精品解析：2026年河北省沧州市第十四中学九年级数学中考考前模拟测试

2025-2026学年第二学期三模考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 0 2. 与的和为0的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 5. 图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 6. 从，，，4四个数中选两个不同的数，分别作为P点横、纵坐标，P点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 10. 如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，点为上一点，且，连接，于点，将绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 15. 如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 16. 蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； （3）直接写出的所有整数解的和． 18. 已知，． （1）将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； （2）当时，若，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 19. 如图，，交于点F，，点C在线段上，且，． （1）求证：； （2）若，，求和的度数． 20. 某学校九年级学生共500人，为了了解学生的体能状况，学校从全年级随机抽取若干名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了分组：A：，B：，C：，D：，E：；整理、描述和分析，绘制了不完整的统计图如下． 说明：①C组数据如下（单位：分）：70、71、73、73、73、74、76、77、78、79； ②成绩80分及以上为优秀，70－79分为良好，60－69分为合格，60分以下为不合格． 根据以上信息，回答下列问题． （1）本次体能测试的样本容量为______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的这些学生测试成绩的中位数，并估计全年级学生达到优秀的人数； （3）若本次体能测试E组中的3个人，有1位女同学和2位男同学，安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，画树状图或列表求两名男生不相邻的概率． 21. 在化学实验室，嘉嘉同学向一定量的硫酸铝钾溶液中加入氢氧化钡溶液，两者发生反应后生成氢氧化铝沉淀和硫酸钡沉淀，当氢氧化钡过量时，氢氧化铝沉淀会逐渐溶解．如图8是氢氧化钡加入量与生成的沉淀物之间的函数图象． （1）解释点代表的含义，并求的值； （2）求段所在直线表示的关于的函数表达式； （3）求沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围． 22. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中，，，现将皮料折叠，点的对应点记为，折痕为（，是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】 如图1，若点，分别位于边，上，当点与点重合时，______； （2）【深入探究】 如图2，若点落在矩形皮料的边上，点在边上，点在边上． ①利用尺规在图2中作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长； （3）【拓展延伸】 若为动点，为的中点，点落在矩形的内部（不含边界），当最大时，直接写出此时的正弦值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D，是抛物线L上任意一点． （1）抛物线的对称轴为直线______；求线段的长； （2）若抛物线L上另一点P的坐标为，且满足，求m的取值范围； （3）若点E在第四象限． ①当时，过点E作轴，与抛物线L交于另一点F．以所在直线为对称轴，将抛物线L位于下方的部分翻折，若翻折后的这部分图象与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，求n的取值范围； ②延长交x轴于点H，当时，将抛物线L和点E一起平移，得到抛物线和点，且点与点H重合．直接写出抛物线与抛物线L的交点坐标． 24. 如图1，在矩形中，，，于点P，点O是线段上一点，以点O为圆心的的长为半径作，交线段于另一点K，交于点M，连接，连接并延长交于点N，设的半径为r． （1）当与直线相切时， ①求r的值； ②求边落在圆内的部分（包括边界）的长度． （2）当时，如图2，求的面积． （3）若，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期三模考试 九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔书写在答题卡指定位置． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是正数的是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 2. 与的和为0的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与的和为的是，逆用同底数幂的乘法法则可得． 【详解】解：与的和为的是， 逆用同底数幂的乘法法则可得：． 3. 已知，则一定有，“□”中应填的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴ “□”中应填的符号是. 4. 2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 5. 图是由5个完全相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，则这个几何体可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图确定底面小正方体的分布情况即可． 【详解】解：由俯视图可知，该几何体底面小正方体的分布情况为：左列只有前排，中列前后排都有，右列只有后排， A选项的俯视图左列前后都有，不符合题意； B选项的几何体中小正方体的位置：前排：左、中各1个；后排：中、右各1个，上层1个在后排中，正好符合俯视图的形状，总共5个小正方体，完全符合题意； C选项的俯视图右列前后都有，不符合题意； D选项的俯视图右列前后都有，不符合题意． 6. 从，，，4四个数中选两个不同的数，分别作为P点横、纵坐标，P点在第二象限的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有可能的点的情况总数，再找出第二象限内符合条件的点的个数，代入概率公式计算即可. 【详解】解：从四个数中选两个不同的数分别作为点的横纵坐标，总情况数为一共12种， ∵第二象限内点的坐标特征为横坐标小于，纵坐标大于， ∴符合条件的一共4种， ∴所求概率为 . 7. 如图，将等腰直角三角形纸片的直角顶点放置在刻度尺的边上，点落在尺子内部，与尺子的边交于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作，根据平行线的性质得到、，由等腰直角三角形的性质得到，利用求解即可． 【详解】解：如图，过点B作， 刻度尺的两边， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，，，，点是线段上一点（不与点，重合），直线的解析式为，当随增大而减小时，点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由点和点的坐标判断出轴，则，且，结合一次函数的增减性可得，从而判断出选项． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点是线段上一点（不与点，重合） ，且， ∵y随的增大而减小， 又 ∵， ，即， 综上，， ∴只有选项C符合． 9. 如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． 10. 如图，，分别是的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用平行四边形对边平行可得平行线间距离相等，从而得出同底等高的三角形面积相等，通过面积割补法将四边形的面积转化为已知三角形面积之和． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，  ， 点A、E、B到直线的距离相等，设为， 、， ， 、， ， 同理得：、， ， 、， ， ． 11. 《九章算术》中记载：“今有不善行者先行一十里，善行者追之一百里，先至不善行者二十里，问善行者几何里及之？”大意为：现有走路不快的人先走里，然后走路快的人去追，追到里时，已经领先走路不快的人里．设走路快的人走到里时就已经追上走路不快的人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用相同时间内路程比等于速度比的关系，先推导得到两人的速度比，再结合追上时的路程关系列方程即可. 【详解】解：由题意可知，当走路快的人走100里时，走路慢的人总共走了里，减去慢的人先走的10里，可得在相同时间内，慢的人走了里； ∵相同时间内，两人的速度比等于路程比， ∴快、慢两人的速度比为， 当快的人走x里追上慢的人时，慢的人在相同追及时间内走了里，速度比不变，因此可列方程： . 12. 如图，在中，，，点为上一点，且，连接，于点，将绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，若，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，交于点，通过证明，得到对应边，对应角相等，通过证明，得到，继而证明，得到，从而在等腰直角三角形中求得． 【详解】解：如图，连接，过点作，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】． 【详解】解：原式． 14. 小明用若干张图1中的长方形和正方形卡片，拼成了如图2所示的长方形图案，已知拼成的长方形周长为，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】观察拼成的大长方形，可知该长方形的长为，宽为，通过周长为可列方程，利用上排3个小长方形的长等于下排2个小长方形的长加上2个小正方形的边长可列方程，联立方程，解方程组即可． 【详解】解：由题意得， 解方程组得：， ∴． 15. 如图，甲、乙二人分别从地前往地，若，两地之间的距离为千米，甲行走的路线为千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为________千米．（写出一个合理的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】延长、交于点，连接，证明得到，，推出千米，由三角形的三边关系得，，推出，由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，延长、交于点，连接， 由题意可得千米，千米， ，，， ， ，， 千米， ，， ， 即， ， ， ， ， 乙行走的路线可能为（答案不唯一）． 16. 蜜蜂的蜂巢结构非常精巧，其横截面均为正六边形（如图1）．图2是由个相同的正六边形组成的一部分蜂巢巢房，每个正六边形的边长都为，正六边形的顶点为“格点”，若将图中其他格点到格点的距离记为，则当时，图中满足条件的格点数为，分别为点，当时，图中满足条件的格点共有________个． 【答案】 【解析】 【分析】分别以为圆心，以不同格点到点的距离的长度为半径作圆，找到所有满足条件的格点数即可． 【详解】解：如图，当时，以为圆心，以的长度为半径作圆，满足条件的格点数为，分别为点， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴不满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， 过点作于点， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（包括点）， ∴， ∵， ∴满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∵， ∴，满足题意， 以为圆心，以的长为半径作圆，与该圆相交的格点有个（点）， ∵图中为个相同的正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴，不满足题意， 综上所述，满足条件的格点有个. 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； （3）直接写出的所有整数解的和． 【答案】（1），数轴见详解 （2），数轴见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）通过移项、合并同类项等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （2）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （3）先分别求出两个不等式的解集，然后取它们的交集得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数解并求和． 【小问1详解】 解：， 得到， 可得． 【小问2详解】 解：，可得， 得到， 可得， 得到． 【小问3详解】 解：不等式组， 由（1）可知的解集为， 由（2）可知的解集为， 所以不等式组的解集为， 在这个解集中的整数解为，，，，， 它们的和为． 18. 已知，． （1）将A因式分解为（其中M，N均为整式，且）的形式，并写出M，N（用含x的代数式表示）； （2）当时，若，通过计算判断“□”是“”“”“”“”中的哪一个运算符号． 【答案】（1）， （2）内填“” 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式进行因式分解，然后问题可求解； （2）由（1）及题意可得，则有，然后问题可求解． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴内填“”． 19. 如图，，交于点F，，点C在线段上，且，． （1）求证：； （2）若，，求和的度数． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）由得，再根据可证明； （2）由全等三角形的性质得，，；由三角形外角性质得，可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ 又∵，， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，，； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某学校九年级学生共500人，为了了解学生的体能状况，学校从全年级随机抽取若干名学生进行了体能测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了分组：A：，B：，C：，D：，E：；整理、描述和分析，绘制了不完整的统计图如下． 说明：①C组数据如下（单位：分）：70、71、73、73、73、74、76、77、78、79； ②成绩80分及以上为优秀，70－79分为良好，60－69分为合格，60分以下为不合格． 根据以上信息，回答下列问题． （1）本次体能测试的样本容量为______，______，并补全频数分布直方图； （2）求所抽取的这些学生测试成绩的中位数，并估计全年级学生达到优秀的人数； （3）若本次体能测试E组中的3个人，有1位女同学和2位男同学，安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，画树状图或列表求两名男生不相邻的概率． 【答案】（1）40；35，图形见解析 （2）72分；150人 （3） 【解析】 【分析】（1）用C组人数除以C组人数所占的百分比，可得抽取的总人数，再用B组的人数除以抽取的总人数，可求出x的值，再求出D组的人数，即可； （2）根据中位数的定义，以及样本估计中，即可求解； （3）根据题意，列出表格，可得一共有6种等可能结果，其中两名男生不相邻的有2种，再由概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：本次体能测试的样本容量为； ， 即； D组的人数为， 补全频数分布直方图如下： 故答案为：40；35 【小问2详解】 解：根据题意得：位于正中间的两个数为71，73， ∴所抽取的这些学生测试成绩的中位数为分， 全年级学生达到优秀的人数为人； 【小问3详解】 解：根据题意，列出表格如下： 左 女 女 男1 男1 男2 男2 中 男1 男2 女 男2 男1 女 右 男2 男1 男2 女 女 男1 一共有6种等可能结果，其中两名男生不相邻的有2种， ∴两名男生不相邻的概率为． 【点睛】本题主要考查了样本容量，中位数，频数直方图，样本估计总体，利用画树状图法或列表法求概率，明确题意，准确从统计图获取信息是解题的关键． 21. 在化学实验室，嘉嘉同学向一定量的硫酸铝钾溶液中加入氢氧化钡溶液，两者发生反应后生成氢氧化铝沉淀和硫酸钡沉淀，当氢氧化钡过量时，氢氧化铝沉淀会逐渐溶解．如图8是氢氧化钡加入量与生成的沉淀物之间的函数图象． （1）解释点代表的含义，并求的值； （2）求段所在直线表示的关于的函数表达式； （3）求沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围． 【答案】（1）点表示当氢氧化钡加入量为时，生成的沉淀物为； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分别判断点的横坐标和纵坐标表示什么，即可得出点代表的含义；先求出段所在直线的函数表达式，再求当时，的值，即可得出的值； （2）已知点，，用待定系数法求函数解析式即可； （3）分别求出段，段函数表达式中，当时，的值，即可得出的范围． 【小问1详解】 点表示当氢氧化钡加入量为时，生成的沉淀物为；（言之有理即可） 由题图得，当时，与成正比例关系， 设段所在直线的函数表达式为， 将代入得 ， 段所在直线的函数表达式为 ， 当时，， 的值为5； 【小问2详解】 解：设段所在直线的函数表达式为， 由（1）得， ， 将点，分别代入中， 得 ，解得 ， 段所在直线表示的关于的函数表达式为． 【小问3详解】 解：由（1）得段所在直线的函数表达式为， 令，则 ，解得； 由（2）得段所在直线的函数表达式为， 令，则，解得， ∴结合图象可得当沉淀物大于时，氢氧化钡加入量的范围为． 22. 【综合与实践】唐山皮影是我国传统民间艺术，其制作过程中常需对矩形皮料进行裁剪与折叠，数学兴趣小组以皮影制作为背景，研究矩形中的折叠问题．在矩形皮料中，，，现将皮料折叠，点的对应点记为，折痕为（，是折痕与矩形的边的交点），再将皮料展平． （1）【初步思考】 如图1，若点，分别位于边，上，当点与点重合时，______； （2）【深入探究】 如图2，若点落在矩形皮料的边上，点在边上，点在边上． ①利用尺规在图2中作出折痕（保留作图痕迹，不写作法）； ②若，求的长； （3）【拓展延伸】 若为动点，为的中点，点落在矩形的内部（不含边界），当最大时，直接写出此时的正弦值． 【答案】（1）3 （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点，分别位于边，上，当点与点重合时， ∴点折叠到点，点折叠到点， ∴ ； 【小问2详解】 解：①如图（答案不唯一）； ②如图，连接DE， 由题意可知所在直线为的垂直平分线， ∴. 当时，设，则 . 在中，由勾股定理得， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：当 最大时， 的正弦值为．如图． ∵为的中点， ∴ ， 在中，由勾股定理得，. 当点在矩形内部时，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 当与半圆相切，即时， 最大， 此时． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D，是抛物线L上任意一点． （1）抛物线的对称轴为直线______；求线段的长； （2）若抛物线L上另一点P的坐标为，且满足，求m的取值范围； （3）若点E在第四象限． ①当时，过点E作轴，与抛物线L交于另一点F．以所在直线为对称轴，将抛物线L位于下方的部分翻折，若翻折后的这部分图象与x轴有交点，且交点都位于x轴正半轴，求n的取值范围； ②延长交x轴于点H，当时，将抛物线L和点E一起平移，得到抛物线和点，且点与点H重合．直接写出抛物线与抛物线L的交点坐标． 【答案】（1），4 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线，再求出，，即可解答； （2）由题意可得点P在点E的右侧，分当时，当时，分别解答即可； （3）①当时，，如图1，抛物线L与y轴的交点，抛物线的顶点，设直线交y轴于点，根据图象折叠的性质，则点N在和的垂直平分线上．当与原点O重合时，；当在x轴上时，，再结合图象即可解答； ②抛物线与L的交点坐标为．如图2，过E作轴于点M．根据，得出，．根据，得出，得出平移方式，从而得抛物线的顶点为，求出抛物线的解析式，即可解答． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线； 在中，令，得， ∵， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得点P在点E的右侧， 当时，恒成立； 当时，点E关于对称轴的对称点应该在点P的左侧， 即，解得． 综上，m的取值范围是； 【小问3详解】 解：①当时，， 如图1，抛物线L与y轴的交点，抛物线的顶点， 设直线交y轴于点， 根据图象折叠的性质，则点N在和的垂直平分线上． 当与原点O重合时，点N是的中点，则； 当在x轴上时，， ∴； ②抛物线与L的交点坐标为． 如图2，过E作轴于点M． ∵， 则，． ∵， ∴， ∴平移方式为向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度． ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为． 令，解得， ∴抛物线与L交于点． 24. 如图1，在矩形中，，，于点P，点O是线段上一点，以点O为圆心的的长为半径作，交线段于另一点K，交于点M，连接，连接并延长交于点N，设的半径为r． （1）当与直线相切时， ①求r的值； ②求边落在圆内的部分（包括边界）的长度． （2）当时，如图2，求的面积． （3）若，直接写出的长． 【答案】（1）①；② （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）①先根据勾股定理计算的长，再证明，得，计算的直径的长，从而求得的值； ②过点作于点，得，根据平行线分线段成比例得，计算的长，根据垂径定理得，边落在圆内部分（包括边界）的长度为，计算即可； （2）过点作于点，作于点，对于根据等面积法计算的长，根据勾股定理计算的长，证明，根据角平分线性质定理得，根据得，进而得，根据垂直于同一条直线的两条直线平行得，得，计算，最后根据计算即可； （3）连接，过点作于点，由（2）可计算，根据可计算，在中，可得的长，进而得的长. 【小问1详解】 解：①在矩形中，，，，， ∴，， ∵与直线相切， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； ②如图（1），过点作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴边落在圆内部分（包括边界）的长度为； 【小问2详解】 解：如图（2），过点作于点，作于点， ∵在矩形中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图（3），连接，过点作于点， 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，即， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $