期末自编测试卷-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 本卷为人教A版必修二高一下期末测试卷，全面覆盖复数、立体几何、概率统计、解三角形、向量等核心知识，通过折线图分析（第4题）、塔高测量（第14题）等情境题，考查数学眼光观察现实世界的能力，解答题梯度设计合理，注重推理能力与数据意识的综合测评。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数虚部、线面关系、概率计算|基础概念辨析，如第5题结合正弦定理判断三角形形状| |多选题|3|统计量、三角形性质、正方体动态问题|第9题考查极差与方差，体现数据观念| |填空题|3|梯形向量、圆锥体积、测量应用|第13题结合旋转体体积，考查空间观念| |解答题|5|向量运算、立体几何证明与体积、统计应用、解三角形、二面角|第17题频率分布直方图分析，强化数据处理与概率计算能力|

人教A版必修二 高一下学期期末测试卷 一、单选题 1．已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（  ） A．1 B．i C． D． 2．设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 3．已知随机事件A、B、C满足，，，，则A、B、C至少有一个发生的概率为（    ） A． B． C． D． 4．某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（   ） A．乙车间产量的中位数为6月份的产量 B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差 C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值 D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数 5．在中，，则这个三角形一定是（     ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 6．在中，为边上的中线，为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 7．在平面四边形中，，，，将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 二、多选题 9．已知一组数据，，，…，（），则下列说法正确的是（    ） A．该组数据的极差为 B．该组数据的70%分位数为 C．剔除，后得到的新数据的平均数小于原数据的平均数 D．剔除，后得到的新数据的方差小于原数据的方差 10．下列说法中不正确的有（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，则 C．若，则不一定是锐角三角形 D． 11．如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 三、填空题 12．在梯形中，，，，点是线段（含端点）上的动点，设，若，则__________. 13．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 14．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    四、解答题 15．已知向量，且与的夹角为. (1)求； (2)若与平行，求实数的值； (3)求与上的投影向量. 16．如图，已知直三棱柱中，，分别为，的中点，，． (1)求证：直线平面； (2)求三棱锥的体积． 17．为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量（单位：克），按照，，，，分为5组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计这种植物果实重量的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量，从该样本分布在和的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 19．如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D D C C D AD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】由题知， 所以z的虚部为1. 故选：A. 2．B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 3．B 【详解】要求事件至少有一个发生的概率，即求和事件， 根据容斥原理： ， 因为 ，且， 所以 ，概率非负，故， 代入已知条件：， 所以. 4．D 【详解】一共11个月的产量数据，中位数是将产量从小到大排序后的第个数据， 对乙车间产量排序后，第6个数据是月份的产量，不是6月份，A错误； 甲车间产量极差约为，乙车间产量极差约为，甲的极差小于乙的极差，B错误； 观察折线图，除9月、10月外，其余月份甲车间产量均高于乙车间，整体估算可得甲产量平均值大于乙的平均值，C错误； 第80百分位数为，根据百分位数计算可知第80百分位数是排序后的第9个数据， 从小到大排序后，甲的第9个数据约为3.85，乙的第9个数据约为3.6，甲的第80百分位数大于乙，D正确. 5．D 【详解】，由正弦定理得， 故， 又， ， 所以， 所以， 即，所以或， 由得或（舍去）， 由得， 故这个三角形一定是等腰或直角三角形 6．C 【详解】， 则，，解得 7．C 【详解】过点分别作，垂足分别为，如下图所示： 在中，因为，，所以， 又在中，，因此，所以； 易知四边形为矩形，所以，可得； 将该四边形绕所在直线旋转一周，所得几何体为一个圆台和一个圆锥组成， 圆台的上、下底面半径为，高为，圆锥底面半径为，高为； 因此圆台体积为， 圆锥体积为， 所以所得几何体的体积为. 8．D 【详解】由于，即. 如图所示，分别是对应边的中点， 由平行四边形法则知， 故， 在正中，， ，则. 故选D. 9．AD 【详解】该组数据的极差为，A正确； 因为，所以该组数据的70%分位数为，B错误； 原数据的平均数为，新数据的平均数为，无法确定与的大小，C错误； 剔除数据，后得到的新数据的波动变小，所以方差变小，Ｄ正确． 10．ABD 【分析】本题综合考查三角形中的三角函数性质、向量平行的性质、余弦定理以及向量数量积的运算律，需逐项分析判断正误，选出表述不正确的选项. 【详解】 选项A：若，在三角形内角范围下有两种可能： ①即，为等腰三角形；②即，为直角三角形，因此不能判定一定为等腰三角形，A错误； 选项B：零向量与任意向量都平行，若为零向量，即使满足、，和也不一定平行，向量平行不具有传递性，B错误； 选项C：由余弦定理仅能说明角是锐角，无法判断角、是否为锐角，若或为钝角，则为钝角三角形，因此不一定是锐角三角形，C正确； 选项D：是与共线的向量，是与共线的向量，和不一定共线，向量数量积不满足结合律，该等式不成立，D错误. 11．ACD 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又， 由，面，故面， 而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于， 面面，面面，面，故面， 而面，则，又，面， 所以面，易知即为异面直线，上两点的距离， 令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 12．/ 【详解】如下图所示，由题意可知， 设，则， 因为， 所以， 又因为，且、不共线，所以，， 故，解得， 所以. 13． 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 14． 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 15．(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为，可得且， 又因为与的夹角为，可得， 解得或， 因为，所以，所以， 则，所以. （2）解：因为， 所以，， 又因为与平行，所以，解得. （3）解：因为，可得， 可得，且， 所以在上的投影向量为. 16．(1) 取的中点为，连接、， 为的中点， 为的中位线， ，且， 又在直棱柱中，侧棱，，为的中点， ， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 直线平面． (2) 【详解】（1）略 （2），， ， 在直三棱柱中，侧棱底面，底面， ， 又、为侧面内的两条相交直线， 侧面， 由（1）得侧面， 为三棱锥的高， 三棱锥的体积． 17．(1) (2) 平均数为 ，中位数为 (3) 【详解】（1）由图知，组距，由，得． （2）各组中点值和相应的频率依次为： 中点值 30 35 40 45 50 频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075 所以， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 果实重量在的频率为， 所以中位数满足关系， 由，解得． （3）由已知，果实重量在和内的分别有4个和3个， 分别记为和， 从中任取2个的取法有： ， ， ，共21种取法， 其中都是优质果实的取法有，共3种取法， 所以抽到的都是优质果实的概率． 18．(1)； (2) 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 19．(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $