第10讲 全等三角形常见的七大几何模型（7个知识点+7个题型+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第10讲 全等三角形常见的七大几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 第二步：练 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 平移模型】 【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合. 【解题思路】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等. 【知识点2 翻折模型】 【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合. 【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等; ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等. 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3. 【解题思路】 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS或 ASA 证明三角形全等。 【知识点6 倍长中线模型】 【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的. 【解题思路】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD. 【知识点7 截长补短模型】 【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知 线段. 【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。 【题型1 平移模型】 【例1】如图，在与中，与在同一条直线上，．求证：． 【变式1-1】如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【变式1-2】如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    【变式1-3】如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF． (1)求证：EF平分线段BC； (2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【题型2 对称模型】 【例2】如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【变式2-1】如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式2-2】如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【变式2-3】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图②，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F．请你判断并写出与之间的数量关系；（不需证明） (2)如图③，在中，分别是的平分线，相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【题型3 手拉手模型】 【例3】如图，已在与中，，求证：． 【变式3-1】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证： (1) ； (2)． 【变式3-2】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式3-3】在中，，D是边上一点，点E在的右侧，线段，且． (1)如图1，若，连接．则的度数为 ；与的数量关系是 ． (2)如图2，若，连接．试判断的形状，并说明理由． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：． 【变式4-1】如图，在中，，，为上一点，，，求证：． 【变式4-2】在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设． (1)如图1，如果___________度； (2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由． (3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线） 【变式4-3】【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【变式5-1】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【变式5-2】如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．    (1)当时，　 　，　 　． (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【变式5-3】已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【题型6 倍长中线模型】 【例6】如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 【变式6-2】如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【变式6-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【题型7 截长补短模型】 【例7】阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 【变式7-1】如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【变式7-2】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【变式7-3】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 1．如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，点是对角线上一点，于点，于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 5．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 6．如图，在和中，，，，试说明．    7．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 8．已知：如图，， ，，求证：． 9．（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    10．如图1，，，点C是上一点，且，．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若把沿直线BD向左平移，使的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由． 11．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 12．如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 13．已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 14．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 15．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 全等三角形常见的七大几何模型 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 第二步：练 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 平移模型】 【模型解读】沿同一直线平移的两个三角形重合. 【解题思路】①加(减)共线部分，得到一组对应边相等；②利用平行线性质找对应角相等. 【知识点2 翻折模型】 【模型解读】两个三角形过公共点所在的直线或公共边折叠，两个三角形重合. 【解题思路】①通过公共角、垂直、对顶角、等腰三角形等条件得对应角相等; ②通过公共边、中点、等边等条件得对应边相等. 【知识点3 手拉手模型】 【模型解读】两个顶角相等的等腰三角形顶角顶点重合，左底角顶点互连，右底角顶点互连所组成的图形. 【解题思路】加(减)共顶点的角的共角部分，得到一组对应角相等。 【知识点4 半角模型】 【模型解读】有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等.通过作辅助线将角的倍 分关系转化为角的相等关系,并进一步构成全等三角形. 【解题思路】延长一边,构造全等三角形从而得到线段之间的数量关系 【知识点5 一线三等角模型】 【模型解读】(1)两个三角形有一条边共线；(2)同一直线上有三个相等的角的顶点，∠1=∠2=∠3. 【解题思路】 利用三角形内角和为180°和内、外角关系，通过等角代换得到一组相等的角，利用 AAS或 ASA 证明三角形全等。 【知识点6 倍长中线模型】 【模型解读】给出中线，通过延长中线的方法构造全等三角形达到解题目的. 【解题思路】通过延长中线，构造全等三角形，得到△ACD≌△EBD，△ABD≌△ECD. 【知识点7 截长补短模型】 【模型解读】截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长后的线段等于已知 线段. 【解题思路】该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词，通过截长补短法构造全等三角形，再利用全等三角形的判定和性质进行解题。 【题型1 平移模型】 【例1】如图，在与中，与在同一条直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握证明三角形全等的方法． 根据题意得出，再由全等三角形的判定证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式1-1】如图，已知，点在同一条直线上． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并准确识图准确找出对应边是解题的关键． （1）由三角形外角性质求得，然后由全等三角形的对应角相等来求的度数； （2）根据全等三角形对应边相等可得，然后根据计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ． ， ； （2）解：，， ， ， ． 【变式1-2】如图，沿方向平移得到，连接交于F，的面积为3，则的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质，由平移的性质可得，，证明，得到，根据三角形中线平分三角形面积可得，则． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-3】如图①，点A，B，C，D在同一直线上，AB＝CD，作EC⊥AD于点C，FB⊥AD于点B，且AE＝DF． (1)求证：EF平分线段BC； (2)若将△BFD沿AD方向平移得到图②时，其他条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）先根据已知条件证明Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=BF，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC． （2）思路和第一小题相同，先证Rt△ACE≌Rt△DBF，可得CE=FB，再证Rt△CEG≌Rt△BFG，可得CG=BG，即EF平分线段BC． 【详解】（1）证明：∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE=∠DBF=90°， ∵AB=CD， ∴AB+BC=BC+CD， 即AC=DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)， ∴CE=FB， 在Rt△CEG和Rt△BFG中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△BFG(AAS)， ∴CG=BG， 即EF平分线段BC． （2）解：（1）中结论仍成立，理由如下∶ ∵CE⊥AD，BF⊥AD， ∴∠ACE=∠DBF=90°， ∵AB=CD， ∴AB-BC=CD-BC， 即AC=DB， 在Rt△ACE和Rt△DBF中， ， ∴Rt△ACE≌Rt△DBF(HL)， ∴CE=FB， 在Rt△CEG和Rt△BFG中， ， ∴Rt△CEG≌Rt△BFG（AAS）， ∴CG=BG， 即EF平分线段BC． 【题型2 对称模型】 【例2】如图，已知，，，，与交于点O． (1)求证：． (2)求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质， （1）根据证明两个三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论； 解题的关键是掌握三角形全等的判定． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． 【变式2-1】如图，在中，，为的角平分线．以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，角的平分线，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理 （1）根据，结合，证明：即可． （2）根据，结合，可得，结合，平分，可得．根据计算即可． 【详解】（1）证明：根据以点A圆心，长为半径画弧，与分别交于点E，F， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴． ∴． 【变式2-2】如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【变式2-3】如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： (1)如图②，在中，是直角，，分别是的平分线，相交于点F．请你判断并写出与之间的数量关系；（不需证明） (2)如图③，在中，分别是的平分线，相交于点F，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)图见解析；，证明见解析； (2)成立，证明见解析 【分析】（1）过点作于，作于，作于，则，通过计算得出，从而证明（），于是得出． （2）过点作于，作于，作于，则，利用，以及四边形内角和得到，继而得出，从而证明（），于是得出． 【详解】（1）解：，证明过程如下： 证明：如图，过点作于，作于，作于，则， ∵分别是的平分线， ∴， ∵是直角，，， ∴． 又∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵是直角，于，， ∴， ∴． 又∵，，， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴（）， ∴． （2）如图，过点作于，作于，作于， ∵分别是的平分线， ∴， 在四边形中，， ∵分别是的平分线，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴（）， ∴． 【题型3 手拉手模型】 【例3】如图，已在与中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据等式的性质得出，利用证明全等解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式3-1】已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证： (1) ； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证． （1）要证，现有，，需它们的夹角，而由很易证得，即可得出． （2）、有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证，需证，需证可由直角三角形提供． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中， ， ． ∴； （2）解：∵， ， ， ， ， 则． 【变式3-2】如图，D为内一点，，，将绕着点A顺时针旋转能与线段重合． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据将绕着点A顺时针旋转能与线段重合，得，，通过证明，即可证出； （2）由得：，再根据，，得，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵将绕着点A顺时针旋转能与线段重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-3】在中，，D是边上一点，点E在的右侧，线段，且． (1)如图1，若，连接．则的度数为 ；与的数量关系是 ． (2)如图2，若，连接．试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质． （1）根据题意证明是等边三角形，再结合等边三角形的性质，即可得的度数．根据题意证明，即可得到． （2）连接，根据题意得出，是等腰直角三角形，证明，可得，即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：当时， ，， 是等边三角形， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 故答案为：． （2）是直角三角形，理由如下： 连接，如图所示： 当时，且，， ，是等腰直角三角形，有， ， 即， 在和中， ， ， ， 是直角三角形． 【题型4 半角模型】 【例4】如图，在四边形中，分别是上的点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，延长至点G，使，连接，先证明，得到；再证明，进而证明，得到，则． 【详解】证明：如图，延长至点G，使，连接． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】如图，在中，，，为上一点，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题．延长至点，使得，连接．由“”定理证明，再证明，则，可得结论． 【详解】证明：延长至点，使，连接． ，， ， ， 又 ， 在和中， ， ， ，． ， ． 又， 在和中， ， ， ． ． 【变式4-2】在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使．设． (1)如图1，如果___________度； (2)如图2，你认为之间有怎样的数量关系？并说明理由． (3)当点在直线上移动时，之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B、C、E三点不共线） 【答案】(1)； (2)； (3)图象见详解；； 【分析】（1）先证明（），则可得，根据，可知； （2）已知，则，则，根据则． （3）连接，作使得，，连接、：根据，，可得，证明，进而可得，则，由此可证明之间存在数量关系为； 【详解】（1）解：在与中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴ ∴ 故答案为：； （2）解：已知， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴． （3）解：连接，作使得，，连接、，可得下图： ∵， ， ∴； 在和中， ， ∴ ； ∴； ∴， ∴之间存在数量关系为． 【变式4-3】【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】；【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【题型5 一线三等角模型】 【例5】如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证． （2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明． 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 【变式5-1】如图，在中，，，，于点于点．与全等吗？请说明理由．    【答案】全等，理由见解析 【分析】首先证明，即可证明，即可解题． 【详解】全等，理由如下： ，， ∴，． ∴； 在和中， ∴． 【变式5-2】如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E．    (1)当时，　 　，　 　． (2)线段的长度为何值时，，请说明理由； (3)在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时， (3)或 【分析】（1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出，由三角形内角和定理可判断的变化； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，不符合题意，舍去；②当时，③当时． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； （3）解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴点E和点C重合，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上：或． 【变式5-3】已知，在中，，三点都在直线m上，且．    (1)如图①，若，则与的数量关系为 ___________，与的数量关系为 ___________； (2)如图②，判断并说明线段，与的数量关系； (3)如图③，若只保持，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明得； （2）由（1）同理可得，得，可得答案； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）， 由（1）同理可得， ∴， ∴； （3）存在，当时， ∴， ∴，此时； 当时， ∴ ∴，， 综上：或． 【题型6 倍长中线模型】 【例6】如图，在中．是边上的中线，交于点． (1)如下图，延长到点，使，连接． 求证：． (2)如下图，若，试探究与有何数量关系，并说明理由． (3)如下图，若是边上的中线，且交于点． 请你猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)，理由见解析． 【分析】（）利用可得； （）延长到点，使，连接，先根据证得，，进而得到，；再证得利用全等三角形全等的性质即可； （）延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，证得可得，进而得到， 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中线，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）证明：在和中， ∴； （2）解：，理由如下： 延长到点，使，连接，如图 由（）得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中 ∴ ∴， ∴； （3），理由如下： 延长到点，使，连接．延长到点，使，连接，，，如图， 由（）得，， ∴，，， ∴，， ∴ ， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【变式6-1】如图1，在 中，是边上的中线，和的周长之差为，且的长是．    (1)求的长； (2)求长度的取值范围； (3)若，是的中点，如图，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形的中线定义，全等三角形的性质与判定； （1）根据三角形的中线的性质，得出，根据题意得出，即可求解； （2）倍长中线，延长至，使得，连接，证明，得出，，进而根据三角形的三边关系，即可求解． （3）根据三角形的面积公式求得，进而根据三角形的中线的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵和的周长之差为， ∴， ∵的长是． ∴； （2）解：如图所示，延长至，使得，连接，    ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴ ∴， 在中，，即 ∵， ∴ （3）解：∵， ∴ ∵是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． 【变式6-2】如图，在中，平分交边于点D，点E是边的中点，线段交线段于点G，交线段的延长线于点F． (1)若，，求的长． (2)求证：． 【答案】(1)4 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质求出，可得，然后进行计算即可； （2）作交的延长线于M，证明，可得，根据平行线的性质求出，可得，等量代换可得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图，作交的延长线于M． ∵， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】八年级数学课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小红在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小红的方法思考作答： (1)由已知和作图能得到的理由是______； A．    B．    C．    D． (2)求得的取值范围是______； A．      B．       C．        D． (3)归纳总结：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中完成上题之后，小红善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答． 如图，在中，点在上，且，过作，且求证：平分． 【答案】(1)B (2)C (3)证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了倍长中线法解题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握倍长中线法，灵活进行三角形全等的证明，是解题的关键． （1）根据三角形全等的判定定理去选择即可； （2）根据三角形全等的性质和三角形三边关系定理计算即可； （3）由“”可证，可得，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证，可得平分． 【详解】（1）解：延长到点，使， ， 在和中， ， ， 故选：B． （2）解：， ， ，，， ， ， 故选：C； （3）证明：如图，延长至，使，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【题型7 截长补短模型】 【例7】阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且． (1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； (2)如图2，在四边形中，已知，，，，， ，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：证明：在上截取，使得， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴； （2）在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为16． 【变式7-1】如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式7-2】综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式7-3】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 1．如图，是的中线，是上一点，交于，若，，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,延长到使得，连接，证明，根据全等三角形的性质可得到，等量代换得到，再由已知条件即可解决问题； 【详解】如图，延长到使得，连接，    ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：D． 2．如图，在四边形中，，，点是对角线上一点，于点，于点，则下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明，根据全等三角形的性质及题目中的条件对各选项逐一判断即可．解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴，， ∴选项C不正确； ∵，， ∴，故选项A正确，选项B不正确； 而由题目中的条件无法判断是否成立，故选项D不正确． 故选：A． 3．如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（　　）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解： ，，， ， ，，故②正确，符合题意； ，即，故①正确，符合题意； ， ， ，， ，故③正确，符合题意； ， ， ， ， ， ，， ， ， 和不一定相等，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有①②③， 故选：A． 4．如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 5．如图， 是的角平分线，延长至点，使，若，， 则 ． 【答案】102° 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，如图，先根据SAS证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD，进而可得∠EDC＝∠FDC，然后可根据SAS证明△CDE≌△CDF，再根据全等三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连接DF，如图， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵BA=BF，∠ABD＝∠FBD，BD=BD， ∴△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE，∠ADB＝∠BDF＝60°，∠A=∠BFD=78°， ∴∠FDC＝60°，∠DFC=102°， 又∵∠EDC＝∠ADB＝60°， ∴∠EDC＝∠FDC， ∵DE＝DF，∠EDC＝∠FDC，DC＝DC， ∴△CDE≌△CDF（SAS）， ∴∠E=∠DFC=102°； 故答案为：102°． 6．如图，在和中，，，，试说明．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】证明：因为， 所以， 即． 在和中， 因为，，， 所以， 所以． 7．在四边形中，，点E在DC上，AE平分，BE平分 （1）判定△AEB的形状，并说明理由. （2）求证： 【答案】（1）△AEB为直角三角形，理由见解析；（2）见解析. 【分析】（1）根据平行线性质得出∠DAB+∠ABC=180°，由角平分线得出∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，可得∠EAB+∠ABE=90°，根据三角形内角和定理求出∠AEB=90°，即可得出答案； （2）在AB上截取线段AF=AD，连接EF，构建全等三角形△ADE≌△AFE（SAS）、△BFE≌△BCE（AAS），根据全等三角形的对应边相等得到BC=BF，再利用AB=AF+BF等量代换即可得证 【详解】（1）解：△AEB为直角三角形，理由如下： ∵AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC， ∴∠EAB=∠DAB,∠EBA=∠ABC， ∴∠EAB+∠ABE=×180°=90°， ∴∠AEB=180°−90°=90°, ∴△AEB为直角三角形； (2)证明：如图，在边AB上截取线段AF=AD，连接EF， ∵AE平分∠BAD， ∴∠FAE=∠DAE， 在△ADE和△AFE中, ， ∴△ADE≌△AFE(SAS)， ∴∠AED=∠AEF， ∵AE⊥BE， ∴∠AEF+∠BEF=∠AED+∠BEC=90°， ∴∠BEC=∠BEF， 又∵在△BFE与△BCE中, ∴△BFE≌△BCE(AAS)， ∴BF=BC， ∵AB=AF+BF， ∴AB=AD+BC. 8．已知：如图，， ，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理． 由，推导出，即可证明，得，即可由，，又，证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ， 又， ∴． 9．（新课标  开放性题）（1）如图1，点A，F，E，C在同一条直线上，，，，求证：． （2）若将图1中的沿方向平移得到图2、图3，其他条件不变，还成立吗？为什么？（选择一种情况说明理由）    【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）由可得，于是；由平行线的性质可得，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； （2）如图3，由可得，于是；由两直线平行内错角相等可得，于是可得两角的补角，再根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴； （2）解：仍成立． 理由如下（如题图3）： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； 10．如图1，，，点C是上一点，且，．    (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)如图2，若把沿直线BD向左平移，使的顶点C与点B重合，此时AC与BE互相垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证，得．从而得，利用三角形的内角和定理得，从而即可得解． （2）由全等三角形的性质得．由得，从而即可得证． 【详解】（1）解： ．理由如下： ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：．理由如下： 记题图2中AC与BE的交点为F． 由（1）知， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 11．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，，，．回答下列问题： (1)求证：和是兄弟三角形． (2)取的中点，连接，试说明．小王同学根据要求的结论，想起了老师上课讲的“中线（点）倍延”的辅助线构造方法，解决了这个问题． ①请在图中通过作辅助线构造，并证明． ②求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证出，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）①延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出； ②证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， 和是兄弟三角形； （2）证明：①延长至，使， 为的中点， ， 在和中， ， ， ； ②， ， ∴， ， 又， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 12．如图，已知中，，点为直线上的一动点（点不与点、重合），以为边作，连接． (1)发现问题：如图①，当点在边上时． ①请写出和之间的数量关系为 ，位置关系为 ； ②求证：； (2)尝试探究：如图②，当点在边的延长线上且其他条件不变时，（1）中、、之间存在的数量关系是否成立?若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明． (3)拓展延伸：如图③，当点在的 延长线上且其他条件不变时，若，求线段的长．并求的面积． 【答案】(1)①，；②见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质的运用,等腰直角三角形的性质： （1）①根据条件，，，，判定，即可得出和之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到； （2）根据已知条件，判定，得出，再根据，即可得到； （3）根据条件判定，得出，进而得到，最后根据，，即可求得线段的长，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）①如图1，由题意，，，，，， ， 在和中， ， ， ，， ，即； 故答案为：，； ②由①得， ， ； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图，由同理可得， 在和中， ， ， ， ， ； （3）如图3，由(1)同理可得， 在和中， ， ， ， ， ，， ． ， ，即 ． 13．已知点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，，，直线与交于点F． (1)如图1，求证：； (2)若，则 ； (3)如图2，若，则 ．（用含a的式子表示） 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的外角性质等； （1）由可判定，即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ， ， ， 在和中 ， （）； （2）解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． (1)若，，当绕点旋转时， 、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论； (2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论； (3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？（直接写出结论，不必证明) 【答案】(1)；证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法． （1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在上截取，连接，证，推出，，证，推出即可； 【详解】（1）解：， 证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：， 证明：延长到，使，连接， ， ， ，， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：， 证明：在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 15．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$