湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学专题复习12（空间图形中的角的计算）

**基本信息** 聚焦空间图形中异面直线所成角、线面角、二面角的计算，融合几何法与向量法，构建“判定-计算-应用”的完整逻辑链，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间角计算综合|7题（含2道解答题）|几何法（线面垂直判定、余弦定理）、向量法（空间直角坐标系）、体积法（等体积求距离）|以空间垂直关系为基础，通过正方体、菱形、四棱锥等载体，实现从角的定义到三类角计算的递进，结合动态问题（动点轨迹）提升应用能力|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末专题复习12 （空间图形中的角的计算） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、多选题 1．如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三棱锥外接球的体积为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 2．如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱BC，，的中点，则下列结论正确的是（    ）   A．直线EF到平面的距离为2 B．直线AE与直线的夹角的余弦值为 C．点C与点G到平面AEF的距离之比为 D．平面AEF截正方体所得截面面积为 二、填空题 3．如图，已知在四棱锥中，底面是菱形，且底面，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下几个结论： ①截面的面积等于；②截面是一个五边形且只与四棱锥四条侧棱中的三条相交； ③截面与底面所成锐二面角为；④截面在底面的投影面积为.其中，正确结论的序号是________. 4．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论： ① ；② ；③ 直线与底面所成角的正弦值为； ④ 面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________． 5．如图，正方体的棱长为2，E，F，G分别为棱，，的中点，则①直线到平面的距离为2；②直线与直线的夹角的余弦值为；③点与点到平面的距离之比为；④平面截正方体所得截面面积为9．上述结论中正确的序号是______． （第1题图） （第2题图） （第3题图） （第4题图） （第5题图） 三、解答题 6．如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点. (1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)当三棱锥体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正切值. 7．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，平面平面，，，、分别为、的中点． （1）求证：； （2）求证：平面平面； （3）设为线段上的一动点（包含端点、两点），求点到平面的距离. 湖北曾都一中2025至2026学年高一下数学期末专题复习12 （空间图形中的角的计算）参考答案 题号 1 2 答案 AC ACD 1．AC【详解】易证四边形为菱形，所以，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，所以平面又平面，所以，故A正确； 易证为等腰直角三角形，为等边三角形，且平面平面， 所以三棱锥外接球的球心为等边三角形的中心，所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为，故B错误； 因为，所以为异面直线与所成的角或其补角，因为，所以，在中，由余弦定理，得，故C正确； 因为平面，所以为在平面内的射影，若直线与平面所成的角为，则， 因为，所以，故点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 所以点的轨迹长度为，故D错误．故选：． 2．ACD【详解】对于A项，∵平面∥平面，平面， ∴直线EF到平面的距离即平面与平面的距离，由正方体的特征可知该两个面距离为2，故A正确； 对于B项，如图，取的中点M，连接，易证 ∥，∴是直线AE与直线的夹角， ∵，，∴，故B错误；    对于C项，记点C与点G到平面AEF的距离分别为、， ∵，，∴， 即点C与点G到平面AEF的距离之比为，故C正确； 对于D项，连接、，易证∥，即A、、F、E四点共面， ∴平面AEF截正方体所得截面为梯形，如图作，垂足为N，    ∵，，，∴，，故D正确．故选：ACD． 3．②③④【详解】取CD中点G，PA的四等分点I，依次连接E、F、G、H、I，设，则M为CN中点，N为AC中点，故M为AC四等分点，故， 底面是菱形，，则为正三角形，，又，∴，. 底面，底面，∴，，∴， ∵分别是棱的中点，∴，且，.综上可知，多边形EFGHI即为平面截四棱锥所得的截面多边形. ∵平面PAC，∴平面PAC，∵平面PAC，∴，∴，∴四边形EFGH为矩形，其面积为.设，则M为CN中点，N为AC中点，∴，.∵平面PAC，平面PAC，∴平面PAC，∵平面EFGH平面PAC，∴且，∴，∴的边EH上的高，∴，∴截面的面积等于，①错；由图可知，截面是一个五边形，只与四棱锥四条侧棱中的侧棱PA、PB、PD相交，②对； 截面，平面ABCD， ，则平面PAC，平面PAC，则，，∴为截面与底面所成锐二面角，则在中，，故截面与底面所成锐二面角为，③对； 取AB、AD中点K、L，则，则底面，底面，∴多边形AKFGL为截面在底面的投影，且，则多边形AKFGL的面积为，④对.故答案为：②③④ 4． ①④【详解】 由， 得平面，因为平面，所以，①正确计算可得,，， 所以，②不正确； 由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确； 由得，， ， 时最小，④正确．故答案为：①④ 5．①②③【详解】对于①，∵平面∥平面，平面， ∴直线EF到平面的距离即平面与平面的距离， 由正方体的特征可知该两个面距离为2，故①正确； 对于②，如图，取的中点M，取的中点T，连接， 易证 ，∴是直线AE与直线的夹角，∵，，∴，故②正确； 对于③，记点C与点G到平面AEF的距离分别为、， ∵，， ∴，即点C与点G到平面AEF的距离之比为，故③正确； 对于④，连接、，易证，即A、、F、E四点共面， ∴平面AEF截正方体所得截面为梯形，如图作，垂足为N， ∵，，，∴， ，故④错误． 故答案为：①②③． 6．(1)证明见解析；(2)2. 【详解】（1）由题设知，平面平面，交线为.因为，平面， 所以平面，平面，故,因为是上异于，的点，且为直径， 所以，又，平面， 所以平面，而平面，故平面平面； （2）以D为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点. 由题设得， 设是平面MAB的法向量，则即，可取， 又是平面的一个法向量，因此，， 得，所以，，所以面与面所成二面角的正切值是. 7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【详解】解：（1）∵，且为的中点，∴． ∵底面为矩形，∴，∴； （2）∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，又平面，∴． 又，，、平面，∴平面， ∵平面，∴平面平面； （3）取中点，连接、， 中，为中点，且， 由四边形为矩形，为中点，且， 且，则四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， 则点到平面的距离，即为点到平面的距离，设为， ，，， 则，即，. 故到平面的距离为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $