天津市2025-2026学年七年级下学期定心模拟练习试卷

**基本信息** 天津市七年级下学期数学模拟卷，涵盖代数、几何、统计，以“抖空竹”“五雀六燕”等文化情境和统计调查、纪念币购买等实际问题为载体，考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|平方根、不等式、平行线、坐标平移|第7题以非遗抖空竹抽象几何模型，考平行线性质| |填空题|6/18|立方根、统计分组、程序操作|第17题程序操作问题，分层考查不等式应用| |解答题|7/66|方程组、统计图表、几何推理、实际应用|第24题建党纪念币购买，融合方程组与不等式；第25题平移与坐标结合，考空间观念|

天津市2025-2026学年七年级下学期数学定心模拟练习试卷 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 不存在 2. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 3.下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 4. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 7.空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8.二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A. 一组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 9. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，若点C坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 11.如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 的相反数是______． 14. 一批数据的最大值是175，最小值是149．将这批数据分组，若组距为3，则组数为______． 15. 不等式解集是___________． 16.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则______． 17. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程组： （1） （2） 20. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组解集为_______． 21. 某校准备开展形式多样的“阳光体育”活动，围绕着“最喜欢的体育活动项目” （只写一项）的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完的整统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次抽样调查中的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“足球”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若该校共有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“其他”活动的人数约为多少？ 22. 完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， ________，__________．（__________） 又（已知） ， 又（已知） ， （__________，___________）． 23. 已知关于x，y的方程组． （1）当______（用m表示）； （2）已知，求m取值范围； （3）在（2）的条件下，m所有的整数解中，只有一个整数解是关于的不等式的解，求n的取值范围． 24.为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 25. 如图1，已知点，，将线段向右，向上平移后得线段（点A的对应点是点D，点B的对应点是点C），点C的坐标是，点D的坐标是． （1） ______， ______，四边形的面积是______； （2）如图2，连接，交x轴于点E．求点E的坐标； （3）点P从点A出发，向y轴正半轴方向运动，点Q在线段上运动，连接．请将图补全，并直接写出与之间的数量关系． 天津市2025-2026学年七年级下学期数学定心模拟练习试卷 第Ⅰ卷 （选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 4的平方根是（ ） A. 2 B. C. D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，若一个数x的平方等于a，则x叫做a的平方根，可知一个正数的平方根有两个，互为相反数，由此可解． 【详解】解：，， 4的平方根是， 故选C． 2. 的相反数是（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根运算及相反数的概念，先计算的值，再求其相反数． 【详解】因为，所以 的相反数为 故答案选：B． 3.下面统计调查中，适合进行全面调查的是（ ） A. 了解某批次汽车的抗撞击能力 B. 了解全市初中生的每周体育锻炼时间 C. 调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准 D. 调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，掌握其概念及操作注意事项是解题的关键．选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A．了解某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，故A不符合题意； B．了解全市初中生的每周体育锻炼时间适合抽样调查，故B不符合题意； C．调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准适合抽样调查，故C不符合题意； D．调查你所在班级每一位同学本周末参加社区活动时间情况适合全面调查，故D符合题意． 故选：D． 4. 若，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即得答案． 【详解】解：A、若，则，故本选项变形正确，符合题意； B、若，则，故本选项变形错误，不符合题意； C、若，则，故本选项变形错误，不符合题意； D、若，则，故本选项变形错误，不符合题意． 故选：A． 5. 在方格纸上有，两点，若以点为原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为．若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解答本题要掌握建立平面直角坐标系的方法．当坐标系原点改变时，点的坐标会相应改变．原题中，以为原点时的坐标为，说明在的左1单位、上2单位的位置．因此，以为原点时，的坐标应为原坐标的相反数． 【详解】以为原点时，的坐标为，表示在左侧1个单位、上方2个单位的位置． 当以为原点时，的位置相对于应向右移动1个单位，向下移动2个单位， 因此的坐标为． 故答案选：B． 6.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　） A. 2与3之间 B. 3与4之间 C. 4与5之间 D. 5与6之间 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵一个正方形的面积是15 ∴该正方形的边长为 ∵9＜15＜16 ∴3＜＜4 故选：B． 7.空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质的应用，过点E作，则，由两直线平行、同旁内角互补，可得，，由此可解． 【详解】解：如图，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ， 故选A． 8.二元一次方程2x+y＝5的正整数解有（　　） A. 一组 B. 2组 C. 3组 D. 无数组 【答案】B 【解析】 【分析】由于要求二元一次方程的正整数解，可分别把x=1、2、3分别代入方程，求出对应的值，从而确定二元一次方程的正整数解． 【详解】解：当x=1，则2+y=5，解得y=3， 当x=2，则4+y=5，解得y=1， 当x=3，则6+y=5，解得y=-1， 所以原二元一次方程的正整数解为，． 故选B． 9. 在平面直角坐标系中，已知点，将线段平移得到线段，点A，B的对应点分别是点C，D，若点C坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标平移变换，熟练掌握点坐标平移的变换规律是解题关键．先根据点的坐标确定平移方式，再根据点坐标平移的变换规律即可得． 【详解】解：∵将线段平移得到线段，点对应点分别是点，且， ∴平移方式是：先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， 又∵， ∴，即， 故选：A． 10. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量共为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，找到两个等量关系：一是5只雀和6只燕的总重量为1斤，二是交换一只雀和燕后两边平衡，通过分析交换后的重量关系，确定方程组． 【详解】解：总重量1斤：5只雀和6只燕共重1斤，即  交换后的平衡：交换一只雀和燕后，原五雀变为四雀加一燕，原六燕变为五燕加一雀，此时两边重量相等，即化简后为： 联立方程组：．   故选：D ． 11.如图，点的坐标分别为，，将沿轴向右平移，得到，已知，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用DB=1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移问题点的坐标变化规律求解即可． 【详解】解：∵点B的坐标为（4，0）， ∴OB=4， ∵DB=1， ∴OD=3， ∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度， ∴点C的坐标为：（1+3，2）即（4，2）． 故答案为：D． 12. 已知关于，的二元一次方程组（是常数），以下结论中：①若，则；②若，则；③无论取何值，的值不变；④，无自然数解．以上四个结论中，正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及对解性质的分析．利用消元法解二元一次方程组，再根据各个结论逐一分析对错． 【详解】解： 解方程组 通过加减消元法解得： 结论①：当时，，，故①错误； 结论②：若，即，解得，故②正确； 结论③：由，可知，无论取何值，恒为定值，故③正确； 结论④：自然数要求为非负整数，若存在自然数解，则和需为非负整数，但需同时满足为整数，导致无法使得同时为自然数，故④正确． 综上，结论②、③、④正确，共3个．   故选：C ． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 的相反数是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的性质和相反数的定义．只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 14. 一批数据的最大值是175，最小值是149．将这批数据分组，若组距为3，则组数为______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了频率分布表中组数的确定，求出最大值和最小值的差，然后除以组距，用进一法取整数值就是组数． 【详解】解：依题意，， 组数为9组， 故答案为：9 15. 不等式解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式的方法解答即可． 【详解】解：， ， ， 即， ∴； 故答案为：． 16.如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据邻补角的定义求出∠AOC的度数，根据垂直的定义求出∠AOE=90°，即可求出∠COE的度数． 【详解】∵∠AOC =180°-∠AOD =180°-130°=50°， ∵OE⊥AB， ∴∠AOE=90°， ∴∠COE =∠AOE- ∠AOC =90°-50°=40°． 故答案为：40°． 17. 按照如下程序操作，规定：从“输入一个值x”到“结果是否大于17”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于17，则用得到的这个数进行下一次操作． （1）若时，程序进行了______次操作就停止了； （2）若时，则输出的数为______； （3）若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是______； 【答案】 ①. 2 ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、有理数的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据流程图计算即可得解； （2）根据流程图计算即可得解； （3）由题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得解． 【详解】解：（1）第一次操作：， ∵， ∴需要进行下一次操作， 第二次操作：， ∵， ∴输出的数为，即程序进行次操作就停止了， 故答案为：； （2）∵， ∴第一次操作：， ∵， ∴输出的数为， 故答案为：； （3）由题意可得：， 解得：， 故若程序操作进行了两次才停止，则输入的x的取值范围是， 故答案为：． 18. 在长为，宽为（）的长方形纸片上，从它的一侧，剪去一个以长方形纸片宽为边长的正方形（第一次操作）；从剩下的长方形纸片一侧再剪去一个以宽为边长的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的纸片恰为正方形，则的值为_______． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出第一次操作后的两边分别为和，第二次操作后的两边长分别为和，再根据和的大小分两种情况，根据剩下的纸片恰为正方形，列出方程求解即可． 【详解】解：第一次操作后的两边分别为和， 第二次操作后的两边长分别为和即和， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 当，即时，第三次操作后一边长为，另一条边长为即， ， ， 则的值为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握用加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是求解的关键． （1）用代入消元法，由①变形代入②求解即可； （2）用代入消元法，由①代入②求解即可． 【小问1详解】 解：由①得③ 把③代入②，得 把代入①得 所以原方程组的解为 【小问2详解】 解：把①代入②得 解得 把代入②，得 所以原方程组的解为 20. 解不等式组：，请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_______； （2）解不等式②，得_______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来； （4）原不等式组解集为_______． 【答案】（1） （2） （3）画图见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，在数轴上表示不等式的解集； （1）先移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （3）把两个不等式解集在数轴上表示即可； （4）利用数轴确定不等式组解集的公共部分即可. 小问1详解】 解：解不等式①，得； 【小问2详解】 解：解不等式②，得； 【小问3详解】 解：把不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 【小问4详解】 解：原不等式组的解集为. 21. 某校准备开展形式多样的“阳光体育”活动，围绕着“最喜欢的体育活动项目” （只写一项）的问题，对在校学生进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成以下两幅不完的整统计图，请结合统计图回答下列问题： （1）本次抽样调查中的样本容量为 ，并补全条形统计图； （2）扇形统计图中，“足球”所对应的圆心角的度数是 ； （3）若该校共有2000名学生，请你估计全校学生中最喜欢“其他”活动的人数约为多少？ 【答案】（1）50，见解析 （2） （3）估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有600人． 【解析】 【分析】（1）用最喜欢篮球的人数除以它占的百分比得到样本容量的值，再计算出最喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图； （2）用最喜欢足球的人数所占的百分比乘以得到“足球”所对应扇形的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体，用2000乘以样本中最喜爱“其他”活动的学生数所占的百分比即可． 【小问1详解】 解：根据题意：本次抽样调查中的样本容量为． 最喜欢乒乓球的人数为：． 补全图形如下： ； 故答案为：50； 【小问2详解】 解：“足球”所对应扇形的圆心角的度数为： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有： 人． 答：估计该校最喜爱“其他”活动的学生约有600人． 22. 完成下面的推理，并在括号内标注理由： 如图，，平分，平分，． 求证：． 证明：平分，平分（已知）， ________，__________．（__________） 又（已知） ， 又（已知） ， （__________，___________）． 【答案】，，角平分线定义，，，，同位角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、平行线的判定，解本题的关键是利用角平分线的定义进行角度之间等量关系的转换．先证明，进而证明，推出结论． 【详解】证明：平分，平分（已知）， ，．（角平分线定义） 又（已知） ， 又（已知） ， （同位角相等，两直线平行）． 23. 已知关于x，y的方程组． （1）当______（用m表示）； （2）已知，求m取值范围； （3）在（2）的条件下，m所有的整数解中，只有一个整数解是关于的不等式的解，求n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用加减消元法得，再化简得，即可作答． （2）根据，得出不等式组，再解得m的取值范围，即可作答． （3）先求出m的整数解为0，1，因为，故，因为只有一个整数解是关于的不等式的解，所以，再化简，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴由得 即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）得 ， 由得， 由得， ， 【小问3详解】 解：依题意，由（2）得， m的整数解为0，1 m所有的整数解中，只有一个整数解是关于z的不等式的解， 24.为庆祝建党100周年，某银行发行了、两种纪念币，已知3枚型纪念币和2枚型纪念币面值共需55元，6枚型纪念币和5枚型纪念币共需130元． （1）求每枚、两种型号的纪念币面值各多少元？ （2）若小明准备用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，求型纪念币最多能采购多少枚？ （3）在（2）的条件下，若小明至少要购买型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请罗列出来，哪种方案最划算？ 【答案】（1）每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元；（2）10枚；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）设每枚A、B两种型号纪念币面值各x元，y元，根据3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币共需130元列出方程组，解之即可； （2）设A型纪念币采购a枚，根据用至少850元的金额购买两种纪念币共50枚，列出不等式，解之即可； （3）得到a的范围，可得共有三种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果． 【详解】解：（1）设每枚A、B两种型号的纪念币面值各x元，y元， 依题意，得：， 解得：， ∴每枚A、B两种型号的纪念币面值各5元，20元； （2）设A型纪念币采购a枚， 依题意，得：5a+20（50-a）≥850， 解得：a≤10， ∴A型纪念币最多能采购10枚； （3）∵至少要购买A型纪念币8枚， ∴8≤a≤10， ∴a可以取8，9，10， ∴方案一：购买A型纪念币8枚，购买B型纪念币42枚，需要8×5+42×20=880元， 方案二：购买A型纪念币9枚，购买B型纪念币41枚，需要9×5+41×20=865元， 方案三：购买A型纪念币10枚，购买B型纪念币40枚，需要10×5+40×20=850元， ∴方案三最划算． 25. 如图1，已知点，，将线段向右，向上平移后得线段（点A的对应点是点D，点B的对应点是点C），点C的坐标是，点D的坐标是． （1） ______， ______，四边形的面积是______； （2）如图2，连接，交x轴于点E．求点E的坐标； （3）点P从点A出发，向y轴正半轴方向运动，点Q在线段上运动，连接．请将图补全，并直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）2，4，8 （2） （3）当在线段上，；当在的延长线上，． 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，点的坐标，平行线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质得，则，再运用分割法进行列式计算，即可作答． （2）结合图形，得，结合三角形的面积公式列式计算，即可作答． （3）理解题意，进行分类讨论，再作图，结合平行线的判定与性质，分别进行列式化简，即可作答． 小问1详解】 解：∵点，，将线段向右，向上平移后得线段，且点C的坐标是，点D的坐标是． ∴ ∴， ∴点C的坐标是，点D的坐标是． ∴ 则四边形的面积是 ； 【小问2详解】 解：设， 依题意，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：依题意，点P从点A出发，向y轴正半轴方向运动，点Q在线段上运动，连接． 当在线段上，过点作，如图所示： ∵平移 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当在的延长线上，过点作，如图所示： ∵平移 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上：当在线段上，；当在的延长线上，． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $