8.6.1 直线与直线垂直 知识归纳与试题检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6.1直线与直线垂直 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 两条异面直线所成的角(或夹角) 异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线_________所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角) 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作_______ 范围 两条异面直线所成角的取值范围是 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．和两条异面直线都垂直的直线（    ） A．有无数条 B．有两条 C．只有一条 D．不存在 2．在正方体中，直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（   ） A． B．45° C．60° D．90° 4．在正方体中，点是的中点，则异面直线DP与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 7．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 10．已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与是异面直线 三、填空题 12．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 13．如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________． 14．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 四、解答题 15．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 16．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 17．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 18．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 19．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6.1直线与直线垂直 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 两条异面直线所成的角(或夹角) 异面直线所成的角的定义 已知两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，我们把直线_________所成的角叫做异面直线与所成的角(或夹角) 异面直线互相垂直 如果两条异面直线所成的角是_______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线与直线垂直，记作_______ 范围 两条异面直线所成角的取值范围是 【答案】 与 直角 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．和两条异面直线都垂直的直线（    ） A．有无数条 B．有两条 C．只有一条 D．不存在 【答案】A 【知识点】异面直线所成的角的概念及辨析 【解析】平行于公垂线的直线都与异面直线垂直，得到答案。 【详解】由于异面直线的公垂线只有一条，因此凡与公垂线平行的直线都与两条异面直线垂直，有无数条. 故选：A. 【点睛】本题考查了异面直线的垂直问题，意在考查学生的空间想象能力。 2．在正方体中，直线与所成的角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】根据，可得即为直线与所成角（或其补角），求出的大小即可. 【详解】因为，所以即为直线与所成角（或其补角）， 在等腰直角三角形中，， 所以直线与所成的角的大小为. 故选：B. 3．如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则和所成的角等于（   ） A． B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，构造平行线，将异面直线所成角转化为相交直线所成角，再结合已知条件求解. 【详解】取的中点，连接, 根据三角形中位线的性质知， 且 由得 或其补角为异面直线和所成的角, 又，则, 则为等腰直角三角形，则， 故选: 4．在正方体中，点是的中点，则异面直线DP与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】作出异面直线所成的角，解三角形求角的三角函数. 【详解】取的中点，连接，.    因为，所以即为异面直线DP与所成的角. 在中，不妨设，则，， 所以. 故选：B 5．在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角、正棱锥及其有关计算 【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】若为中点，如下图，连接，则且， 所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角， 若正四面体的棱长为4，则，，，， 所以， 综上，直线和夹角的余弦值为. 故选：D 6．在长方体中，与所成的角为，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接，由，可得是异面直线与所成的角，再利用长方体的性质、直角三角形的边角关系即可得出. 【详解】如图所示，连接，由图知为锐角，   是异面直线与所成的角，即， 在中，， 在中，有，即. 故选：D. 7．已知直三棱柱的所有棱长都相等，M为的中点，则与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取的中点，连接，证明，则或其补角即为异面直线与所成的角，再利用余弦定理求解即可. 【详解】取的中点，连接， 则且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成的角， 设正三棱柱的各棱长为，则， 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值为.    故选：D． 8．在棱长为1的正方体中，P为底面ABCD内（包括边界）的动点，满足直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由异面直线所成的角求其他量、立体几何中的轨迹问题 【分析】结合题意易知的轨迹是以为圆心，半径为的四分之一圆，即可求扫过的面积. 【详解】由题意得：正方体中，易得， 要使直线与直线所成角的大小为， 只需与直线所成角的大小为， 所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 所以,即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆， 故线段扫过的面积的大小为. 故选：A. 二、多选题 9．如图，四面体中，，，分别为的中点.若异面直线与所成角的大小为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】利用异面直线所成角的定义和余弦定理求解可得. 【详解】取的中点为，连接，，如图：    在中，，且，在中，，且， 因为异面直线与所成角的大小为，所以直线PM，PN的夹角为，则或， 当时，由余弦定理得，，得. 当时，由余弦定理得，，得. 综上所述，或. 故选：CD 10．已知是正方体，则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．与所成的角为60° C． D．直线与所成的角为60° 【答案】ACD 【知识点】异面直线的判定、证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】由异面直线的判定判断A；证得线线平行判断B；由异面直线垂直判断C；求出异面直线所成角判断D. 【详解】对于A，平面，点平面，，而平面， 直线，直线与是异面直线，A正确； 对于B，由，得，则，B错误； 对于C，由选项B同理得，而，则，C正确； 对于D，连接，，则或其补角为异面直线与所成的角， 又为正方体的面对角线，即，， 因此异面直线与所成的角为，D正确. 故选：ACD 11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与成60°角 D．与是异面直线 【答案】BCD 【知识点】棱柱的结构特征和分类、异面直线的判定、求异面直线所成的角、线面平行的性质 【分析】由展开图翻折成正方体，根据正方体的性质判断直线间的位置关系． 【详解】展开图翻折成的正方体如图所示，因为，，因此，所以A错误；同理，，所以，B正确； 或其补角是与所成的角，又△是等边三角形，所以，所以与所成的角是，C正确. 又平面，且与不平行，故与是异面直线，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为_________． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】将直线与所成角的余弦值转化为直线与所成角的余弦值，在中，求出即可求出答案. 【详解】因为， 则直线与所成角的余弦值即为直线与所成角的余弦值， 设正方体的棱长为，则， 因为平面，平面， 所以， 在中，， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 13．如图，已知分别是空间四边形对角线的中点，若，则与所成角的大小为___________． 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】取中点，构造异面直线与所成角，利用三角形的边角关系求解. 【详解】取中点，连接.如图： 因为为的中位线，所以，且. 因为为的中位线，所以，且. 所以或其补角即为异面直线与所成角. 因为，，所以. 在中，，，，所以. 故答案为： 14．空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则__________. 【答案】或 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据已知条件，可得或其补角就是异面直线和所成的角，由异面直线和成的角，可得. 【详解】 分别为的中点，连接， 所以，， 所以或其补角就是异面直线和所成的角， 因为异面直线和成的角， 或. 故答案为：或. 四、解答题 15．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，EF=．求证：AD⊥BC． 【答案】证明见解析 【知识点】证明异面直线垂直 【分析】通过平移后再解三角形即可获得证明. 【详解】证明：如图所示，取BD的中点H，连接EH，FH． 因为E是AB的中点，且AD=2， 所以EH∥AD，EH=1．同理FH∥BC，FH=1． 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角． 因为EF=，所以EH2+FH2=EF2， 所以EFH是等腰直角三角形，EF是斜边， 所以∠EHF=90°，即AD与BC所成的角是90°， 所以AD⊥BC． 16．如图，已知正方体. （1）求与所成角的大小； （2）若E，F分别为棱AB，AD的中点，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析 【知识点】证明异面直线垂直、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据正方体的性质，证出，由此得到就是与所成的角．然后在正三角形中加以计算，可得与所成角的大小； （2）平行四边形中可得， 可证，又即可得证； 【详解】解：（1）如图，连接，由几何体是正方体，知四边形为平行四边形，所以， 从而与所成的角为与所成的角， 由，可知. 故与所成的角为. （2）如图，连接，易知四边形为平行四边形，所以， 因为为的中位线， 所以. 又， 所以， 所以. 【点睛】本题在正方体中求异面直线所成角的大小，着重考查了正方体的性质、异面直线所成角的定义及求法等知识，属于中档题． 17．如图，在四面体中，，，､分别为､的中点 (1)求证：直线和为异面直线. (2)求直线和所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】异面直线的判定、求异面直线所成的角 【分析】（1）根据异面直线的定义判断证明； （2）取中点，连接、，根据已知及异面直线所成角的定义找到其平面角，进而确定其大小. 【详解】（1）由平面，故平面，而平面，， 又平面，故平面，故直线和为异面直线； （2）取中点，连接、，由于、分别为、的中点， 所以，且， 故直线和所成角，即或其补角， 因为，故，因为，故，故， 所以直线和所成角为. 18．在四棱柱中，侧面都是矩形，底面是菱形且，，若异面直线和所成的角为，试求. 【答案】 【知识点】由异面直线所成的角求其他量 【分析】连接、，分析可知异面直线和所成的角为，设，计算出三边边长，利用勾股定理可得出关于的等式，即可求得的长. 【详解】解：连接、， 在四棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 所以，异面直线和所成的角为， 因为四边形、均为矩形，则，， 在菱形中，，， 由余弦定理可得， 设，则， 因为，由勾股定理可得，即，解得. 19．在空间四边形ABCD中，，点M､N分别为BD､AC的中点. (1)若直线AB与MN所成角为60°，求直线AB与CD所成角的大小； (2)若直线AB与CD所成角为，求直线AB与MN所成角的大小. 【答案】(1)60° (2)或 【知识点】求异面直线所成的角、异面直线所成的角的概念及辨析、由异面直线所成的角求其他量 【分析】根据异面直线所成角的定义，借助平行关系作出平行直线，从而找到异面直线所成角（或补角）即可求解. 【详解】（1）如图，取AD的中点为P，连接PM､PN. 因为点M､N分别为BD､AC的中点，所以，，且，， 所以，为直线AB与CD所成的角（或补角），为直线AB与MN所成的角（或补角）. 又，所以，即为等腰三角形. 直线AB与MN所成角为60°，即，则. 所以，直线AB与CD所成的角为60°. （2）（2）若直线AB与CD所成的角为，则或. 若，则，即直线AB与MN所成角为； 若，则，即直线AB与MN所成角为. 综上所述，直线AB与MN所成的角为或. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $