1.5相似三角形的性质 课件 2026-2027学年数学湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦相似三角形的性质，系统讲解对应线段比、周长比等于相似比及面积比等于相似比的平方，通过表格对比高、角平分线、中线的推理过程，构建从判定到性质的逻辑支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以表格化呈现推理培养几何直观，一题多解（例2用对应边比例与周长比两种方法）发展推理能力，实际问题（例6小区种植花卉）强化模型意识。课堂小结梳理性质，易错点辨析避误区，助力学生深化理解，为教师提供结构化教学资源。

1.5 相似三角形的性质 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 相似三角形对应线段的比 相似三角形面积的比 知识点 相似三角形对应线段的比 知1－讲 1 1. 已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，由相似三角形的判定和性质可以证明：相似三角形对应线段的比等于相似比. 具体见下表： 感悟新知 知1－讲 图形 推理 结论 相似比 ===k 相似比为k 感悟新知 知1－讲 图形 推理 结论 对应边上的高的比 AD，A′D′分别为△ ABC和△ A′B′C′的高 由两角分别相等的两个三角形相似，得△ ABD ∽△ A′B′D′,再由相似三角形的对应边成比例，得==k 对应边上的高的比等于相似比 感悟新知 知1－讲 图形 推理 结论 对应角平分线的比 AN，A′N′分别为△ ABC和△ A′B′C′的角平分线 由两角分别相等的两个三角形相似，得△ ABN ∽△A′B′N′， 再由相似三角形的 对应边成比例，得==k 对应角平分线的比等于相似比 感悟新知 知1－讲 图形 推理 结论 对应边上的中线的比 AM，A′M′分别为△ ABC和△ A′B′C′的中线 由两边成比例且 夹角相等的两个 三角形相似, 得 △ ABM ∽△A′B′M′, 再由相似三角形的 对应边成比例，得==k 对应边上的 中线的比等 于相似比 感悟新知 知1－讲 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应线段的比等于相似比. 感悟新知 知1－讲 2. 相似三角形周长的比与相似比的关系 性质：相似三角形的周长比等于相似比. 已知△ABC∽△A′B′C′，由相似三角形的定义和比例的性质可以证明相似三角形的周长比等于相似比, 具体如下表： 感悟新知 知1－讲 图形 推理 结论 相似三角形的周长比 若== =k，则==k 相似三角形的周长比等于相似比 感悟新知 知1－讲 拓宽视野 对应线段是指两个三角形中位于相同位置且具有相同性质的线段.如图1.5-1，△ ABC∽ △ A′B′C′，相似比为k，且BD=BC，B′D′=B′C′，则=k. 感悟新知 知1－讲 特别提醒 在运用相似三角形对应线段的性质解题时，要注意前提条件： (1)两个三角形必须相似； (2)抓住“对应”二字，并不是相似三角形中任意高的比、中线的比、角平分线的比都等于相似比. 感悟新知 知1－练 [母题 教材P34 练习T2]已知△ABC∽ △A'B'C'，BD和B'D'是它们的对应高，AE和A'E' 是它们的对应角平分线. 若BD=3 cm，B' D' =6 cm，A'E'=8 cm，求AE的长. 例1 解题秘方：利用相似三角形中对应线段的性质得到有关对应线段的比例式，然后将相关数据代入求值. 感悟新知 知1－练 解：由相似三角形的性质定理1, 可知两个相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比，即= .代入数据，得=，解得AE=4 cm. 故AE的长为4 cm. 感悟新知 知1－练 感悟新知 1-1. [母题 教材P36 习题T1]两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm 和5 cm，那么这两个三角形的相似比是_______；如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线长3 cm，那么较长的中线长_______ cm. 知1－练 [一题多解] △ABC的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的△DEF，其最长边为12，则△DEF 的周长是( ) A. 54 B. 36 C. 27 D. 21 解题秘方：根据“相似三角形的对应边成比例”或“相似三角形的周长比等于相似比”列方程求解. 例2 感悟新知 知1－练 解：方法一 设长为2 的边的对应边的边长是x，长为3 的边的对应边的边长是y.因为△ABC∽△DEF，所以==， 解得x=6，y=9.所以△DEF的周长是6+9+12=27. 方法二 设△DEF的周长为m.因为△ABC∽△DEF，所以=.所以m=27，即△DEF的周长是27. 答案：C 感悟新知 知1－练 感悟新知 2-1.[期末·长沙开福区]已知两个三角形的相似比为1 ∶ 4，且它们的周长相差27 cm，则较小的三角形的周长为_______. 9 cm 知2－讲 知识点 相似三角形面积的比 2 相似三角形的性质定理2：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 已知△ABC∽△A'B'C'，且相似比为k，由比例的性质和等式的性质可以证明相似三角形的面积比等于相似比的平方. 具体如下表： 感悟新知 知2－讲 图形 推理 结论 相似比 ====k 相似比为k 面积比 ==k2 面积比等于相似比的平方 感悟新知 知2－讲 拓展 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 感悟新知 知2－讲 特别提醒 相似三角形的面积比等于相似比的平方，而不是等于相似比.相似比等于面积比的算术平方根. 感悟新知 感悟新知 知2－练 如图1.5-2，△ABC∽△A′B′C′，BC=6，B′C′=4，AD⊥BC于点D，AD=4，求△A′B′C′的面积. 例3 解题秘方：利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解. 知2－练 感悟新知 解：S△ABC= BC·AD=×6×4=12.因为△ABC∽△A′B′C′， 所以=()2，即=()2=. 所以S△A′B′C′==，即△A′B′C′的面积为. 知2－练 感悟新知 3-1. [期末·郴州北湖区]如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边上一点，且AE=2DE，BD 与CE 相交于点F，若△ DEF 的面积是3，则△ BCF 的面积是______. 27 相似三角形的性质 相似 三角 形的 性质 性质定理1 周长的比等 于相似比 性质定理2 对应线段的比 等于相似比 面积的比等于 相似比的平方 课堂小结 题型 利用相似三角形的性质求线段长 1 如图1.5-3，在 Rt △ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，DE∥AB. (1)当△CDE的面积与四边形DABE 的面积相等时，求DE的长； (2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，求DE的长 . 例4 综合应用创新 解题秘方：紧扣“平行线构成的A型相似图形”的特征，用相似比与面积比、周长比的关系进行求解 . 解法提醒 相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方；反之，两个三角形相似，相似比等于周长比，相似比等于面积比的算术平方根 . 综合应用创新 解：因为AC=4，BC=3，∠C=90°，所以AB=5. 因为DE∥AB，所以△ABC∽△DEC. (1)当△CDE的面积与四边形DABE的面积相等时，S△CDE∶S△CAB=1∶2. 又因为=()2，所以 ==. 所以DE=AB=. 综合应用创新 (2)当△CDE的周长与四边形DABE的周长相等时，CD+CE=AD+AB+BE. 所以CD+CE= =6. 因为△ABC∽△DEC，所以 = = . 所以 = = ，解得DE= . 综合应用创新 题型 利用相似三角形的性质探究规律 2 [一题多解]如图1.5-4，△ABC是斜边长为3 的等腰直角三角形(AB为斜边)，在△ABC内作第 1 个内接正方形A1B1D1E1(点D1，E1在AB上，点A1，B1分别在AC，BC上)，再在△A1B1C内按同样的方法作 第 2 个内接正方形A2B2D2E2……如此 下去，操作n 次，则第 n 个正方形 AnBnDnEn的边长是_______. 例5 综合应用创新 思路导引： 综合应用创新 解：如图 1.5-4，过点C作CH⊥AB于点H，交A1B1 于点H1. 因为△ABC是斜边长为 3的等腰直角三角形，所以CH= AB=1.5.由四边形A1B1D1E1 为正方形，知H1H=A1B1， 且A1B1 ∥AB，所以△CA1B1 ∽△CAB. 所以=，即=， 解得A1B1=1. 综合应用创新 同理，可得△CA2B2 ∽△CA1B1，所以△CA2B2 ∽△CAB， 所以易得=，解得A2B2=. 同理，可得 A3B3= =，A4B4== ……如此下去，可推 出AnBn= .因此，第 n 个正方形AnBnDnEn 的边长是. 综合应用创新 另解 本题也可直接利用几何关系列方程求解. 过点C作CH⊥AB于点H，交A1B1于点H1.因为△ABC是斜边长为3的等腰直角三角形，所以CH=AB=1.5.同理可得 CH1=×A1B1.因为四边形A1B1D1E1是正方形，所以H1H=A1E1=A1B1.所 以CH=CH1+H1H=×A1B1+A1B1=A1B1，故A1B1=1.5,解 得A1B1=1,同理可求A2B2=,A3B3==，A4B4==……如此下去，可推出AnBn=，因此，第n个正方形AnBnDnEn 的边长是. 综合应用创新 题型 利用相似三角形的性质解决实际问题 3 [情境题 生活应用]某小区的居民筹集资金1 600元，计划在一块四边形空地ABCD上种植花卉(如图 1.5-5)，其中AD∥BC，AD=10 m，BC=20 m. 例6 综合应用创新 (1)种植太阳花的价格为8 元 /m2，在△AMD地带上种满太阳花(图1.5-5 中阴影部分)共花了 160 元，请计算在△CMB地带上种满太阳花所需的费用； (2)若其余地带有玫瑰花和茉莉花两种花 卉可供选择(仅种植一种)，价格分别为 12 元 /m2 和 10 元 /m2，则选择种植哪 种花卉可以刚好用完所筹集的资金？ 综合应用创新 解题秘方：紧扣“相似三角形面积的比”的性质，建立相似三角形的模型求解 . 综合应用创新 思路点拨 (1)先证明△ AMD 与△ CMB 相似，然后根据相似三角形的性质求解； (2)根据(1)中求得的△ AMD 和 △ CMB的 面积，可求出△ AMD 的边 AD 上的 高和△ CMB 的边 BC 上的高，由于梯 形 ABCD 的高为△ AMD 的边AD 上的高与△ CMB 的边BC 上的高之和，故可求得梯形的面积，从而求解. 综合应用创新 解：(1)因为AD∥BC，所以△AMD∽△CMB. 所以=()2=()2=. 由题意易知S△AMD=160÷8=20(m2)，所以S △CMB=80 m2. 所以在△CMB地带上种满太阳花所需的费用为8×80=640(元). 综合应用创新 (2)设△AMD的边AD上的高为h1 m，△CMB的边BC上的高为 h2 m，则梯形ABCD的高为(h1+h2)m. 因为×10h1=20，×20h2=80，所以h1=4，h2=8. 所以S梯形ABCD= ×(10+20)×(4+8)=180(m2)， 所以S△AMB+S△DMC=180-20-80=80(m2). 因为160+640+80×12=1760(元)，160+640+80×10=1600(元)， 所以选择种植茉莉花可以刚好用完所筹集的资金. 综合应用创新 另解 因为△ AMD ∽△ CMB，所以==.所以CM=2AM. 又因为△ AMD 边AM 上的高与△ DMC 边MC 上的高相 等，所以S△ DMC=2S△ AMD=40 m2. 同理可得S △ AMB=40 m2. 所以S △ AMB+S △ DMC=40+40=80(m2). 综合应用创新 易错点 误认为相似三角形的面积比等于相似比而出错 3 [母题 教材P36 例4]两个相似三角形对应边的长分别为20 cm和40 cm，且这两个相似三角形的面积差为 90 cm2.求较大三角形的面积. 例7 综合应用创新 错解：设较大三角形的面积为x cm2， 则较小三角形的面积为(x-90)cm2. 由题意得 =，解得x=180. 因此，较大三角形的面积为180 cm2. 正解：设未知数同错解，由题意得=()2， 解得x=120.因此，较大三角形的面积为120 cm2. 综合应用创新 诊误区： 两个相似三角形的面积比等于相似比的平方. 本题误认为面积比等于相似比而出错. 综合应用创新 $