期末自编模拟卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 该期末测试卷通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从单一知识点到复杂情境的进阶，适配高一下学期数学核心素养发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|复数运算、向量平行、概率基本性质|单选题1-4直接考查概念辨析，培养数学抽象能力| |能力提升|立体几何表面积、解三角形最值、统计图表分析|多选题9-11融合知识交汇，如几何与代数结合，发展逻辑推理| |综合应用|动态几何问题、概率模型构建、空间几何证明|解答题15-19设置探究情境，如六芒星向量取值、三棱锥体积计算，提升数学建模与直观想象|

人教A版必修二 高一下学期期末测试卷 一、单选题 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．已知平面向量，，且，则（   ） A． B． C． D． 3．设一个随机试验的样本空间为，事件，，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．若，则 C．若，则 D．若与互斥，则 4．设为两条不重合直线，是两个不重合平面，则正确命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，半球O的半径为，从中挖去一内接圆柱，圆柱一个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．一个水平放置的圆柱体容器内依次放着两个红球和三个白球，容器两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球，依次取完，球的排列顺序为红，红，白，白，白，则两个红球被连续取出的概率是（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角的对边分别是，若，且的面积为，则b的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 8．如图1，“六芒星”是由两个边长为3的正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行．如图2，点，是“六芒星”的两个顶点，动点在“六芒星”内（包含边界），则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某机构随机抽取100名体育爱好者开展调查，整理得到锻炼时长（均在[13，18]区间内，单位：小时）的频率分布直方图，如图所示，下列说法正确的有（   ） A．频率分布直方图中a的值为0.16 B．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的众数为15小时 C．估计抽取的体育爱好者中，每周锻炼时长不少于15小时的有78人 D．估计抽取的体育爱好者每周体育锻炼时长的80%分位数为16.625小时 10．如图，在正方体中，点在线段上运动（包括端点），则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线平面 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处 11．在△ABC中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则△ABC为钝角三角形 C．若，且，则△ABC为直角三角形 D．在中，若，且满足条件，则动点经过△ABC的垂心 三、填空题 12．已知是虚数单位，，则__________. 13．盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为________． 14．《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 四、解答题 15．在直角梯形中，已知，，，点是边的中点，点是边上一个动点（含端点）．请建立适当的直角坐标系解决下列问题： (1)若， ①求的大小； ②求向量与向量的夹角的余弦值； (2)求的取值范围． 16．如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 17．为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数据在各区间内的频数记录如下表（、、、、均为自然数）： 使用时间 高一 5 12 3 2 高二 6 16 5 3 4 高三 4 (1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求的值； (2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间； (3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件为“抽到的数据是高二学生的”，记事件为“抽到的数据在”，判断事件和事件是否独立，并说明理由． 18．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； (3)若点在边上，且平分，求的长． 19．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C D D A B ACD BCD 题号 11 答案 BD 1．A 【详解】由条件可知，， 所以. 2．C 【详解】由，得，解得，所以，， 则． 3．C 【详解】对于A：是事件的对立事件，满足且，由概率加法公式可得，故A一定成立； 对于B：若，说明事件的全部样本点都属于事件，所以，故B一定成立； 对于C：若，由概率加法公式得，当且仅当即时，才有，若存在公共样本点，该等式不成立，故C不一定成立； 对于D：若与互斥，根据互斥事件定义得，空集的概率为0，因此，故D一定成立. 4．C 【详解】对于选项A，，，m与n可以平行、异面或者相交，故A错误； 对于选项B，因为，，所以.又，所以，故B错误； 对于选项C，由，则存在直线，使得，又，所以，且，所以.故C正确； 对于选项D，因为，可设，则当，时，可得到，，但此时.故D错误.故选：C 5．D 【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r 由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有，故 所以剩余几何体的表面积为. 6．D 【详解】容器左右两端都有开口，每次只能从容器的一端取出1个球， 前4次取球，每次可取左或取右两种选择，最后1次取只有1种选择， 因此不同取法种数为种；按照两个红球被连续取出的情况如下， （1）若在第1，2次取出两个红球，再取另3个球，共有4种方法; （2）若在第2，3次取出红球，则第1次取白球，共有2种方法; （3）若在第3，4次取出红球，则第1，2次取白球，共有1种方法; （4）若在第4，5次取出红球，则第1，2，3次取白球，共有2种方法; 两个红球被连续取出的方法共有种； 所求概率为. 7．A 【详解】由射影定理得，且， 可得，又，得到， 又，则， 解得，由余弦定理得 ， 当且仅当时取等号，所以b的最小值为2，故A正确. 8．B 【详解】如图，作， 则， 由，为在上的投影， 故当点与点或点重合时，取最大值， 即， 又，所以， 由对称性可知. 所以的取值范围是． 9．ACD 【详解】由（0.06＋a＋0.38＋0.32＋0.08）×1＝1，得a＝0.16，所以A正确； 众数为频率最高组的组中值，频率最高的组为[15,16），组中值为＝15.5小时，所以B错误； 因为抽取的体育爱好者每周锻炼时长少于15小时的频率为0.06＋0.16＝0.22，对应人数为100×0.22＝22，所以每周锻炼时长不少于15小时的有78人，故C正确； 设80%分位数为x，因为0.06＋0.16＋0.38＝0.6＜0.8，0.06＋0.16＋0.38＋0.32＝0.92＞0.8，所以x[16，17），由（x－16）×0.32＝0.8－0.6，解得x＝16.625，故D正确． 10．BCD 【详解】 对于A，直线与是正方体对角面的两条对角线，故共面，A错误； 对于B，在正方体中， ，平面，平面， 平面， 连接，由正方体的性质可得， 因为平面，平面， 所以平面. 因为平面, 所以平面平面. 因为平面，所以平面，故B正确. 对于C，如图： 在正方体中，易知为等边三角形，则， ，或其补角为异面直线与所成角， 则异面直线与所成角的取值范围，故C正确； 对于D，连接，记， 在正方体中，平面， 平面，， 在正方形中，， ，平面，平面，平面，， 同理可得：， ，平面，平面， 又平面平面. 所以平面，设交点为， 所以直线与直线相交时，交点为， 又，设正方体棱长为2， 得， 得，又， 所以当直线与直线相交时，交点在靠近的三等分点处，D正确. 11．BD 【详解】A. 当时，满足，则，不满足，故错误； B. 由，得，由正弦定理得，则，所以角为钝角，故正确； C. 因为都是单位向量，且，所以角A的角平分线垂直于BC，所以且，则，所以是等边三角形，故错误； D. 由，得， 则， 所以，即动点在△ABC的高线上，所以动点经过△ABC的垂心，故正确； 故选：BD 12． 【详解】由，可得， 所以，所以， 所以， 故答案为：. 13． 【详解】由"前三次取出球的颜色不完全相同"的对立事件是"三次取出的球全为红球或全为黑球"，因此（不完全相同）（三次全红）（三次全黑）； 每次取球后增加3个同色球，总球数逐次加3个， 所以（三次全红） ， （三次全黑）， 则所求概率为：. 14．36 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 15．(1)①；②. (2) 【详解】（1）①以为原点，、所在的直线为分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则, 若，则是中点，所以， 则，， 所以. ②； （2）设，， 则，， 所以， 因为，所以. 16．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 17．(1) (2)小时 (3)事件与事件不独立，理由如下： 由题意，，且， 因，则， 所以事件与事件不独立. 【详解】（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为人， 所以，可得； （2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为小时； （3）略 18．(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． （2）由，得． 所以． （3）因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 19．(1)因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面． (2) (3) 【详解】（1）略． （2）如下图，分别取的中点M、N，连接， 因为O为中点，所以且， 所以异面直线和所成角（或为邻补角）即为， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 由，得，得． 在直角三角形中，则， 在中， 所以直线和所成角的余弦值为． （3）如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以，， 在中，因为，所以，而，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为， 因为，所以， 又因为，所以，得， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 所以二面角平面角的正切值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $