1.4 相似三角形的判定 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的判定，涵盖平行线截三角形相似预备定理及三个判定定理，通过“逐点导讲练”流程，结合“A型”“X型”等图形模型导入，搭建从基础到综合的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于以“题型分类+解题秘方”为核心，通过例1图形辨析、例2推理证明等实例，培养学生几何直观与推理能力，结合中考题与综合训练，强化模型意识。学生能提升数学思维，教师可高效开展分层教学。

1.4 相似三角形的判定 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 平行线截三角形相似 相似三角形的判定定理1 相似三角形的判定定理2 相似三角形的判定定理3 知识点 平行线截三角形相似 知1－讲 1 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似. 指与其他两边所在直线相交. 感悟新知 知1－讲 符号语言：如图1.4-1， 因为 DE∥BC，所以△ABC ∽△ADE. 感悟新知 知1－讲 特别解读 本定理是相似三角形判定定理的预备定理，它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、对应边成比例. 感悟新知 知1－练 如图1.4-2，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则图中的相似三角形共有( ) A. 3 对 B. 5 对 C. 6 对 D. 8 对 解题秘方：依据平行线抽象出“A 型”和“X 型”图形，从而确定相似三角形，注意相似三角形传递性的应用. 例1 感悟新知 知1－练 解：图1.4-2中的三角形有△AEG，△ADC，△CFG，△CBA，共4个.因为AB∥EF∥DC，AD∥BC， 所以△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA. 因此共有6 对相似三角形，即△ AEG∽ △ADC，△AEG∽△CFG，△ AEG ∽ △ CBA，△ADC∽ △CFG，△ADC∽ △ CBA，△CFG∽△CBA. 答案：C 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. [期末·娄底]如图，在 ABCD中， E 是 AB 边延长线上一点，连接 DE，交AC 于点 G，交 BC 于点F，那么图中相似三角形(不含全等三角形)共有(    ) A． 6 对 B． 5 对 C． 4 对 D． 3 对 B 知2－讲 知识点 相似三角形的判定定理1 2 1. 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 符号语言：如图1.4-3 所示， 在△ABC和△DEF中， 因为∠A＝∠D，∠B＝∠E， 所以△ABC ∽△DEF. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 由两角分别相等判定两个三角形相似，其关键是找准对应角. 一般地，相等的角是对应角．如：公共角、对顶角、同角(等角)的余角(补角)、同弧所对的圆周角(以后会学到)都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件. 感悟新知 知2－讲 2. 常见的相似三角形的类型： (1)“平行线”型：如图1.4-4 ①，若DE∥BC，则△ADE∽△ABC. (2)“相交线”型：如图1.4-4 ②，若∠AED＝∠B，则△AED∽△ABC. 感悟新知 知2－讲 (3)“子母”型：如图1.4-4 ③，若∠ACD＝∠B，则△ACD∽△ABC. (4)“K”型：如图1.4-4 ④，若∠A＝∠D＝∠BCE＝90°，则△ACB∽△DEC. 整体像一个横放的字母K，所以称为“K”型相似. 感悟新知 知2－练 如图1.4-5，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，连接AF. 求证：△ABF∽△CAF. 例2 感悟新知 感悟新知 解题秘方：紧扣“两角分别相等的两三角形相似”证明. 由于∠BFA是公共角，因此只需说明∠B＝∠4即可. 知2－练 知2－练 证明：因为 EF垂直平分AD，所以 AF＝DF. 所以∠FAD＝∠3. 因为 AD平分∠BAC，所以∠ 1 ＝∠ 2. 因为 ∠B＝∠3－∠1，∠4 ＝∠FAD －∠ 2， 所以∠B ＝∠ 4. 因为 ∠BFA＝∠AFC，所以△ABF∽△CAF. 感悟新知 知2－练 感悟新知 2-1. 如图，在平行四边形ABCD 中，点 E 为 BC边上的点(不与点 B，点C 重合)，连接 DE 并延长，交 AB 的延长线于点 F.求证： △ CDE ∽△ AFD. 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以DC∥AF，∠C＝∠A. 所以∠CDE＝∠F. 所以△CDE∽△AFD. 知3－讲 知识点 相似三角形的判定定理2 3 判定定理2：两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似. 符号语言：如图1.4-6 所示， 在△ABC和△DEF 中， 因为＝，且∠B＝∠E， 所以△ABC∽△DEF. 感悟新知 知3－讲 特别提醒 运用该定理证明相似时，一定要注意边角的关系，相等的角一定是成比例的两组对应边的夹角. 类似于判定三角形全等的“边角边”的方法. 感悟新知 知3－练 如图1.4-7，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点. 求证：△ADQ∽△QCP. 解题秘方：证明的关键是找准成比例的两组对应边和它们的夹角，由于是在正方形中，因此一般找两组直角边成比例. 例4 感悟新知 知3－练 证明：设正方形ABCD的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a. 因为 Q是CD的中点，BP＝3PC， 所以DQ＝CQ＝2a，PC＝a.所以＝＝2. 又因为∠D＝∠C＝90°，所以△ADQ∽△QCP. 感悟新知 知3－练 感悟新知 4-1. 如图，在△ ABC 中， AB=6，AC=9，点 D， E 分别在AB， AC 上， D 为 AB 的中点， CE ＝ 7. 求证： △ AED ∽△ ABC. 知3－练 感悟新知 知4－讲 知识点 相似三角形的判定定理3 4 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 符号语言： 如图1.4-8 所示， 在△ABC和△DEF中， 因为＝＝，所以△ABC∽△DEF. 感悟新知 知4－讲 注意 利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据最长边与最长边对应，最短边与最短边对应的思路找对应边. 感悟新知 知4－讲 特别提醒 由三边成比例判定两三角形相似与由三边对应相等判定两三角形全等的方法类似，只需把三边对应相等改为三边成比例即可. 感悟新知 知4－练 [母题 教材 P29练习T3]图 1.4-9 中每个小方格都是边长为 1 的正方形 . 若A，B，C，D，E，F都是格点，求证：△ABC∽△DEF. 例 4 感悟新知 知4－练 解题秘方：(1)排序：将两个三角形的边长分别按从小到大(或从大到小)的顺序排列；(2)计算：计算最长边与最长边、最短边与最短边、第三边与第三边的比值；(3)判断：若比值相等，则这两个三角形相似 . 感悟新知 知4－练 证明：因为AC= = ，BC= =，AB=4，DF= =2 ，EF==2，DE=8，所以 ===.所以△ABC∽△DEF. 感悟新知 知4－练 感悟新知 4-1.如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点． △ ACB 和△ DCE 的顶点都在格点上， ED 的延长线交AB 于点 F． 求证： (1) △ ACB ∽△ DCE； 知4－练 证明：因为AC=3，BC=6，AB==3，DC=2， EC=4，DE==2 ， 所以=，==，==， 所以ACDC==.所以△ACB∽△DCE. 感悟新知 知4－练 感悟新知 (2)EF ⊥ AB． 因为ACB∽△DCE， 所以∠A＝∠EDC. 因为∠E＋∠EDC＝90°， 所以∠E＋∠A＝90°. 所以∠EFA＝90°，即EF⊥AB. 相似三角形的判定 相似三角形的判定 平行线截三角形相似 两角分别相等 判定定理1 判定定理2 判定定理3 两边成比例且夹角相等 三边成比例 课堂小结 题型 利用中间比法证明线段成比例 1 如图 1.4-10，P是 ABCD的边BC的延长线上一点，AP分别交BD，CD于点M，N. 求证：= . 例 5 解题秘方：当无法直接得到所证比例式时，常用“等比过渡法”(即中间比法)进行代换 . 综合应用创新 证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥DN，AD∥BP，所以△AMB∽△NMD，△BMP∽△DMA， 从而= ， = .所以 = . 综合应用创新 解法提醒 利用平行线得到相似三角形，再由相似三角形对应边的比相等，可求某些线段的长或证明比例式和等积式 . 当直接利用相似三角形对应边的比相等或平行线截得的比例线段无法解决时，可找中间比进行过渡，“中间比法”是证比例关系常用的方法 . 综合应用创新 题型 利用三点定形法找相似三角形证明等积式 2 如图1.4-11，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为CB的中点，ED的延长线交CA的延长线于点F. 求证：AC·CF=CB·DF. 例 6 解题秘方：用“三点定形法”将比例式中的四条线段划归到两个相似三角形中进行证明 . 综合应用创新 证明：因为在 Rt △CDB中，E为CB的中点 , 所以EB=DE. 所以∠B = ∠BDE = ∠FDA. 因为∠B + ∠CAB=90°，∠ACD + ∠CAB=90°， 所以∠B = ∠ACD. 所以∠FDA = ∠ACD. 又因为∠F = ∠F，所以△FDA∽△FCD，从而 = . 综合应用创新 因为∠ADC = ∠CDB=90°，∠ACD = ∠B， 所以△ACD∽△CBD，从而 = . 所以 = ，所以AC·CF=CB·DF. 综合应用创新 技巧提醒 运用三点定形法时，要设法找出比例式或等积式中所含的几个字母，是否存在可由“三点”确定两个相似三角形，且式子中所有点要在这两个三角形中，“横看”与“竖看”是“三点定形法”找相似三角形的常用方法. 综合应用创新 思路点拨 比例式：=. 横看：比例式的两个分子中的字母对应的点是 A，C，D，F 四点，不能确定三角形； 竖看：比例式的左端所含字母对应的点构成△ ABC，比例式的右端所含字母对应的点构成△ DCF，很明显看出这两个三角形不相似，故需要找一个中间比来联系和，将证=转化为证=和=后，再用横看找相似三角形 . 综合应用创新 题型 利用逆向思维法在网格图中作相似三角形 3 如图1.4-12，在正方形网格图中，△ABC的顶点都在格点上 ,在该网格图中只用无刻度的直尺作图 , 保留作图痕迹 . 例 7 综合应用创新 (1)在图 1.4-12 ①中 , 在线段AC上画出点D, 使△ABD∽△ACB； 解题秘方：利用逆向思维，(1)由相似得出AD的长； 解：如图 1.4-13 ①，点D即为所求 . 综合应用创新 详解 (1)设每个小正方形的边 长 为 1. 若 △ ABD ∽△ ACB,则=,所以 AD= ==2. 综合应用创新 (2)在图1.4-12②中，先在AB上画点D，使得AD=3BD，再在AC上画点E, 使得△ADE∽△ACB. 解题秘方：由相似得出∠ADE的度数，再分别利用条件作图 . 综合应用创新 解：如图 1.4-13 ②，点D，E即为所求 . 综合应用创新 详解 (2)观察△ ABC,可得∠ACB=45° .因为AD=3BD，所以点 D 在线段 AB 的四等分点处 .因为△ADE ∽△ACB，所 以需画出∠ ADE=∠ACB=45° . 如图 1.4-13 ②，在网格图中把线段 AB 逆时针旋转 90°得到线段 AF,在 AF上找一点 G，使得AD=AG，连接 DG 交 AC于点 E,则∠ADE=45° . 综合应用创新 题型 利用分类讨论法探究相似中的动点问题 4 [新视角 动点探究题]如图1.4-14，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4 cm，动点D从点A出发沿射线AC方向以 2 cm/s的速度运动，点 E是边BC的中点，连接DE．设点D运动 的时间为 t s，当 t 取何值时，△ABC与 △CDE相似？ 例 8 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：因为点E是边BC的中点，所以CE=BC=2 cm. 当点D在BC的左侧时，若△CAB∽△CDE，则 = ，即=，解得 t=； 若△CAB∽△CED，则 = ，即=，解得 t=. 综合应用创新 当点D在BC的右侧时， 若△CAB∽△CDE，则 = ，即 =，解得 t= ； 若△CAB∽△CED，则 = ，即=，解得 t= . 综上可知，当 t 取或或或时，△ABC与△CDE相似． 综合应用创新 警示误区 在与相似三角形相关的动点题目中，随着动点位置的变化，图形的形状发生变化，则相似三角形边的对应关系发生变化，出现多种情况，所以在动点的题目中，出现“△ XXX 和△ XXX 相似”这种描述时，点的对应关系不确定，必须进行分类讨论 . 综合应用创新 易错点 解题时考虑不全面，造成漏解 1 在△ABC 中，AB=8，AC=5，BC=10，P 为AB上一 点，PA=4，过点P的直线交AC边所在的直线于点D，若△PAD与△ABC相似，则PD的值为多少？ 例 9 综合应用创新 错解：如图1.4-15 ①，因为△PAD∽△BAC，所以=. 又因为PA=4，AB=8，BC=10，所以= . 所以PD=5，即PD的值为5. 综合应用创新 正解：分两种情况：如图1.4-15 ①，当PD∥BC时，同错解，PD=5.如图1.4-15 ②，当PD与BC不平行时， 因为△PAD∽△CAB，所以 = . 又因为PA=4， BC=10， AC=5， 所以= ，所以PD=8. 综上所述，PD的值为5 或8. 综合应用创新 诊误区： 由于受到思维定式的影响，往往只考虑到PD// BC 的情况，而忽视PD 与BC 不平行的情况，从而造成漏解. 解答此类问题时，要考虑所有可能的情况,避免因为考虑不全面而导致漏解. 综合应用创新 考法 利用平行线截三角形相似求线段的长 1 [中考·盐城]如图1.4-16，在△ABC中，DE ∥ BC. 若AD ∶ AB=1∶3，DE=4， 则BC=_______． 例 10 12 中考风向标 试题评析：本题主要考查相似三角形判定的预备定理—平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例列比例式求解. 中考风向标 解：因为DE∥BC， 所以△ADE∽△ABC， 从而= . 因为AD∶AB=1∶3，DE=4，所以BC=12. 中考风向标 考法 根据相似三角形的判定定理选择条件 2 [中考·河北]如图1.4-17，在五边形ABCDE中，AE∥ BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N. 若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ △DCN，则这个条件是( ) A. ∠B+ ∠ 4=180° B. CD∥AB C. ∠ 1= ∠ 4 D. ∠ 2= ∠ 3 例 11 中考风向标 试题评析：本题考查平行线的性质和判定、相似三角形的判定定理，根据角的关系判定三角形相似. 中考风向标 解：因为∠B+∠4=180°，所以CD∥BM. 所以∠AME= ∠CDN. 因为AE∥BC，所以∠AEM= ∠CND. 所以△MAE∽△DCN，故A 不符合题意. 因为CD∥AB，所以∠AME= ∠CDN. 因为AE∥BC，所以∠AEM= ∠CND. 所以△MAE∽△DCN，故B 不符合题意. 中考风向标 因为AE∥BC，所以∠ 1+ ∠B=180°. 因为∠ 1= ∠ 4，所以∠B+ ∠ 4=180°. 所以CD∥BM，所以∠AME= ∠CDN. 因为AE∥BC，所以∠AEM= ∠CND. 所以△MAE∽△DCN，故C 不符合题意. 根据∠ 2= ∠ 3，再结合已知条件不能证 明△MAE∽△DCN，故D 符合题意. 答案：D 中考风向标 考法 相似三角形的判定与特殊四边形、函数的综合 3 [新趋势学科内综合中考·长沙]如图1.4-18，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=30°，点E是BC边上的动点，连接AE，DE，过点A作AF⊥DE于点F.设DE=x，AF=y，则y 与x之间的函数表达式为(不考虑自变量x的取值范围)( ) A. y= B. y= C.y= D.y= 例 12 中考风向标 试题评析：本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得到x，y 的关系式是解题的关键． 中考风向标 解：如图1.4-18，过点D作DH⊥BC，交 BC的延长线于点H，则∠DHE=90°. 因为四边形ABCD是菱形， 所以AB∥CD，AD∥BC，CD=AD=AB=6. 所以∠ADF=∠DEH，∠DCH= ∠B=30°. 所以在Rt △CDH中，DH= CD=3. 因为AF⊥DE，所以∠AFD=90°=∠DHE. 中考风向标 又∠ADF=∠DEH，所以△AFD∽△DHE， 从而 = . 因为DE=x，AF=y， 所以=，即y= . 答案：C 中考风向标 考法 选择条件证明三角形相似 4 [母题中考·盐城教材P31 习题T10]如图1.4-19，在 △ABC与△A′B′C′中，D，D′分别在边BC，B′C′上，且△ACD∽△A′C′D′，若______，则△ABD∽△A′B′D′. 请从① =；② =；③∠BAD= ∠B′A′D′这三个选项中选择一个 作为条件(写序号)， 并加以证明. 例 13 中考风向标 试题评析：本题考查相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质，属于中考常考题型. 中考风向标 解：(答案不唯一)选择① . 证明：因为△ACD∽△A′C′D′， 所以∠ADC=∠A′D′C′， = . 所以∠ADB= ∠A′D′B′. 因为 =，所以=.所以= . 又∠ADB= ∠A′D′B′，所以△ABD∽△A′B′D′． 中考风向标 1. [期末·株洲天元区]如图，AD，BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是(　　) A. AB ∥ CD B. ∠ A= ∠ D C. = D. = D 综合素养训练 2. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点.若∠AEF=90°，则一定有( ) A. △ ADE ∽△ ECF B. △ ECF ∽△ AEF C. △ ADE ∽△ AEF D. △ AEF ∽△ ABF A 综合素养训练 3. 已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的是(　　) B 综合素养训练 4. [中考·深圳]如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则的值为(　　) A. B. C. D. D 综合素养训练 5. [新视角条件开放题中考·邵阳]如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件：_____________________ ，使△ADE∽△ABC． ∠ADE=∠B(答案不唯一) 综合素养训练 6. [中考· 常州] 如图，在ABCD 中，E 是AD上一点，DE=2AE，CE，BA的延长线相交于点F，若AB=2，则AF=______． 1 综合素养训练 7. [母题 教材P31 习题T9]图(1)、图(2)中小正方形的边长均为1，则图(2)中的三角形(阴影部分)与图(1)中的△ABC相似的是_______(填序号). ② 综合素养训练 8. [中考·常德] 如图①，在Rt △ ABC 中，∠ ABC=90 °，AB=8，BC=6，D 是AB上一点， 且AD=2， 过点D 作DE ∥ BC交AC 于点E，将△ ADE 绕A 点顺时针旋转到图②的位置，则图② 中 的值为________. 综合素养训练 9. [湖南师大附中自主招生]如图，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB= ∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE ⊥ AB 交AC 于点H，DF 交AC 于点G，则重叠部分(△DGH) 的面积为_______. 综合素养训练 10. [期末· 张家界永定区]如图，在四边形ABCD中，∠ADB= ∠ACB，延长AD，BC相交于点E. 求证： 综合素养训练 (1)△ACE∽△BDE； 证明：因为∠ACB=∠ADB， 所以180°-∠ACB=180°-∠ADB， 即∠ACE=∠BDE.又∠E=∠E，所以△ACE∽△BDE. 综合素养训练 (2)BE·CD=AB·DE. 因为△ACE∽△BDE，所以=，从而=. 又∠E=∠E，所以△EAB∽△ECD，从而=， 所以BE·CD=AB·DE. 综合素养训练 11. [中考·扬州]如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． 综合素养训练 (1)求证：四边形AFCE是菱形； 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AD∥BC.所以∠AEO=∠CFO. 因为对角线AC的垂直平分线是EF， 所以AO=OC，EA=EC.又∠AOE=∠COF， 所以△AOE≌△COF(角角边).所以AE=CF. 所以四边形AFCE是平行四边形. 又EA=EC，所以四边形AFCE是菱形. 综合素养训练 (2)当AB=3，BC=5 时，CE 平分∠ACD，求DE的长． 解：如图所示. 因为CE平分∠ACD，所以∠1=∠2. 因为四边形AFCE是菱形，所以∠2=∠3. 所以∠1=∠3.因为四边形ABCD是平行四边形， 所以∠B=∠D，AB=CD=3.所以△CBA∽△CDE， 从而=，即=，解得DE=95. 综合素养训练 12. [母题 教材P31习题T11]如图，在△ ABC 中，AB= 10 cm，BC=20 cm，点Р 从点A开始沿AB边向点B以 2 cm/s的速度移动, 点Q从点B开始沿BC边向点C以 4 cm/s 的速度移动，如果P，Q分别 从A，B同时出发，经过几秒时， △PBQ与△ABC相似？ 综合素养训练 解：设经过t s时，△PBQ与△ABC相似， 则AP=2t cm，BQ=4t cm，BP=(10-2t)cm. 因为∠ABC=∠PBQ，所以分两种情况： ①当=时，有△PBQ∽△ABC， 此时有=，解得t=2.5. 所以经过2.5 s时，△PBQ与△ABC相似. 综合素养训练 ②当=时，有△PBQ∽△CBA， 此时有=，解得t=1. 所以经过1 s时，△PBQ与△ABC相似. 综上所述，经过1 s或2.5 s时，△PBQ与△ABC相似. 综合素养训练 证明：因为AB＝6，D为AB的中点， 所以AD＝AB＝3.因为AC＝9，CE＝7， 所以AE＝AC－CE＝9－7＝2. 所以＝＝，＝＝.所以＝. 又因为∠EAD＝∠BAC，所以△AED∽△ABC. $