湖北随州市曾都区第一高级中学2025-2026学年高一下学期期末数学综合测试2

**基本信息** 以跨章节知识整合为核心，通过立体几何、三角函数、统计与函数等模块综合考查，突出空间观念、数据意识与推理能力的系统性训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|第1、10、14、18题|线面关系证明、体积最值、空间距离计算|以空间观念为核心，构建“判定定理-性质应用-体积转化”逻辑链| |三角函数与解三角形|第3、4、7、15、16、19题|图像变换、对称中心、实际测量、三角恒等变换|遵循“概念生成-性质推导-实际应用”脉络，强化模型观念| |统计|第12、13、17题|方差计算、频率分布直方图、数据处理|体现数据意识，通过“数据表征-特征提取-统计推断”形成闭环| |函数|第2、5、8、9、11题|图像判断、零点问题、单调性分析|围绕函数性质，构建“数形结合-分类讨论-逻辑推理”思维路径|

湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期数学期末综合测试2 时间：2026-6-13-18：30-20：30 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知是不同的直线是不重合的平面，若则（    ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象是（    ） A． B．C． D． 3．函数的图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期为，为了得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 5．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 7．深圳高级中学高一年级迎来了2026年春季数学活动周，同学们都积极参加各种数学活动，深圳大梅沙海滨公园以其绵长的海岸线和“愿望塔”闻名，某个数学兴趣小组计划测量愿望塔的高度，他们在愿望塔正东方向的沙滩上选取了观测点A，在点A处测得愿望塔顶端P的仰角为，又在沙滩上选择了观测点B（A，B和塔底O在同一个水平面上），愿望塔底端位于点B的北偏西，已知A，B两点的距离为100米，测得点B位于点A的南偏西，则愿望塔的高度约为（    ）（参考数据：，） A．60米 B．71米 C．85米 D．100米 8．已知函数，若在上恰有三个零点，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，，则下列关于函数的描述正确的有（   ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 10．如图，棱长为1的正方体中，､､分别为棱､､的中点，则下列选项中正确的是（    ） A．平面 B．平面 C． 到平面 的距离为 D．平面被正方体所截得的截面面积为 11．如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 （第10题图） （第11题图） （第13题图） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．若一组数据，，，…，的方差为4，则，，，…，的标准差为________． 13．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得频率分布直方图，则这500件产品质量指标值的样本方差是__________（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 14．三棱锥中，，且，，则三棱锥体积的最大值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15．（13分）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点． (1)求的值； (2)求证：． 16．（15分）已知函数 (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在上的值域及取得最大值时值. 17．（15分）某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间.学生成绩的频率分布直方图如图： （1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到） （2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差.（参考公式：） （3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为米.其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米.现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：） 18．（17分）如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 19．（17分）在中，内角的对边分别为，且. (1)求. (2)若，点是边上的两个动点，当时，求面积的取值范围. (3)若点是直线上的两个动点，记.若恒成立，求的值. 湖北曾都一中2025至2026学年高一下学期数学期末综合测试2 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A A C C C B A ABD BCD ACD 12．6 13. 110 14． 8．A【详解】令，即，解得或， 当时，可得，所以， 所以所以， 故ABD正确，C错误. 11．ACD【详解】对于A，当是线段的中点时， ，所以，故A正确， 对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为， 则平行于，延长与直线交于点，则， 所以，则， 又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段， 当点与重合时，， 当点与重合时，， 所以．故B不正确， 对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线，分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即， 连接交于点，因为，且，则， 所以点的轨迹是线段，故C正确． 对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线， 所以，则，所以， 即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确． 14．【分析】将三棱锥体积表示为两个三棱锥体积之和，最后将体积的最大值转化为和 的公垂线段的最大值.    设是和的公垂线段，则，因为，，平面，所以平面，设，所以三棱锥体积， 因此，体积最大值等价于的最大值； 在中，，，由正弦定理：， 其中是外接圆的半径，则， 点的轨迹是一个过两点半径为的圆的弦所对的优弧， 弧上的点到的最大距离出现在弧的最高点（离最远的位置）， 此时为等边三角形（），点到的距离， 同理，点到的最大距离，此时是等腰三角形， 因为平面，所以，因为此时为等边三角形，所以是的中点， 因为此时 是等腰三角形，所以是的中点，此时 ，所以，所以三棱锥体积的最大值为. 15．【详解】（1）因为，所以， 所以，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，即，所以． 16．(1) (2)值域为；取得最大值时值为 17．（1）中位数为；平均数为；（2）平均数为；标准差为；（3）元. 【详解】（1）因为， 所以中位数为满足，由，解得 设平均分为，则 （2）由题意，剩余个分数的平均值为 因为个分数的标准差，所以 所以剩余个分数的标准差为 （3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为： 因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为 因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为： 又因为 因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元. 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）因为且，所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面，所以平面； （2）由平面，平面，得，连接，由且， 所以四边形为平行四边形，又， 所以平行四边形为正方形，所以， 又，所以，又平面， 所以平面，由平面，所以平面平面； （3）由平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以， 故为二面角的平面角，即， 在中，，作，垂足为M， 由（2）知，平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则为直线在平面上的投影， 所以为直线与平面所成的角，在中，，所以，在中，，即直线与平面所成角的正弦值为.   19．(1) (2) (3) 【详解】（1），由正弦定理得. 因为，所以.因为，所以. 由，可得，即，所以. 由正弦定理可得，则， 得，则或（舍去），所以. （2）设，在中，由正弦定理得， 所以.在中，由正弦定理得， 所以. 的面积. 因为，所以， 则，故面积的取值范围为. （3）因为，所以，则，即.又是定值，所以是定值， 所以，因为为的内角，所以，故的值为.   答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $