专题十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题 讲义 -2027届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习讲义聚焦带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题，按多解类型（电性、磁场方向等）及临界极值（时间、面积）梳理考点，通过考点分类解析、解题技巧指导、典例真题训练的教学环节，帮助学生构建磁场运动问题的分析框架。 讲义采用类型归类与模型建构教学法，如多解问题按成因分类培养科学思维，临界问题通过轨迹相切分析强化科学推理。典例设计从选择到计算覆盖高考题型，引导学生绘制轨迹图分析几何关系，高效突破难点，助力教师把控复习节奏，提升学生应考能力。

专题十七 带电粒子在匀强磁场中的多解和临界问题 讲义 考点一 　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题 1．常见多解类型 多解分类 多解原因 示意图 带电粒 子电性 不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向 不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时由于磁感应强度方向不确定带来多解 临界状态 不唯一或 速度大小 不确定 带电粒子在穿过有界磁场时，可能直接穿过去，也可能从入射界面反向射出，于是形成多解 运动的往 复性或周期性 带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间中运动时，运动往往具有往复性，因而形成多解 2．求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧 (1)分析题目特点，确定题目多解性形成的原因。 (2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。 (3)若为周期性的多解问题，寻找通项式；若是出现几种周期性解的可能性，注意每种解出现的条件。 典例１：(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　) A． B． C． D． [答案]　AD[解析]设粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，联立可得T＝。若带电粒子所带电荷为正，则其在磁场中的轨迹为图中①所示，轨迹对应的圆心角为300°，在磁场中运动的时间为t1＝·T＝；若带电粒子所带电荷为负，则其在磁场中的轨迹为图中②所示，轨迹对应的圆心角为60°，在磁场中运动的时间为t2＝·T＝，故A、D正确。 典例2：(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的静电力恰好是磁场力的三倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是(　　) A. B． C. D． [答案]　BD[解析]　根据题目中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能，且这两种可能方向相反。在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4qvB＝m，得v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝；当负电荷所受的洛伦兹力与静电力方向相反时，有2qvB＝m，v＝，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝＝，故选项B、D正确。 典例3：(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　) A．使粒子的速度v< B．使粒子的速度v> C．使粒子的速度v> D．使粒子的速度<v< [答案]　AB[解析]　如图所示，若带电粒子刚好打在极板右边缘，有r＝2＋l2，又因为r1＝，解得v1＝；若粒子刚好打在极板左边缘，有r2＝＝，解得v2＝。欲使粒子不打在极板上，应使v<或v>，故A、B正确，C、D错误。 典例4：如图所示，由光滑弹性绝缘壁构成的等边三角形ABC容器的边长为a，其内存在垂直纸面向里的匀强磁场，小孔O是竖直边AB的中点，一质量为m、电荷量为＋q的粒子(不计重力)从小孔O以速度v水平射入磁场，粒子与器壁多次垂直碰撞后(碰撞时无能量和电荷量损失)仍能从O孔水平射出，已知粒子在磁场中运动的半径小于，则磁场的磁感应强度的最小值Bmin及对应粒子在磁场中运动的时间t分别为(　　) A.、 B．、 C.、 D．、 [答案]　C[解析]　粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，则qvB＝m，解得r＝，因粒子从O孔水平射入后，最终又要水平射出，运动轨迹如图所示，则有(2n＋1)r＝(n＝1,2,3，…)，解得B＝，当n＝1时B取最小值，即Bmin＝，此时对应粒子的运动时间t＝3＝，而T＝＝，解得t＝，A、B、D三项错误，C项正确。故选C。 考点二　带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题 解决带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。 1.临界条件 刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 2.几种常见的求极值问题 (1)时间极值 ①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 ②圆形边界:公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。 ③最短时间:弧长最短(弦长最短)，入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。 如图，P为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。 (2)磁场区域面积极值 若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。 3.临界、极值问题常用的四个结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。 (2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。 (3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。 (4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场区域圆直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。 典例5：如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为( ) A． 　　B．　　 C．　　D． [答案]　C[解析]　粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qv0B＝m，解得r＝2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α＝，要使圆心角α最大，FE最长，经分析可知，当粒子从y轴上的D′点射入、从x轴上的E′点射出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin αm＝，解得αm＝，从D′点射入磁场的粒子在磁场中运动的时间最长，且tm＝·，解得tm＝，故选C。 典例6：如图所示，在xOy平面内的第一象限内存在一有界匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小为B、方向垂直于xOy平面向外。一束质量为m、电荷量为＋q的粒子以不同的速率从O点沿xOy平面内的OP方向发射，沿直线飞行到P点时进入有界匀强磁场区域，O、P两点间的距离为L，OP连线与x轴正方向的夹角α＝30°，所有粒子在离开磁场后最终都能从x轴上垂直x轴射出，若速度最大的粒子A从x轴上的Q点以速度vm(未知)射出，且射出之前都在磁场内运动，粒子所受的重力忽略不计，求: (1)vm的大小; (2)粒子A在匀强磁场中运动的时间; (3)有界匀强磁场区域的最小面积。 [答案]　(1)　(2)　(3)L2 [解析]　(1)粒子的运动轨迹如图所示。设粒子A在磁场中做圆周运动的半径为rm，由几何关系得rm＝L 粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，有qvmB＝m 解得vm＝。 (2)粒子做匀速圆周运动，则有qvB＝m 周期为T＝ 解得T＝ 由运动轨迹可知，粒子A经过磁场后的偏转角为120°， 则粒子A在磁场中运动的时间t＝T＝T 解得t＝。 (3)由几何关系可知三角形PO1Q的面积S1＝sin 120°＝L2 120°圆心角对应的扇形面积S2＝πL2 磁场区域的最小面积为图中阴影部分面积，其面积ΔS＝S2－S1＝L2。 学科网（北京）股份有限公司 $