精品解析：2025年河北省沧州市盐山县第二中学 初中学业水平模拟考试数学试卷（三模）

2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题（共36分） 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 2. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 3. 有理数、在数轴上所对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－2 D. 两根之和为 7. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 10. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中，点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（共12分） 13. 计算：________． 14. 放学后轮到第六组的同学们打扫卫生，该组有4名男生，5名女生，打扫结束后需要随机选择一名同学倒垃圾，则选到男生的概率是______． 15. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 16. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（共72分） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 18. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． （1）我们知道32可以写成，那么十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为__________； （2）若题（1）中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则__________； （3）设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，），且x，y为正整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 19. 春节看电影已经成为新年俗．在竞争激烈的春节档期，《哪吒之魔童闹海》以高口碑拿下了票房冠军．下表是小明查阅资料整理的该电影上映五天的票房数据，并绘制了如图1尚不完整的条形统计图． 日期 大年初一 大年初二 大年初三 大年初四 大年初五 单日票房（单位：亿元） 4.88 4.80 6.19 7.32 8.13 （1）补全条形统计图； （2）求该电影上映五天的平均票房（精确到0.01）； （3）根据这五天的票房数据，估计该电影的票房累计收入用时几天可以达到一百亿元？ （4）如图2是影院设置的幸运大转盘，三个扇形的圆心角相等，转动转盘停止后，指针指向哪部电影就获得相应电影的优惠券，小明和妈妈各转一次转盘，用列表或画树状图的方法，求小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的概率． 20. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 21. 如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：． 22. 如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 24. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平模拟考试数学试卷 一、单选题（共36分） 1. 下列各数中，与2025互为相反数的是（ ） A. B. C. D. 2025 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：与2025互为相反数的是， 故选：A． 2. 有“中国天眼”之称的500米口径球面射电望远镜（FAST），可以“听见”百亿光年之外的声音．已知1光年千米，则1百亿光年（用科学记数法表示）约为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：1光年千米，1百亿， 1百亿光年千米， 故选：C 3. 有理数、在数轴上所对应的点如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法则、乘法法则；先根据数轴上、的位置确定、的正负，、的大小，再根据有理数的加减法则，判断出、的正负． 【详解】解：由图可知， ，， A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘、除法，积的乘方，幂的乘方的运算法则计算，逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项不符合题意； B．， 故该选项不符合题意； C．， 故该选项不符合题意； D． 故该选项符合题意； 故选：D． 5. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 6. 关于x的一元二次方程中，，则方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个正实数根 C. 两根之积为－2 D. 两根之和为 【答案】D 【解析】 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况，再根据根与系数的关系，得出两根之积和两根之和． 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解答本题的关键要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】化简，得， ∴． ∵， ∴，故有两个不相等的实数根，但无法判断实数根的正负． ，． 故选D． 7. 窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故不是中心对称图形，符合题意； C、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，小明从A处出发，沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整至，才能与出发时的方向一致，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质及方位角，熟练掌握平行线的性质及方位角是解题的关键；由题意易得，，，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：如图， 由图可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 9. 已知，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点E，F，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ） A. 甲对、乙不对 B. 甲不对、乙对 C. 甲、乙都对 D. 甲、乙都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由甲作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 由乙作图可知：分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 综上所述：甲乙两人方法都可以． 10. 如图，在扇形中，，点是的中点．过点作交于点，过点作，垂足为点．在扇形内随机选取一点，则点落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形的面积，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵点是的中点 ∴ ∴ ∴ ∴，， 点落在阴影部分的概率是 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点，的坐标分别为，，点是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中，点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，由题意判断出点M的位置是解题的关键．由题意可得点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，即每12秒运动一周，即得第2025秒时与第9秒时的位置相同，过点作轴，垂足为点，证明，可得，，即可求解． 【详解】解：正六边形的顶点，的坐标分别为，， 正六边形的边长为1， 点从点出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，即每12秒运动一周， ， 第2025秒时与第9秒时的位置相同，即如下图所示位置，此时， 过点作轴，垂足为点，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为． 故选：A． 12. 抛物线交x轴于点，交y轴的负半轴于点C．顶点为D．下列结论，①；②；③当m为任意实数时，；④方程的两个根为；⑤抛物线上有两点和，若，且，则．其中正确的有（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数图象，得出抛物线的对称轴为直线，则可得出a与b之间的关系，再将代入函数解析式可得出b与c之间的关系，最后利用数形结合的思想及二次函数与一元二次方程之间的关系即可解决问题． 【详解】解：因为抛物线经过点，， 所以抛物线的对称轴为直线， 则，即．故①正确． 将代入函数解析式得，， 又因为， 所以， 即．故②错误． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时总有，， 即．故③错误． 由题知，方程的两个解为． 方程可转化为， 所以1或3， 则．故④正确． 因为， 所以点P在直线左侧，点Q在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以．故⑤正确； 综上分析可知，正确的有3个． 故选：B． 二、填空题（共12分） 13. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先将化简为，然后与进行合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为： 14. 放学后轮到第六组的同学们打扫卫生，该组有4名男生，5名女生，打扫结束后需要随机选择一名同学倒垃圾，则选到男生的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】随机事件A的概率，进行解答即可． 本题考查了概率公式，解题的关键是根据概率公式来进行计算． 【详解】解：P（选到男生）． 故答案为：． 15. 如图，点和点B在反比例函数的图象上，延长与y轴相交于点C．若，则点C的纵坐标为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，正确构造辅助线，运用相似三角形解决问题是解题的关键． 先确定比例函数解析式为，过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作交于点，则，求出，则，可求的点的坐标为，则，再由相似比例式求得，即可求解，即可求解点的纵坐标． 【详解】解：由点在反比例函数的图象上，可知， ∴反比例函数解析式为：； 过点A、B分别作轴的垂线，垂足为，过点A作于点D，交于点， ∴， ∴， ∴， 如图，点，， ． ∴， 又，， ， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ∵， ∴， ∴， ，即点的纵坐标为4． 故答案为：4． 16. 如图，直角三角板中，，，．已知斜边的端点，分别在相互垂直的射线，上滑动，连接． 给出下列结论： ①若，两点关于直线对称，则； ②，两点距离的最大值为4； ③若平分，则； ④在滑动过程中，始终等于． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 在中，由，，，求出，．由轴对称的性质得，可判断①正确；取的中点为，连接、，由三角形三边关系可知当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，可判断②不正确；当，则四边形是矩形，满足与相互平分，但不成立，可判断③不正确；④延长至点，可证，可得④正确； 【详解】解：在中，，，， ∴，， ∴若、两点关于对称，如图1： ∴为的垂直平分线， ∴，故①正确； ②如图1，取的中点为，连接、， ∵， ∴， 当经过点时，最大且、两点距离的最大值为，故②不正确； ③如图2： 当， ∴四边形是矩形， ∴与相互平分，但不成立，故③不正确； ④延长至点，如图1， ∵， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①④ 三、解答题（共72分） 17. 在如图所示的方格图中，给每个方格设定不同的数或式，路线经过的方格中的数或式可进行相应的运算．例如：路线上数字的和记为． （1）求路线上所有数字的和； （2）若路线上两个数字的积大于路线上两个式子的和，求的正整数解． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【详解】解：（1）． 答：上所有数字的和为； （2）根据题意得：，解得：． ∴符合条件的的正整数解为． 18. 发现：一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数． 如：，160是20的8倍；，640是20的32倍． （1）我们知道32可以写成，那么十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为__________； （2）若题（1）中两位数的平方与其个位数a的平方的差是20的7倍，则__________； （3）设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y（，），且x，y为正整数，请用含x，y的式子论证“发现”的结论是否正确． 【答案】（1） （2）2 （3） 一个两位数的平方与其个位数字的平方的差，一定是20的倍数这个结论正确， 理由如下： 设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y， ， 又，，且x，y为整数， 是正整数， 是20的倍数． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是读懂题意，能用代数式表示两位数． （1）根据两位数表示方法可得两位数； （2）根据两位数的平方与的平方的差是20的7倍列方程可解得答案； （3）根据“发现”的结论，列出代数式计算即可． 【小问1详解】 解：十位数字为1，个位数字为的两位数可表示为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由该两位数的平方与a的平方的差是20的7倍可得，解得， 故答案为：2； 【小问3详解】 略 19. 春节看电影已经成为新年俗．在竞争激烈的春节档期，《哪吒之魔童闹海》以高口碑拿下了票房冠军．下表是小明查阅资料整理的该电影上映五天的票房数据，并绘制了如图1尚不完整的条形统计图． 日期 大年初一 大年初二 大年初三 大年初四 大年初五 单日票房（单位：亿元） 4.88 4.80 6.19 7.32 8.13 （1）补全条形统计图； （2）求该电影上映五天的平均票房（精确到0.01）； （3）根据这五天的票房数据，估计该电影的票房累计收入用时几天可以达到一百亿元？ （4）如图2是影院设置的幸运大转盘，三个扇形的圆心角相等，转动转盘停止后，指针指向哪部电影就获得相应电影的优惠券，小明和妈妈各转一次转盘，用列表或画树状图的方法，求小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如下； （2）6.26亿元 （3）16天 （4） 【解析】 【分析】（1）根据统计表中的数据补全统计图即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）用一百亿除以平均数即可求解； （4）列表表示出所有等可能得情况数和小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》优惠券的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （亿元）； 【小问3详解】 （天）． ∴估计该电影的票房累计收入用时16天可以达到一百亿元； 【小问4详解】 小明和妈妈各自转动一次转盘，指针情况列表如表1所示， 小明 妈妈 A B C A B C ∴共有9种等可能结果，满足题意的只有1种结果， ∴小明和妈妈都获得《哪吒之魔童闹海》的优惠券的概率为． 【点睛】此题考查了统计表和条形统计图，样本估计总计，列表法求概率，求平均数，解题的关键是掌握以上知识点． 20. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2，，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交于点，根据题意可得，由，四边形是矩形，，可得，进而得到，然后根据，求出，最后根据，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交于点， ， ， 四边形是矩形，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点，过点作于点，过点作于点， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 21. 如图，在菱形中，，，点E是边的中点，连接． （1）求的长；（结果保留根号） （2）点F为边上的一点，连接，交于点G，连接，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． （1）只要证明是等边的高即可解决问题； （2）由，可得，推出，又，即可推出； 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 22. 如图，已知是的外接圆，．点D，E分别是，的中点，连接并延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）求证：与相切； （3）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2） 证明：如图，连接， ∵，为中点， ∴， ∴过圆心， ∵， ∴， 而为半径， ∴为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，，再证明，可得，，再进一步解答即可； （2）如图，连接，证明，可得过圆心，结合，证明，从而可得结论； （3）如图，过作于，连接，设，则，可得，求解，可得，求解，设半径为，可得，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于，连接， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设半径为， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 23. 如图，抛物线M过点，与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，顶点D的坐标为． （1）求抛物线M的表达式和点A的坐标； （2）点F是线段上一动点，求周长的最小值； （3）平移抛物线M得到抛物线N，已知抛物线N过点D，顶点为P，其对称轴与抛物线M交于点Q，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）， （2）最小值为 （3）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出表达式然后求出点A的坐标即可； （2）首先得到直线的表达式为：，作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点，勾股定理求出，，进而求解即可； （3）抛物线N由抛物线M平移得到，求出抛物线N的表达式为，得到顶点P的坐标为，，作于H，则，在中，，得到，进而列方程求解即可． 【小问1详解】 ∵顶点D的坐标为， 设二次函数表达式为 将点代入得 ∴抛物线M的表达式为： 当时，或1， ∵点A在点B左侧， ∴点A的坐标为； 【小问2详解】 当时，， ∴点C的坐标为 ∴设直线的表达式为： 故解得 ∴， ， ， ， 作E关于的对称点，则，设垂足为G，则点G为E与的中点 ， ∴所在直线垂直于y轴， 关于的对称点， ∴点的坐标为， ∴点G的横坐标为 将代入得， ∴点G的坐标为， ∵，， ∴， ∴ 即周长的最小值为； 【小问3详解】 ∵抛物线N由抛物线M平移得到，设抛物线N的表达式为 将点代入得：， ∴抛物线N的表达式为 ∴顶点P的坐标为， 将代入，， ∴， 作于H，则， ∵ ∴点H为点P和点Q的中点， ∴ ∴ 又∵ ∴ 在中， ∴， ∴ 或 ∴解第一个方程可得（舍）， 解第二个方程可得（舍）， 将代入P点坐标， P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及到的知识点有二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质、待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，并灵活运用分类讨论及数形结合的思想分析解决问题是解题的关键． 24. 折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动． 在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接． 【观察猜想】 （1）如图1，当时，_____． 【类比探究】 （2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度． 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）45（2），（3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和折叠性质，先由推出 ，进而得 ，再根据算出等角度，然后依据判定，从而得出 ． （2）根据折叠性质得出角和边的关系，通过计算推出，结合角的等量关系得到，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求，依据直角三角形斜边中线性质求出 ． （3）对被分成一个等边三角形和一个等腰三角形的情况进行分类讨论： 当为等边三角形时，先得出，通过角的运算求出和，再在中利用正切函数求出的长度． 当为等边三角形时，得出，通过角的关系得到，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ． 【详解】在正方形中，． ∵， 由折叠性质可知，且． ∴， ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ 因为，，， ∴． ∴， 故答案为：45； （2）由折叠可知，， ． 四边形为正方形， ． 又， ， ． 又， ． 由折叠的性质可得， ． 点为的中点， ， 在正方形中，， ， ． （3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图： 此时，因为，所以． 已知，在中，，解得． 情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时： 此时，则． 在中，， 解得． 综上所述：段的长度为或． 【点睛】本题考查了正方形的性质、图形折叠的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质以及三角函数的应用；解题关键是熟练运用上述性质和定理，通过分析折叠前后图形的角与边的关系，结合特殊三角形的性质进行推理计算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $