黑龙江大庆铁人中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

**基本信息** 铁人中学高二下数学月考试卷，以二项式定理、导数、概率等核心知识为载体，通过“六艺”课程排列、工厂零件检测等情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|二项式系数、条件概率、导数单调性|基础概念辨析，如第2题条件概率直接考查定义| |多项选择|3/18|排列组合（六艺文化）、导数拐点|情境创新，第10题结合“六艺”考不相邻排列| |填空|3/15|全概率公式、导数不等式|实际应用，第13题三罐取红球考全概率| |解答题|6/77|导数应用（极值、零点）、概率综合|分层设计，第17题工厂检测问题链考查数学建模|

铁人中学2024级高二下学期月考考试 数学试题 试题说明：1、本试题满分150分，答题时间120分钟. 2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡. 第Ⅰ卷 选择题部分 一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．在的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．10 C．40 D．80 2．已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人、则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为（    ） A．22.5% B．30% C．40% D．45% 3．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 4．以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（   ） A．70 B．58 C．64 D．62 5．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处有极大值，则（    ） A． B． C．2 D．6 7．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c之间的大小关系为（    ） A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知，且展开式中所有的二项式系数和为，则（    ） A． B． C． D． 10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（   ） A．课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B．课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C．课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D．课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 11．定义：设是的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数，则下列说法中正确的有（    ） A．的对称中心为 B．若关于x的方程有三解，则 C．若在上有极小值，则 D．若在上的最大值、最小值分别为，则 第Ⅱ卷 非选择题部分 三、填空题(本题包括3小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在答题卡中横线上) 12．现有甲、乙等5人需在五一假期值班3天，每天至少有1人值班，且每人只值班1天.若要求甲、乙在同一天值班，则不同的安排方案有______种.（用数字作答） 13．三个罐子分别编号为1，2，3，其中1号罐中装有2个红球和1个黑球，2号罐中装有3个红球和1个黑球，3号罐中装有2个红球和2个黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率_______. 14．已知对于，都有，则的最大值为___________． 四、解答题(本题共6小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在的展开式中， (1)求二项式系数最大的项； (2)若第项是有理项，求的取值集合； (3)系数最大的项是第几项. 16．已知函数． (1)若是函数的极值点，求在处的切线方程． (2)若，求在区间上最大值． 17．某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三个等级：一等品、二等品和次品．根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1．现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品． (1)求自动检测判断零件为次品的概率． (2)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率． (3)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰．求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率． 18．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若有两个不同的零点，，求的取值范围． 19．定义“下凸函数”：在区间上，对任意，均有，当且仅当时，等号成立．若函数在区间上存在二阶可导函数，则为区间上的“下凸函数”的充要条件是（为的导函数）． (1)若是上的“下凸函数”，求实数的取值范围； (2)证明：函数在上为“下凸函数”； (3)已知正实数满足，求的最小值（用含的代数式表示）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) i 铁人中学2024级高二下学期月考考试数学答题 卡 考场/座位号： 姓名： 准考证号 班级： [o] o] [o] [o] [o] [o] [o] [o] 注意事项 [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] [1] 答题前，请将姓名、班级、考 场、准考证号填写清楚。 [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2.客观题答题必须使用2B铅笔填 [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] [3] 涂，修改时用橡皮擦干净。 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 3.主观题使用黑色笔书写 必须在题号对应的答题区内作 [5] [5] [51 [5] [5] [5] [5] C51 答，超出答题区书写无效。 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [7] [7] [7] [7] [7] [7] [7] 正确填涂 ☐缺考标记 [8] [8 [8] [8] [8] [8] [8 [ [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 单项选择题 1[A][B][C][D] 4[A][B][c][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][c][D] 5[A][B][c][D] 8[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 6[A][B][c][D] 二、多项选择题 9[A][B][C][D] I0[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题 12. 13 14. 四、解答题 15 囚囚■ ■囚囚 9I ■ ■ 囚■囚 ■ 0 0 8I ■ 囚■囚 '6I ■ 口 ■题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B A A 12.36 23 13.36 15.1)TH=CW =C52x1号，=0,1,8 二项式系数最大的项为中间项，即第5项， 所以了=C2号=120r 当 2”为整数时为有理项， 即r=0,2,4,68, 则K的取值集合为 0,2,4,6,8 (3)设第r+1项的系数最大， Cg2≥Cg2-1 则C2≥Cg2, 221 r9-r 所以1 2，解得 8-rr+1 5≤r≤6 故系数最大的项为第6项和第7项 16.(1)f'y=3x2-a 又x=l是函数 的极值点， 9 10 11 BCD BCD AB :f四=3-a=0 即a=3 检验x=1是极值点成立，a=3 .f(=r-3x+3f4=3x2-3 f-H=5.f(-1=0 f纠在-L八-川处的切线方程为”-5=0(x+,即y=5, 所以(d在，f-)处的切线方程是y=5 2)=3-a,令国=-0，得=+号， a 在]单调造诚，在V a 单调递增 而f0)=a.f12=8-a ①当a≥8-a,即a≥4时，fm=a ②当0<a<8-a,即0<a<4时，f(xm=8-a 综上，当a≥4时，f=a 当0<a<4时， f(x)max =8-a 17.(1)设事件A表示“零件是次品”，B表示“自动检测判断零件为次品”， 事件，4分别表示零件是一等品、二等品， 则PB到=PPAA+P4)P8A+PA)P4=0.Ix0.9+0.2x0.05+0.7x0=0.L 试卷第2页，共3页 (2)由(1)知PB=0.1,则P4B到= AB_PAPA_0.1x0.9=0.9 P(B P(B 0.1 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为0.9 (3)设事件C表示“零件需要进行人工抽检”，D表示“人工抽检的零件为一等品”， 则PC)=0,7+02x0.15=0,73PCD=0,7 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为 P(DC)-P(CD]_0.7 70 PC)0.7373 18。（1)函数f)的定义域为0，m,)=2x-2a-1+-2x-x-0) 当0时，山了20得0<x政xa:由国<0：解得 <x<a, 函数在0宁.a+四)上单调造增，在兮0)上单调递减： 当a=2时，f八x)≥0，f()在(0，+0)上单调递增： 当0<a时，由/>0：得0<<和或x>2,由<0：得a<x<分 1 21 函数m在0a,+四)上单调递增，在a,宁上单调莲减： 当，≤0时，由y≥0：得>分由了附0：餐0<x< 1 函数f在（气+o)上单调递增，在(0，上单调递减， 综上所述：当a>2时，函数f的区间在0，.(a,+∞)上分别单调递增，在区间)上 单调递减； 当a=2时，函数f)在(0，+)单调递增： 当0<a<2时，函数f区间在0，a,(+w)上分别单调递增，在区间(a,2单调递减： 当a≤0时，函数f)在区间(+∞)上单调递增，在区间(0，上单调递减 (3)依题意，g(=产-(2a+ix+-alnx---(a-lnr=-(2a+Dr+lnr 由g=0,得2a+1= x，记)=m ,求导得H)=1-血r x2 当0e时0=l0,当xe时，-1<0， x2 图数在Q9上单阔道赠，在e+上单调过减，且e)。,当x>1时≥0恒皮 立， 因此要使8( 有两个零点，即直线》=2a+1 函数 y=h(x) 的图象有两个交点， 1 1-e 必有0<2a+1<5,即-2<a<2e, 1 1-e 所以。的取值范围是2 <a< 2e 1 y=h(x) e y=a+1 e 19.1由国=ae-,可得f八=ae-2x,则（国=ae-2 因为f刊=ae-r是0,2上的“下凸函数”， 所以≥0对任意的x0,2恒成立， 即ae-2≥0恒成立，所以a≥。在0,2]上恒成立. 令叫-忌0≤≤2到，则函载叫树在0，上单调递减 所以m(x=m(0)=2 试卷第4页，共3页 所以a≥2，即实数0的取值范围为 ,+∞) (2)由8)=e+cosr,可得8=e-sinx,g(=e-cosx】 令y=g(划=e-cosr 0. 当0习时=+迪x0.所以A在2单调避 所以≥h0)=e°-cos0=0,即8（≥0 根据“下凸函数”的充要条件可知，函数g引=心+0s在0写引上为“下凸函数”。 (3)令p(=e-x0<x<1) 则=c-1>0,即D小是增函数，所以叫>c0= 又e5-xe-小e-x=pxpx小…px 考虑函数a(=npx=n(e-x(0<x<,求导得o)=c ex-x 则od=ee-小-e-2-c-1 (e*-x (e*-t2 当r∈(0，时，(2-e-1=l-e+e->0,则p四>0， 故（在0,1上为“下凸函数”， +o]++ox之p5+++】 所以 、n, pne-+ne-5小+he-≥w日=he-=he-, 即e*-川e-小-e-s小ne 所o-e--e-- 当且仅当=名==X,=n时，等号成立， 因te15小e-5e0恤为e- 试卷第6页，共3页