第十讲：角平分线（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年八年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十讲：角平分线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：尺规作角平分线 已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 知识点02：角平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE 知识点03：角平分线的判定 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识点04：三角形的内角平分线 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 考点1：作角平分线 【典型例题】 1．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【变式训练1】 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【变式训练2】 3．如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点2：角平分线的性质定律 【典型例题】 4．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 5．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 6．如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 考点3：角平分线的判定定律 【典型例题】 7．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【变式训练1】 8．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】 9．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 考点4：角平分线的性质的实际应用 【典型例题】 10．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【变式训练1】 11．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 一、单选题 1．如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 4．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 5．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 6．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 8．如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 二、填空题 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 11．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 12．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 13．如图，是的平分线，于点，，则的长为 ． 14．如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 15．如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则 ． 16．如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则 ． 17．如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是 ． 三、解答题 18．如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于E． (1)作出的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则、具有怎样的数量关系？并加以证明． 19．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 20．已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 21．如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版八年级数学上册 第十讲：角平分线 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：尺规作角平分线 已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分线 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 知识点02：角平分线的性质 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， PD⊥OA,PE⊥OB， ∴PD = PE 知识点03：角平分线的判定 判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 知识点04：三角形的内角平分线 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 考点1：作角平分线 【典型例题】 1．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】易知：，，因此符合的条件． 【详解】解：连接，， 由作图知：在和中， ， ∴（）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图，要清楚作图时作出的线段与、与是相等的．熟练掌握三角形全等的判定条件是解答此题的关键． 【变式训练1】 2．如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作交于点，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：作交于点，    由基本尺规作图可知，是的平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式训练2】 3．如图，直线，直线分别交，于A，B两点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，作射线交于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的性质，三角形外角的性质． 根据作图步骤可知是的平分线，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可得解． 【详解】根据作图步骤可知是的平分线， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 考点2：角平分线的性质定律 【典型例题】 4．如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是关键．过点作，垂足分别为，证明，即可得到答案． 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B 【变式训练1】 5．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 【变式训练2】 6．如图所示，在中，平分，上于点，，，，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高，再由，即可得解． 【详解】解：作于F，如图： ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 考点3：角平分线的判定定律 【典型例题】 7．如图，，M是的中点，平分，且，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等．作于N，根据角平分线的性质得出，进而得出． 【详解】解：作于N， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， 又，， ∴， 故选：B．    【变式训练1】 8．如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，根据题意易得分别平分，根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式训练2】 9．如图，，，若，，，则（    ） A．26° B．29° C．58° D．32° 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的判定定理：在角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据角平分线的判定定理，得到平分，然后根据角平分线的定义求解． 【详解】， 平分， ． 故选：B． 考点4：角平分线的性质的实际应用 【典型例题】 10．如图，是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息．若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪（    ） A．三条角平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：因为角平分线上的点到角两边的距离相等， 所以凉亭的位置应为三角形的三条角平分线的交点． 故选：A． 【变式训练1】 11．如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握其概念，作图分析是关键． 根据角平分线上点到角两边的距离相等，作图分析即可求解． 【详解】解：如图所示， 根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等， ∴可供选择的地址有4个， 故选：D ． 一、单选题 1．如图，点O是内一点，且点O到的距离与点O到的距离相等，连接，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的判定定理是解答的关键．根据题意得出平分，即可求解． 【详解】解：∵点O到的距离与点O到的距离相等， ∴平分， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，是的角平分线，于点，，周长为，则的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 3．如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，点是的三个内角平分线的交点，若面积为，点到边的距离是，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是角平分线的性质，解题关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作，，，根据角平分线的性质得到，再根据三角形的面积公式计算，即可得解． 【详解】解：作，，， 点是的三个内角平分线的交点， ， 点到边的距离是， 面积为， 即， ， ， 即的周长为． 故选：． 5．如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 6．如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，得、和的边上的高相等，设这个相等的高长为，得到，，，利用三角形的三边关系定理解答即可． 本题考查了角的平分线的性质定理，三角形三边关系定理，三角形的面积公式，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵是三条角平分线的交点， ∴、和的边上的高相等，设这个相等的高长为， ∵的面积记为，的面积记为，的面积记为， ∴，， ∴，，， 由三角形三边关系得， ∴， ∴， 又∵， ∴可能的值10， 选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意． 故选：D． 7．已知：在中，为的平分线．已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质求线段长，过点作，，如图所示，由角平分线性质得到，由三角形面积公式分别由两种方法表示，进而由化简得到，代值求解即可得到答案．掌握角平分线性质，得到是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，，如图所示： 为的平分线， ， ， 和若以上的线段为边，则高相等，设高为， ， ， ，即， ，，， ，解得， 故选：A． 8．如图，是的平分线，已知于点，且，则点到的距离是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了角平分线的性质定理．过点作于点，根据角平分线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， 为的平分线，于点， ， ∵， ， 即点到的距离是2． 故选：B 9．如图，在中，，平分，，，垂足分别为E，F，已知，．求阴影部分面积为（　　）      A．12 B．24 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键．在上取点G，使得，连结，根据角平分线的性质定理证明，得到，再证明，即可根据三角形面积公式求解． 【详解】解：在上取点G，使得，连结， ，，， ， ， 平分，，， ，， ， ，，， ， ， ， ， 即阴影部分面积为12． 故选：A． 二、填空题 10．如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线的判定和性质．由三角形的内角和定理可得与的度数和，根据角平分线的判定和性质，结合三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵点在内部，且到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等 ）以及三角形面积公式（，为底，为高 ），熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ， ． 又， ． 故答案为：． 12．如图，在中，，是高，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点E，再分别以B、E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点F，作射线，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，由作图可知，平分，根据三角形的内角和定理，高线的定义，求出，的度数，再根据角平分线的定义和角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 由作图可知，平分， ∴， ∵为的高， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．如图，是的平分线，于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并列出方程是解题的关键．过点作于点，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，再根据列方程计算即可得解． 【详解】如图，过点作于点， 为的平分线，，， ， ， ， 即， 解得 ． 故答案为：． 14．如图，在中，，O是与平分线的交点，则点O到的距离为 ． 【答案】/1厘米 【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作，连接，易得点在的角平分线上，推出，设，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：分别过点O作，连接， ∵点是与平分线的交点， ∴点在的角平分线上， ∴， 设， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离等于． 故答案为：． 15．如图，已知，在和上分别截取，，使，再分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，作射线，过射线上一点作，交于点，若，则 ． 【答案】25 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的作法、角平分线的定义等知识点，掌握角平分线的作法成为解题的关键． 由平行线的性质可得、，由作图可知平分，即，进而完成解答． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故答案为：25． 16．如图，的三边的长分别是8，12，16，点O是的三条角平分线的交点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 根据角平分线的性质得到点到、、的距离相等，设到、、的距离为，利用面积公式得到． 【详解】解：是三条角平分线交点， 点到、、的距离相等， 设到、、的距离为， ． 故答案为：． 17．如图，在四边形中，分别平分和．点在线段上．若，，则的长是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等，掌握此性质是解题的关键；过点C作于点F，由角平分线的性质定理得，由即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点F， ∵分别平分和， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 18．如图，在中，点D在边上，连接，过点D作于E． (1)作出的角平分线；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，则、具有怎样的数量关系？并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定；熟练掌握基本作图以及等腰三角形的性质与判定是解题的关键； （1）根据题意作出的角平分线交于点，即可； （2）根据角平分线的定义可得 ，根据平行线的性质得出，进而得出，即可证明，根据等腰三角形的性质，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2）， 证明：∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 19．如图，，M是的中点，平分，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，作于，由角平分线性质定理可得，结合题意推出，再由角平分线的判定定理判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：如图，作于， ∵平分，，， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， ∴平分． 20．已知中，是的角平分线，于E． (1)求的度数； (2)若，求． 【答案】(1)60度 (2)18 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用； （1）先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可； （2）过点作于点．结合是的角平分线，，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：， ∴， 是的角平分线， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． 是的角平分线，， ， 又， . 21．如图所示，在中，，，点为的中点，交的平分线于点，于点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）如图所示，连接，，先利用证明得到，再由角平分线的性质得到，即可利用证明则； （）证明，得到，由（）得，则，据此求出的长，即可求出的长； 【详解】（1）证明：如图所示，连接，， ∵是的中点，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：在和中， ∴， ∴， 由（）得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$