22 题型9 利用三角形全等证明两直线的位置关系 26 题型10 尺规作图---作一个角等于已知角 29 题型11 三角形全等的开放探究题 32 释疑惑·重难拓展 36 题型1 三角形全等的判定与性质的综合题 36 题型2 一线三等角模型 43 题型3 截长补短模型 49 题型4 倍长中线模型 55 知中考·真题探源 64 练好题·提分培优 70 课标要点 1.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）；两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）。 2.证明定理：两角及其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。 3.探索并掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。 4.能利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等，并借助全等推导线段相等、角相等，规范书写几何推理过程。 5.经历观察、操作、猜想、验证、证明的探究过程，发展几何直观、逻辑推理核心素养。 析知识·讲要点 知识点01 利用“SAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 3、方法： （1）已知两边，可以找“夹角”； （2）已知一角和这角的一夹边，可找这角的另一夹边 【注意】 1. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 2. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写. 3. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中. 知识点02 利用“ASA”判定两个三角形全等 1、文字语言：有两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 2、几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (ASA). 知识点03 利用“AAS”判定两个三角形全等 1、文字语言：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. 2、几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (AAS). 3、 “ASA”与“AAS”的区别与联系 “S”的意义 书写格式 联系 ASA “S”是两角的夹边. 把夹边相等写在两角相等的中间. 由三角形内角和定理可知，“ASA”与“AAS”可以互相转化. 知识点04 利用“SSS”判定两个三角形全等 文字语言：三边分别相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”. 几何语言：在△ABC 和△DEF 中， ∴△ABC≌△DEF (SSS). 知识点05 利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 剖题型·讲技巧 题型1全等三角形判定的条件 方法技巧 判断三角形全等的条件时，注意两边与其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等. 解题时要根据已知条件的情况来考虑，对于非特殊的三角形，只具备 SSA 时一般是不能判定三角形全等的． 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，已知，，要使，下列条件添加不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过、、、判定三角形全等的判定方法逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即， 选项： ， ∵，，， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， ∵， 满足判定定理，可证； 选项：， 即对顶角相等，无法直接得出，符合题意． 故选：． 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）如图，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本事实：进行分析判断即可． 【详解】解：在Rt≌Rt中，， A．添加，无法证明，故此选项不符合题意； B．添加，无法证明，故此选项不符合题意； C．添加，可以用“”证明，故此选项符合题意；     D．添加，无法证明，故此选项不符合题意. 题型2 利用“边边角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 找准两组对应边及两边的夹角相等，注意SSA 不能判定普通三角形全等，书写条件保证边、角对应顺序一致。 1．（2026·山西朔州·一模）如图，旗杆，将两根绳子的一端系在旗杆的点A处，另一端分别系在地面的B木桩和C木桩上，且木桩B，C到旗杆的距离相等，通过证明可判断两根绳子长度相等，则证明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：C ． 2．（2026·湖北襄阳·一模）如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 3．（2026·云南昆明·二模）如图，在和中，，，． 求证：． 【答案】证明：在和中 ， 【分析】根据题干的条件，由“边角边”证明两三角形全等即可． 【详解】略． 4．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）如图，E、F是四边形的对角线上的两点，，，． 求证：(1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴，即． ∵，，， ∴． (2)证明：∵， ∴． 【分析】（1）首先利用平行线的性质得出，然后由进而得出； 接下来根据即可判定． （2）根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型3 利用“角边角”直接判定两三角形全等 方法技巧 确定两组对应角以及两角之间的夹边相等，按 “角 — 边 — 角” 的顺序书写判定条件。 1．（25-26八年级上·广西崇左·期末）如图所示，甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是（　　） A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据判定三角形全等的条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲的边，的夹角和的边，的夹角不对应，故甲三角形与不全等； 乙的角，和边与的角，和边对应，能用“”证明乙三角形与全等； 则甲、乙两个三角形中能用“”判定和全等的是乙． 故选：B． 2．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定定理即可得． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等来配一块一样的玻璃． 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 3．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，点、、、在同一条直线上，，，且，，求证：． 【答案】证明：，， ． ， ． ， ，即． 在和中， ， ． 【分析】由题意可得，再由线段的和差得出，再利用证明即可． 【详解】略 4．（2026·西藏·模拟预测）已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 题型4 利用“角角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 找到两组对应角和其中一组角的对边相等，借助三角形内角和，可与 ASA 判定方法相互转化使用。 1．已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 2．如图，在中，，点D在的延长线上，且，过点B作， 与的垂线交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 由题意得，，利用等量代换得，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 3．（2026·湖北荆州·二模）如图，已知，求证：． 【答案】证明：， ，即； ， ； 在和中， ； ． 【分析】利用证明，即可得到． 【详解】证明：略 4．（25-26八年级下·山西运城·阶段检测）如图，是的中线，交的延长线于点E，于点F，G是上一点，连接． (1)试说明． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 题型5 利用“边边边”直接判定两三角形全等 方法技巧 证明两个三角形的三组对应边全部相等，即可依据 “边边边” 判定三角形全等。 1．（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 2．（2026·云南昭通·一模）如图，已知点A、B、E、D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据“”直接证明全等即可． 【详解】解：， ， 即． 在和中， ， ． 3．如图，已知在和中，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定（SSS）与性质，解题的关键是通过线段和差得到全等所需的边，再利用全等性质推导角相等． （1）通过推导出，结合三组对边相等，用“”证三角形全等． （2）利用全等三角形对应角相等，得出． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中，， ∴（） （2）证明：∵， 4．（25-26八年级上·浙江湖州·阶段检测）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 题型6 利用“斜边直角边”直接判定两三角形全等 方法技巧 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，有两个长度相等的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，两个滑梯都是垂直地面放置的．能直接判断和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据题意，得，，， ∴， 故选项C符合题意. 2．（2026·福建龙岩·二模）如图，点A，E，F，B在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】证明见详解 【分析】先求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得． 【详解】证明：， ，即， 在和中， ， ， ． 3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 4．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】利用证明即可． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 题型7 判定三角形的全等求线段长 方法技巧 先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质确定两个三角形中边的对应关系即可求解. 1．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，，，于点，于点．若，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，然后可得，则有，进而可得，则问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·重庆·模拟预测）如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，准确计算是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得到，然后根据线段关系求出，即可求出． 【详解】解： 由图可知， 即，解得： 故选：B． 4．如图，已知． (1)若，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型8 判定三角形的全等求角度 方法技巧 先利用三角形全等判定的方法证明两个三角形全等,再利用全等三角形的性质证明角相等，要注意挖掘图形中隐含的条件，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 1．（25-26八年级上·山东临沂·期末）按如下步骤作图：（1）画；（2）以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，：（3）分别以点和点为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；（4）连接，，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图作线段，全等三角形的判定与性质，根据作图步骤得到线段相等是解题的关键．由作图知，进而可证明，根据全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：由作图可知， ，，， ， ． 故选：B． 2．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在和中，点在线段上，若，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，先证明，所以，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 即， 在和中， ， ， ， ． (2)102° 【分析】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定，得到对应角，再通过内错角相等证明． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， ． 4．（25-26七年级下·江西吉安·阶段检测）如图，，，，，相交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ． 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）由，，，利用，即可判定； （2）由，可得，继而求得，则可求得的度数． 【详解】（1）略 （2）解：设与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ． 题型9 利用三角形全等证明两直线的位置关系 方法技巧 先根据全等三角形的判定方法得出两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质得出两直线的位置关系（平行或垂直）. 1．如图，四边形ABCD中，BC＝CD，AC＝DE，AB∥CD，∠B＝∠DCE＝90°，AC与DE相交于点F． （1）求证：△ABC≌△ECD； （2）判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据HL即可证明△ABC≌△ECD． （2）根据△ABC≌△ECD得到∠BCA＝∠CDE，结合∠B＝∠DCE＝90°得到∠DFC＝90°，即可得结论． 【解答】（1）证明：在Rt△ABC和Rt△ECD中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△ECD（HL）， （2）解：AC⊥DE．理由如下： ∵△ABC≌△ECD， ∴∠BCA＝∠CDE， ∵∠B＝∠DCE＝90°， ∴∠BCA+∠ACD＝90°， ∴∠CDE+∠ACD＝90°， ∴∠DFC＝180°﹣（∠CDE+∠ACD）＝90°， ∴AC⊥DE． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，常用的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 2．如图，∠C＝∠D，AC＝BD，点O在AD，BC的交点，点E是AB中点，连接OE． （1）求证：△AOC≌△BOD． （2）判断OE和AB的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）根据AAS证明即可； （2）根据全等三角形的性质可得OA＝OB，根据等腰三角形的性质即可得证． 【解答】（1）证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）； （2）解：OE⊥AB，理由如下： ∵△AOC≌△BOD， ∴OA＝OB， ∵点E是AB中点， ∴OE⊥AB． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 3．如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有AE⊥BC．DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且AC＝DB，BE＝CF，求证： （1）AC∥BD； （2）AB∥CD． 【分析】（1）首先利用BE＝CF，得出BF＝CE，再由AE⊥BC，DF⊥BC，AC＝DB，证得Rt△AEC≌Rt△DFB，得出∠ACE＝∠DBF，证得结论； （2）由Rt△AEC≌Rt△DFB，得出AE＝DF，再由BE＝CF，证得Rt△AEB≌Rt△DFC，得出∠ABE＝∠DCF，证得结论． 【详解】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF 即BF＝CE， ∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠AEC＝∠DFB＝90°， 在Rt△AEC和Rt△DFB中， ∴Rt△AEC≌Rt△DFB（HL） ∴∠ACE＝∠DBF， ∴AC∥BD； （2）∵Rt△AEC≌Rt△DFB ∴AE＝DF， Rt△AEB≌Rt△DFC中 ， ∴Rt△AEB≌Rt△DFC（SAS）， ∴∠ABE＝∠DCF， ∴AB∥CD． 【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，平行线的判定，注意充分利用已知条件，找到问题的突破口． 4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性． 【分析】猜想：BF⊥AE 先证明△BDC≌△AEC得出∠CBD＝∠CAE，从而得出∠BFE＝90°，即BF⊥AE． 【详解】解：猜想：BF⊥AE． 理由：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠BCD＝90°． 又BC＝AC，BD＝AE， ∴△BDC≌△AEC（HL）． ∴∠CBD＝∠CAE． 又∵∠CAE+∠E＝90°． ∴∠EBF+∠E＝90°． ∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE． 【点睛】主要考查全等三角形的判定方法，以及全等三角形的性质．猜想问题一定要认真观察图形，根据图形先猜后证． 题型10 尺规作图---作一个角等于已知角 方法技巧 先画一条起始射线；以已知角顶点为圆心取固定半径画弧，交角两边两点；再以新射线端点为圆心、同等半径画弧截取交点；接着以该交点为圆心、两点间弦长为半径画弧，相交得到第三个点；过端点与交点作射线，所得角与已知角相等，依据 SSS 全等。 1．（2026·河北邢台·二模）图1、图2是一个基本作图的痕迹，则下列说法正确的是（     ）. A．这个基本作图是作角的平分线 B．弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 C．弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧 D．弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧 【答案】B 【分析】本题考查作一个角等于已知角的尺规作图．通过分析图1和图2的作图痕迹，可还原完整作图过程，并逐项验证选项． 【详解】解：图1的作图为：以点为圆心，任意长为半径画弧①，交角两边于点， 图2的作图为：画射线，以点为圆心，长为半径画弧②，交于点，以点为圆心，长为半径画弧③，与弧②相交于一点，连接与该交点，得所求角， 选项：这个基本作图是作角的平分线，不符合题意，本题是作一个角等于已知角，故选项错误； 选项：弧①是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，符合题意，故选项正确； 选项：弧②是以为圆心，以任意长为半径所画的弧，不符合题意，弧②半径应为的长，而非任意长，故选项错误； 选项：弧③是以为圆心，以长为半径所画的弧，不符合题意，弧③半径应为的长，而非的长，故选项错误． 2．（2026·湖南衡阳·二模）如图，在中，，，尺规作图操作如下：（1）以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边，于点D，E；（2）以点B为圆心、长为半径画弧，分别交边，于点F，G；（3）再以点F为圆心、长为半径画弧，与弧交于点H；（4）画射线交边于点I．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，已知直线和直线外一点，利用尺规作图操作如下： ①在直线上取一点，经过点和点，作直线； ②作，并使得与是一对同位角； ③反向延长射线，得到直线． 根据以上操作，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作图步骤得出是解题的关键． 【详解】解：由作图步骤②可知，， ，即， ， 点、、在同一直线上， ， ． 4．（2026·广西南宁·三模）如图，在中，是边上的中线． (1)尺规作图：在右侧作；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)在（1）所作的图中，延长交于点E，求证：． 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法解题即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明． 【详解】(1)解：如图所示，即为所求， (2)证明：如图， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴． 题型11 三角形全等的开放探究题 方法技巧 三角形全等中的开放题，主要是根据全等三角形的判定方法添加适当的条件证明三角形全等，方法比较灵活，答案不唯一,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键. 1．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知：如图点，，，，在同一条直线上，，．若______，则．请你从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【分析】要证，可先证，即证明，已知，搭配所选条件用全等判定证明三角形全等，得到，等式同减即可得． 【详解】添加②；理由如下：在和中，， ， ，即， ； 若选③： ，， ， 后续同上可证； ： ， 不行，不能证全等，①不可选． 2．（2026·陕西咸阳·三模）如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】添加条件：，或，或，或，证明见解析 【分析】先证明，再结合添加条件，根据、、、证明即可． 【详解】解：添加条件：， 证明过程如下：∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件： ， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 添加条件：， 证明过程如下：，， ∴， ∴， 在和中， ， ． 3．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，请在下列五个条件中任选三个作为命题的题设，其余两个作为命题的结论，进行证明． ①；②；③；④；⑤． 题设： 结论： 证明： 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，根据题意选择三个条件，然后证明出，然后根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】解：题设：①；②；③； 结论：④；⑤． 证明：∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∴ ∴． 4．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 释疑惑·重难拓展 题型1 三角形全等的判定与性质的综合题 4．如图所示，BD、CE是△ABC高，点P在BD的延长线上，CA＝BP，点Q在CE上，QC＝AB． （1）判断：∠1 　 ∠2（用“＞”、“＜”、“＝”填空）； （2）探究：PA与AQ之间的关系； （3）若把（1）中的△ABC改为钝角三角形，AC＞AB，∠A是钝角，其他条件不变，试探究PA与AQ之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案； （2）由条件可得出∠1＝∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论； （3）根据题意画出图形，结合（1）可证得△APB≌△QAC，可得结论． 【详解】解：（1）设CE、BD交于F， ∵BD、CE是△ABC高， ∴∠BEF＝∠CDF＝90°， ∵∠BFE＝∠CFD， ∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠BFE＝90°﹣∠BFE，∠2＝180°﹣∠CDF﹣∠CFD＝90°﹣∠CDF， ∴∠1＝∠2； 故答案为：＝； （2）结论：AP＝AQ，AP⊥AQ， 证明：∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAB＝90°，∠2+∠CAB＝90°， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中， ， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， 而∠DAP+∠P＝90°， ∴∠DAP+∠QAC＝90°， 即∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP； 即AP＝AQ，AP⊥AQ； （3）上述结论成立，理由如下： 如图所示： ∵BD、CE是△ABC的高， ∴BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠1+∠CAE＝90°，∠2+∠DAB＝90°， ∵∠CAE＝∠DAB， ∴∠1＝∠2， 在△QAC和△APB中， ， ∴△QAC≌△APB（SAS）， ∴AQ＝AP，∠QAC＝∠P， ∵∠PDA＝90°， ∴∠P+∠PAD＝90°， ∴∠QAC+∠PAD＝90°， ∴∠QAP＝90°， ∴AQ⊥AP， 即AP＝AQ，AP⊥AQ． 2． 已知与中，，，，连接与相交于点，与相交点． (1)猜想：如图1所示，当时，则______； (2)探究：如图2所示，当时，请求出的度数； (3)拓展延伸：如图3所示，当，，，请求出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定； （1）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （2）先证明得到，再在和中利用三角形内角和得到，根据，得到； （3）由（1）得，，则，再由，可得，得到，，推出，最后根据代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 在和中， ， ， ． 在和中，，， ， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解： 在和中 ． 在和中 ， ． （3）解：由（1）得，， ， ∵， ，， ， ， ，， ， ． ，， ． 3．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）综合题 (1)如图1，，，，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点以相同的速度在射线上由点向点运动．它们运动的时间为，当点到达点时，点也停止运动．当时，猜想：线段与之间的关系，并说明理由． (2)【拓展】如图2，在中，，D，A，E三点都在直线m上，并且猜想：线段、、之间的关系，并说明理由． (3)【应用】如图3，在中，是钝角，，，，直线m与的延长线交于点F，若，的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】(1)解：且 理由: 当时，，， ， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ． (2)解：，理由如下： ，， ， 又，，三点在直线上， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． (3)6 【分析】(1) 当时，，，结合，利用SAS判定，得到及，再通过直角互余与平角关系证得． (2) 利用三角形内角和与平角关系转化得到，结合已知角等和，利用AAS判定，从而得，，相加即得． (3) 由(2)的模型可得，从而，将面积和转化为；再利用及同高三角形面积比等于底边比，得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由(2)同理可证， ， ， 直线与的延长线交于点，且， 与有公共顶点，且底边与在同一直线上， ， ， ， 即与的面积之和为． 题型2 一线三等角模型 1．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图1，在中，，，直线l经过点C，过A作，垂足为D，过B作，垂足为E． (1)求证：； (2)如图2，延长至F，连接，过点C作，且，连接交直线l于点H，若，，则的长为________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）先推导和的角的关系，再结合，利用全等三角形来证明全等； （）先通过角的推导证明， 得， 则，再证明， 得，求得的值，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·云南昭通·阶段检测）阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决： 如图1，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，则与的数量关系是___________； (2)问题探究： 如图2，在等腰直角中，，过点作直线于点，于点，求的长； (3)拓展延伸：如图3在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过“一线三垂直”模型，证明，得． （2）同理证，得，再通过计算的长度． （3）作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型，证，结合A、C的坐标差得到线段长度，即可计算B点坐标． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ， 又， ； （3）解：如图3过点作轴，过点作轴， 过点作轴，分别与交于点， 轴，轴，轴， ， 又， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 点坐标为． 【点睛】考查 “一线三垂直”模型、全等三角形的判定（AAS）、等腰直角三角形的性质、平面直角坐标系中点的坐标计算．解题关键识别“一线三垂直”模型，准确找到全等三角形的对应边、对应角；坐标系中利用垂直辅助线将点的坐标差转化为线段长度． 3．（25-26八年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，在直角坐标系中，点，点B为x轴正半轴上一个动点，以为边作，使，且点C在第一象限内． (1)如图1，若，求点C的坐标． (2)如图2，过点B向x轴上方作，且，在点B的运动过程中，探究点之间的距离是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，请说明理由． (3)如图3，过点B向x轴下方作，且，连结交x轴于点E，当的面积是的面积的3倍时，求的长． 【答案】(1) (2)点之间的距离是定值6，理由见解析 (3)12 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）过点C作轴于点D，利用直角三角形的两个锐角互余可得，证明，于是可得，，进而即可求出点C的坐标； （2）连接，先证，再证，于是可得； （3）连接，过点C作轴于点F，同（1）可证，推出，，再证，可得，再证，可得，则，由此求出，即可求解． 【详解】（1）解： ，， ，， 如图，过点C作轴于点D， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 点C的坐标为． （2）解：点之间的距离是定值6，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点C作轴于点F， 同（1）可证， ，， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 题型3 截长补短模型 1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 2．（24-25八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴ , ， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 题型4 倍长中线模型 1．（25-26八年级上·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解： ， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出 证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 知中考·真题探源 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置处摆绳与地面垂直，摆绳长，向前荡起到最高点处时距地面高度，摆动水平距离为，然后向后摆到最高点处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且与成角，则小丽在处时距离地面的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，过点作于点，摆绳与地面的垂点为，由勾股定理得到，进而得出，证明，得到，进而求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，摆绳与地面的垂点为， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即小丽在处时距离地面的高度是， 故选：A． 2．（2025•西藏）如图，已知AB＝DC，AC＝DB．求证：△ABC≌△DCB． 【答案】见详解； 【分析】如图，直接运用SSS公理，即可解决问题． 【解答】证明：如图，在△ABC与△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）． 2．（2025•云南）如图，AB与CD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D． 求证：△AOC≌△BOD． 【答案】见详解； 【分析】根据已知条件AC＝BD，∠C＝∠D，结合∠AOC＝∠BOD，利用“AAS”求解即可． 【解答】证明：在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（AAS）． 4．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 5．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，C是线段的中点，． (1)求证：； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)8 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定定理和性质，是解题的关键： （1）中点得到，平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据，得到，进而得到四边形为平行四边形，进而得到，即可得出结果． 【详解】（1）证明：是线段的中点， ． ， ． 在和中， ． （2），是线段的中点， ． ， ． 又， ∴四边形是平行四边形， ． 6．（2025•内江）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BF＝4，FC＝3，求BE的长． 【答案】（1）见详解；（2）11. 【分析】（1）根据AB∥DE得∠A＝∠E，由此可依据“AAS”判定△ABC和△DEF全等； （2）根据△ABC和△DEF全等得BC＝EF，进而得BF＝EC＝4，由此即可得出BE的长． 【详解】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（AAS）； （2）解：由（1）可知：△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BF+CF＝EC+CF， ∴BF＝EC， ∵BF＝4，FC＝3， ∴EC＝4， ∴BE＝BF+FC+EC＝4+3+4＝11． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． 7．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 8．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 练好题·提分培优 1．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，，，是的中点，要用“”证明，应添加的一个条件是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先推导出，，再根据，得到，则要用“”证明，应添加的一个条件是． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中点， ∴， 若， ∴， ∴要用“”证明，应添加的一个条件是． 2．如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 3．如图，要测量河两岸相对的两点A，B的距离，可在河的一侧取AB的垂线BM上两点C，D，使BC＝CD，再画出BM的垂线DE，使E在AC的延长线上，若BD＝10m，DE＝12m，CE＝13m，则A，B两点的距离是（　　） A．5m B．10m C．12m D．13m 【答案】C． 【分析】直接利用已知结合得出△ABC≌△EDC（ASA），进而得出A，B两点的距离． 【详解】解：∵BD＝DC，BD＝10m， ∴DC＝BC＝5m， ∵AB⊥BC，ED⊥BD， ∴∠ABC＝∠EDC＝90°， 在△ABC和△EDC中， ， ∴△ABC≌△EDC（ASA）， ∴AB＝DE＝12m． 故选：C． 4．如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答． 【详解】解：，， ， ，， ，， ， ， 化简得：． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键． 5．已知，如图，，，，，，DE与AC的延长线交于点F，若，求 ．      【答案】2 【分析】过点D作，交的延长线于点，通过证明，，利用全等三角形的性质分析计算． 【详解】解：过点D作，交的延长线于点，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，本题综合性较强，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 6．如图，在中，，，的平分线与相交于点，过点作交的延长线于点．分别延长 相交于点．判断的数量关系．____.    【答案】 【分析】由，，通过可证，可得，再证明，可得． 【详解】解： 在和中 ∴； ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，角平分线的性质，熟练掌握三角形判定定理是解决本题的关键． 7．（2026·湖北孝感·二模）如图，在和中，点、、、在同一直线上，已知，，若__________，则． 请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（填写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】选择① 理由：， ， ． 在与中，   ． 或选择② 理由：， ． 在与中， ． 若选择③，此时已知两边及其中一边的对角，不能判定全等， 不能选择③． 【分析】根据全等三角形的判定定理，若添加条件① ，可用 判定全等，若添加条件② ，可用 SAS 判定全等，若添加条件③ ，不能判定全等，故③不能作为条件。 【详解】略． 8．（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）已知：如图，，，，若，，． (1)证明： (2)求与的周长的和． 【答案】(1)见详解 (2)16 【分析】（1）先结合角的和差关系得出，再证明，即可作答． （2）根据全等三角形的性质得，，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴，， 则与的周长的和 ． 9．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在和中，延长交于．，，． (1)求证：． (2)若，，求和． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由可得，根据即可求证； （2）由（1）可知，，根据全等三角形的性质可得，再由，可求出，最后由对顶角相等可证得，由此即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）如图： 由（1）可知，， ， ，， ， ， ． 10．（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明： ， ，， 点是中点， ， ； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证； （2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， ， ，，， ． 11．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 12．（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解： ， ． ∵， ∴． 又 ， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 13．（24-25七年级下·河南郑州·期中）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出． 【详解】（1）解： ，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $