8.6.1 直线与直线垂直 同步检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦直线与直线垂直核心概念，通过基础巩固、能力提升、综合应用三层设计，实现从概念理解到空间推理的递进，培养空间观念与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（选择1-5、填空9-10）|异面直线所成角定义、简单几何体中垂直判断|以定义辨析（如第1题角的范围）和直三棱柱、正方体模型（如第2、9题）巩固空间观念| |提升层（选择6-8、填空11-12）|线线位置关系综合判断、性质应用|通过多选（如第7题平行垂直关系推理）和空间四边形计算（如第12题MN长度）发展推理能力| |综合层（解答13-15）|异面直线成角计算与证明|结合三棱柱、四棱柱模型（如第14题求AA₁），融合证明（如第15题线面平行）与计算，体现模型观念|

8.6.1　直线与直线垂直（同步检测） 一、选择题 1.设α为两条异面直线所成的角，则α满足(　　) A.0°＜α＜90°　 B.0°＜α≤90° C.0°≤α≤90°　 D.0°＜α＜180° 2.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有 (　 ) A.1条　　 B.2条 C.3条 D.4条 3.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　) A.60° B.75° C.90° D.105° 4.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝(　　) A.3　　　　B.4 C.5　　　D.6 6.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．以上四个结论中，正确结论的序号是(　　) A.①②③ B.②④ C.③④ D.①③④ 7.(多选)有三条直线，，，下列命题正确的有(　　) A.若∥，∥，则∥ B.若⊥，⊥，则∥ C.若∥c，⊥，则⊥ D.若与，与都是异面直线，则与也是异面直线 8.(多选)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　) A.直线CC1与直线B1E相交 B.CC1与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1垂直 二、填空题 9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为__________ 10.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，则A1C1与B1C所成角的余弦值为__________ 11.有下面四个命题：，， ①若直线，异面，，异面，则，异面； ②若直线，相交，，相交，则，相交； ③若，为异面直线，直线∥，则与异面； ④若空间三条直线满足⊥，∥，则⊥． 其中真命题的序号为______ 12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于_______ 三、解答题 13.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC．若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，求异面直线A1C与B1C1所成的角的大小． 14.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B与AD1所成的角为90°，试求AA1. 15.如图，在四面体A－BCD中，E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BD＝AC＝2，EM＝1． (1)求证：EF∥平面ACD；(2)求异面直线AC与BD所成的角． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：异面直线所成的角为锐角或直角．故选B． 2.B 解析：和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1，故选B. 3.C 解析：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°. 4.C 解析：如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C1．因为AC∥A1C1，所以AC∥DE，所以∠BDE(或其补角)即为异面直线BD与AC所成的角．由已知可得BD＝DE＝BE＝，所以∠BDE＝60°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°．故选C． 5.C 解析:如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角(或其补角)．∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3．∴MN＝5． 6.C 解析：根据展开图，画出立体图形(如图，)，BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°，DM与BN是异面直线，故C正确． 7.AC 解析：对于A，由基本事实4可知本命题正确；对于B，当⊥，⊥时，，可以垂直，故本命题错误；对于C，根据平行线的性质可以判断本命题正确；对于D，把，，三条线放在长方体的棱上，则与，与都是异面直线，与可以平行，故本命题错误． 8.ACD 解析：因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交，A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D正确．故选A、C、D. 二、填空题 9.答案：60° 解析：如图，连接BC1，AD1，AB1，则EF为△BCC1的中位线，∴EF∥BC1．∵AB∥CD∥C1D1，且AB＝CD＝C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1．∴EF∥AD1．∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1为正三角形．∴∠AD1B1＝60°．∴EF与B1D1所成的角为60°． 10.答案： 解析：连接A1D，C1D，因为A1B1∥DC，A1B1＝DC，所以四边形A1DCB1为平行四边形，所以A1D∥B1C，则A1C1与B1C所成的角为∠C1A1D(或其补角), A1D＝＝5，A1C1＝＝3，C1D＝＝5，所以cos ∠C1A1D＝＝． 11.答案：④ 解析：①若直线，异面，，异面，则，三种位置关系都可能有，所以①不正确；②若直线，相交，，相交，则，三种位置关系都可能有，所以②不正确；③由空间直线的位置关系知与可能异面或相交，所以③不正确；④因为⊥，∥，所以⊥，所以④正确． 12.答案：5 解析：如图，取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角．∴∠MPN＝90°.又∵PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5. 三、解答题 13.解：∵几何体是棱柱，BC∥B1C1， ∴直线A1C与BC所成的角就是异面直线A1C与B1C1所成的角． 在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥AB，AA1⊥AC，连接BA1(图略)， ∵AB＝AC＝AA1＝1，∴BA1＝，CA1＝． ∴△BCA1是等边三角形，∴异面直线A1C与B1C1所成的角为60°． 14.解：如图，连接CD1，AC.由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，且A1D1＝BC， 所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1. 所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角． 因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°. 易知△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝AC. 因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°， 所以AC＝2×sin 60°×2＝6.所以AD1＝AC＝3. 所以AA1＝＝ ＝. 15.(1)证明：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC． ∵EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，∴EF∥平面ACD． (2)解：E，F，M分别是AB，BC，CD的中点， ∴EF∥AC，FM∥BD．∴∠EFM是异面直线AC与BD所成的角(或其补角)． 在△EFM中，EF＝FM＝EM＝1， ∴△EFM是等边三角形．∴∠EFM＝60°．∴异面直线AC与BD所成的角为60°． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $